专题2.1 直线和圆的位置关系（高效培优讲义）数学浙教版九年级下册

专题2.1 直线和圆的位置关系 教学目标 1.能通过观察、操作，准确识别直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交），并能描述每种关系的特征（公共点个数、图形形象）； 2.理解圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的数量关系，掌握 “位置关系” 与 “数量关系” 的互逆判定方法； 3.能运用直线和圆的位置关系解决简单问题，会规范表述推理过程 教学重难点 1.重点 （1）直线和圆的三种位置关系的定义及图形特征； （2）熟悉圆心到直线的距离“d”与圆的半径“r”的数量关系，以及与三种位置关系的对应法则。 2.难点 （1）理解 “位置关系” 与 “数量关系” 的互逆性，突破 “只记结论、不懂逻辑” 的误区； （2）准确理解 “相切” 的本质特征，避免将 “只有一个公共点” 与 “ d=r ” 割裂开理解； （3）实际问题中 “转化思想” 的运用，学生易混淆 “实际场景” 与 “几何模型” 的对应。 知识点01 直线和圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【即学即练】 1．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 2．已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点02 切线性质和判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【即学即练】 1．如图，已知，，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点．若，，则的半径是（ ）． A． B． C． D． 2．如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交或相切 【变式1】在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 【变式2】已知的半径为，若圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．在圆内 【变式3】如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 题型02 已知直线与圆的位置关系求半径的取值 【典例2】在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【变式1】已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【变式1】如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 【变式2】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【变式3】如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ． 题型04 切线的性质定理 【典例4】如图，是的直径，切于点P，交于点B，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，过上一点的切线与直径的延长线交于点，点是圆上一点，且，则的度数为（    ） A．29 B．31 C．39 D．58 【变式2】如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，的边与相交于C，D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型05 切线的性质和判定的综合应用 【典例5】如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【变式1】如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【变式2】如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式3】如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若与边交于点，且． (1)求证：是切线； (2)若，求的半径． 一、单选题 1．如图1，这是陕西宝鸡团结大桥上的“日月同辉”造型，图2是它的示意图，其中小圆和桥面直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．相切 C．相离 D．垂直 2．如图，切于点A，．则度数为（   ） A． B． C． D． 3．已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 4．如图，是外一点，是的切线，为切点，与相交于点，已知，为上一点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 6．如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 7．如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    9．如图，过外一点作圆的切线，点为切点，为直径，设，则的度数为 ． 10．如图，在中，O为边上一点，以点O为圆心，的长为半径作与边相切，D为边的中点，连接．若，则的半径长为 ． 11．如图，的内切圆分别与、、相切于点、、，若，，，则的周长为 ． 三、解答题 12．如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线和圆的位置关系 教学目标 1.能通过观察、操作，准确识别直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交），并能描述每种关系的特征（公共点个数、图形形象）； 2.理解圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的数量关系，掌握 “位置关系” 与 “数量关系” 的互逆判定方法； 3.能运用直线和圆的位置关系解决简单问题，会规范表述推理过程 教学重难点 1.重点 （1）直线和圆的三种位置关系的定义及图形特征； （2）熟悉圆心到直线的距离“d”与圆的半径“r”的数量关系，以及与三种位置关系的对应法则。 2.难点 （1）理解 “位置关系” 与 “数量关系” 的互逆性，突破 “只记结论、不懂逻辑” 的误区； （2）准确理解 “相切” 的本质特征，避免将 “只有一个公共点” 与 “ d=r ” 割裂开理解； （3）实际问题中 “转化思想” 的运用，学生易混淆 “实际场景” 与 “几何模型” 的对应。 知识点01 直线和圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【即学即练】 1．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键． 设点O到直线l的距离为，根据垂线段最短，可得，，即可求解． 【详解】解：∵设点O到直线l的距离为， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：D 2．已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， ∴A符合题意； 故选：A． 知识点02 切线性质和判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【即学即练】 1．如图，已知，，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点．若，，则的半径是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由勾股定理可得 ，根据锐角三角函数可求的长，再根据勾股定理可求的长，即可求的半径． 【详解】解：如图，连接，， ∵是切线， ∴， ∵是直径， ∴，且， ∴，且， ∴，且， ∴， 在中， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键 2．如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键， （1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，根据三角形的相似即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， 设的半径为，则，，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴． 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据垂线段最短，圆心到直线上一点的距离为5，则圆心到直线的距离，结合半径，判断直线与圆的位置关系为相交或相切. 【详解】解：∵ 圆心O到直线上一点P的距离， 且圆心到直线的距离d为垂线段的长， ∴（垂线段最短）。 ∴ , ∵ 圆的半径， ∴ 当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切, ∴ 直线与圆相交或相切, 故选D. 【变式1】在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 【答案】B 【分析】本题考查圆与坐标轴的位置关系，熟练掌握圆心到坐标轴的距离等于半径则相切，距离小于半径则相交是解题的关键． 通过计算圆心到x轴和y轴的距离，与半径比较，判断圆与坐标轴的位置关系即可． 【详解】解：圆心到x轴的距离为，等于半径4， 则圆与x轴相切； 圆心到y轴的距离为，小于半径4， 则圆与y轴相交， 故选：B． 【变式2】已知的半径为，若圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．在圆内 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系：若，则相交；若，则相切；若，则相离，进而问题可求解． 【详解】解：∵的半径为，若圆心O到直线的距离为， ∴， ∴直线l与相交； 故选C． 【变式3】如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作，根据30度角的直角三角形的性质，得，再结合以点为圆心，以的长为半径作圆，进行分析，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作圆，且， ∴与的位置关系是相交， 故选：C． 题型02 已知直线与圆的位置关系求半径的取值 【典例2】在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法， 熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 过点C作，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出的长，即为所求的r． 【详解】解：如图，过点C作， ∵在中，，，， ∴， ， ， 解得：， ∵以点C为圆心，r为半径的与直线相切， ∴， 故选：C． 【变式1】已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 【变式2】已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 【变式3】如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 题型03 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【变式1】如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可． 【详解】设圆与直线b交于A、B两点， 当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1， 当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切， 当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题． 【变式2】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 【变式3】如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ． 【答案】(2，1)或（0，-1） 【分析】设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1），再根据⊙P的半径为1即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】∵⊙P的圆心在一次函数y=x-l的图象上运动， ∴设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1）， ∵⊙P的半径为1． ∴x-1=1或x-1=-1．     解得x=2或x=0．     ∴P点坐标为(2，1)或（0，-1）． 【点睛】本题考查的是切线的性质和一次函数图象上点的坐标特征，熟知直线与圆相切的性质是解答此题的关键． 题型04 切线的性质定理 【典例4】如图，是的直径，切于点P，交于点B，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定及性质等，掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角是解题的关键．连接，由直径所对的圆周角为直角得，由切线的性质得，结合等腰三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 切于点P， ， ， ， 故选：C． 【变式1】如图，过上一点的切线与直径的延长线交于点，点是圆上一点，且，则的度数为（    ） A．29 B．31 C．39 D．58 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理．连接，由圆周角定理得出，再由切线的性质得，即可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是的切线， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵切于点C，交于点P，且为的直径， ∴， ， ， ， 故选：B． 【变式3】如图，的边与相交于C，D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，切线的性质，直径所对的圆周角为直角等，掌握等腰三角形的判定及性质，切线的性质是解题的关键；由等腰三角形的判定及性质得，由直角所对的圆周角为直角得，由切线的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 边与相切， ， ， ； 故选：C． 题型05 切线的性质和判定的综合应用 【典例5】如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式1】如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 【变式2】如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， 与相切于点B， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：，， 垂直平分，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【变式3】如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若与边交于点，且． (1)求证：是切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明得到，由切线的性质可得，由此即可证明是的切线； （2）勾股定理求得，进而可得，设的半径为，解求出，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ， ， 又 ∵是的切线，点是切点， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线， ， 在中，， ， ∴在中，， 在中，， 设的半径为， ， ， ， ， ， ∴的半径为． 一、单选题 1．如图1，这是陕西宝鸡团结大桥上的“日月同辉”造型，图2是它的示意图，其中小圆和桥面直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．相切 C．相离 D．垂直 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的交点个数即可得到结论． 【详解】解：由图可得，直线与小圆有1个交点， ∴小圆和桥面直线的位置关系是相切， 故选：B． 2．如图，切于点A，．则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，切线的性质，先证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵切于点A， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3．已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键：如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么：（1）直线和相交（如图）；（2）直线和相切（如图）；（3）直线和相离（如图）． 根据直线和圆的位置关系的判断方法直接判断即可得出答案． 【详解】解：圆心到直线的距离的半径， 直线与的位置关系是：相离， 故选：． 4．如图，是外一点，是的切线，为切点，与相交于点，已知，为上一点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理，根据切线的性质可得：， 利用圆周角定理可得是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， 故选C． 5．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．由题意易得的圆心到x的距离为6，半径为5，进而可根据直线与圆的位置关系可求解． 【详解】解：∵的圆心坐标为， ∴的圆心到x的距离为6， ∵的半径为5， ∴轴与的位置关系是相离； 故选A． 6．如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了最短路线问题，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出的值最小时点所在的位置是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接， ∵ ， ∴． ∵为的中点， ∴ ． 又∵点与点关于对称， ∴ ， ∴． 又∵ ， 根据勾股定理得，即的最小值为． 故选：B. 7．如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质， 连接，根据切线的性质及直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出 ，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案. 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 即. ∵， ∴， ∴ 在圆内接四边形中，， ∴. 故选：C. 二、填空题 8．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    【答案】/31度 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据切线的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵与相切于点，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 9．如图，过外一点作圆的切线，点为切点，为直径，设，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，连接，由切线的性质可得，则由四边形内角和定理可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，O为边上一点，以点O为圆心，的长为半径作与边相切，D为边的中点，连接．若，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，过点O作的垂线，垂足为E，切线的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线，得到，勾股定理求出的长，根据，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点O作的垂线，垂足为E． ∵与边相切， ∴． 在中， ∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ， 设的半径长为r， ∴， 解得 故答案为：． 11．如图，的内切圆分别与、、相切于点、、，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形了内切圆及切线长定理等知识点，由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案，灵活运用切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长， 故答案为： ． 三、解答题 12．如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理推理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）连接，由C是的中点求得根据等边三角形的性质得到，求得，求得得到结论； （2）根据圆周角定理得到根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到于是得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $