第2章 直线与圆的位置关系（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版九年级下册

第二章 直线与圆的位置关系（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 2．在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 3．如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是（   ） A．15 B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，含直角三角形的性质，勾股定理，连接，设的半径为，根据，，得，结合切线的定义可知，再根据含直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， 设的半径为， ∵，， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，则， ∴， ∴． 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个内切圆 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦与直径的关系、确定圆的条件、圆周角与弧的关系以及三角形内切圆的性质．选项A、B、C均需附加条件才成立，而选项D符合三角形内切圆的唯一性，即可得出答案． 【详解】解：A、平分弦的直径垂直于弦，需弦不是直径才成立，但选项未指定，选项错误； B：三点共线时不能确定圆，B选项错误； C：相等的圆周角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，但选项未指定，C选项错误； D：任何三角形的三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等，因此有且只有一个内切圆，D选项正确； 故选：D． 5．如图，，为上一点，且．以点为圆心，2为半径的与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握通过作垂线求圆心到直线的距离，结合半径判断位置关系是解题的关键． 作点到的垂线，求出垂线段的长度，再与圆的半径比较，判断圆与直线的位置关系． 【详解】解：过点作于点． 在中，，则， 的半径为2，且等于半径， 与相切． 故选：C． 6．以下说法正确的是（     ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．三角形的内心到三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质和三角形的内心性质，需根据定义和定理逐一判断选项的正确性. 【详解】解：A、∵等弧需在同圆或等圆中且能完全重合，长度相等的弧不一定能重合，∴A错误； B、∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦才相等，∴B错误； C、∵不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴C错误； D、∵三角形的内心是角平分线的交点，也是内切圆的圆心，到三边的距离相等，∴D正确； 故选：D． 7．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（　　） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 设与的切点为E，与的切点为F，利用全等三角形的判定与性质，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图，设与的切点为E，与的切点为F，连接， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴的周长 ． 故选：A． 8．如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线以及含度角的直角三角形，分类讨论与半圆相切，半圆O与相切于点D，半圆O与相切三种情况即可求解； 【详解】解：①如图1，当点Q运动到与点B重合时，，与半圆相切，此时半圆O运动的距离为，所求运动时间． ②如图2，当半圆O与相切于点D时，则， ∵，，则，此时点O与点B重合， ∴半圆O运动的距离为，所求运动时间． ③如图3，当半圆O与相切时，此时点P与点B重合，半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 综上所述，t的值为或或． 故选：D． 9．如图，矩形中，，．以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 连接交于点，根据切线的性质可得，可得到四边形和四边形为矩形，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：连接交于点，如图， 以为直径的半圆与相切于点， ， ， 四边形为矩形， ，， 四边形和四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 10．如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 【答案】D 【分析】过点分别作，的垂线，，由，的半径是13，作根据垂径定理可以求出，再利用勾股定理可求得弦心距，再由轴对称（翻折）得到点关于的对称点是对应的圆心，，连接，由切线性质可得，，由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，进而在中用勾股定理可求出，长，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，则于， 由垂径定理的， 连接， 在中，， ， 过点作于，同理可得，， 将沿翻折，恰好与弦相切于点， 由翻折对称得，是对应的圆心，连接， ，，， 过点作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，， （勾股定理）， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，轴对称和勾股定理，以及矩形的判定与性质，是一道几何综合性很强的试题． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形和圆的综合，切线的性质定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数；连接，过D作于G，过E作于H，证出，得到，求出四边形是矩形，得到，再结合计算求解即可． 【详解】解：连接，过D作于G，过E作于H， ∴，     ∵是的切线，         ∴， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 过O作于M， ∴， ∴， ∴的半径长为； 故答案为：． 12．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为 ° 【答案】50 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，由圆周角定理可得出，根据圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，点为的内心，连接交的外接圆于点，若，点为弦的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，延长到M，使得，连接．求出，证明是的中位线即可解决问题； 【详解】解：延长到M，使得，连接． ∵I是的内心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：． 14．如图，、是切线，切点为、，、在上，若，则为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据切线长定理得出：，则，根据角的和差即可求出答案． 【详解】解：连接， 、是的切线，切点为A、D，点B、C在上， 四边形是的内接四边形， ， 、是的切线，切点为A、D， 根据切线长定理得出：， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，是的直径，是的弦，交的延长线于点D，过点作的切线交于点，当时， ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，不妨设，先利用平行线的性质，证明，结合，推出，从而推出为等腰直角三角形，接着利用勾股定理求得，，然后利用求得答案． 【详解】解：连接，过点作于点，不妨设，如图所示： 过点作的切线交于点， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 16．如图，在中，，，E、F分别是的中点，连接，将绕点B旋转一个角，连接并延长，与直线交于点G，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．证明点G在以为直径的圆上，得到当为的切线时，有最小值，此时F、G重合，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，， ，，， ， ， ， 、C、A、G四点共圆， ， 点G在以为直径的圆上，点E在以B为圆心，为半径的圆上， 当为的切线时，有最小值，此时F、G重合， ， 即的最小值是， 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图， 已知 ，点O为上一点，经过点B， 与相切于点D， 点E为上一点， 连接．    (1)求证：平分 ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质． （1）连接，根据切线的性质易证，推出，结合，进而得到，即可得出结论； （2）利用三角形外角的性质求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】（1）证明： 如图， 连接，    ∵与相切， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、、是的外接圆． (1)点的坐标为_____，并在图中标出； (2)轴与的位置关系是____； (3)把以原点为位似中心缩小到原来的得到，在图中画出． 【答案】(1)，见解析 (2)相交 (3)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换、垂径定理、直线与圆的位置关系，熟练掌握位似的性质、垂径定理、直线与圆的位置关系是解答本题的关键． （1）连接，，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，则点M即为经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，即可得出答案； （2）连接，利用勾股定理求出的值，与的半径作比较，即可得出结论;; （3）利用位似的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：连接，则, 所以，轴与相交， 故答案为：相交； （3）解：如图，即为所求． 19．（8分）几何学中三角形有五心：内心、外心、重心、垂心、旁心，其中三角形旁心的定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线的交点是旁心． (1)根据三角形旁心的定义，用无刻度的直尺和圆规作出图①中的一个旁心O； (2)过旁心O作于点D，以点O为圆心， 以为半径画， 求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，圆的切线的判定，正确作出旁心是解题的关键． （1）分别作出的平分线和的外角平分线，其交点即为点； （2）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，即可证明． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）证明：过点作于点，连接 ∵为旁心， ∴平分， 又∵，， ∴ ∵是半径， ∴是半径， ∴是的切线． 20．（8分）如图，四边形内接于，是的直径，平分，作并交的延长线于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)已知的半径为1，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，，作并交于点F，证明是等边三角形，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：连接，   平分， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是的半径， 与相切； （2）解：连接，，作并交于点F，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式．正确作出辅助线是解题的关键． 21．（10分）如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E． (1)如图1，当半径为5，，若，求弦的长； (2)如图2，当半径为，，若，求弦的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得，设，根据勾股定理得方程，解方程即可求出； （2）如图2中，作于H．先证明是等腰直角三角形，得到．再证明四边形是矩形得到，求出，证明，得到，，即可求出． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ∵过圆心O的线段于点F，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 设，则， ∵经过圆心O的线段 ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴（不合题意，舍去）， ∴； （2）解：如图2中，作于H． ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，熟知各知识点，根据题意添加适当辅助线是解题关键． 22．（10分）如图，在中，，的平分线交于点D，点O在边上，以O为圆心的圆经过A，D两点，交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的半径为3， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 23．（10分）阅读材料：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：先把直线解析式化为，可知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： (1)点到直线的距离为______； (2)已知是以点为圆心，2为半径的圆，与直线相切，求实数m的值； (3)如图，设点为上的任意一点，点、为直线上的两点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)实数m的值为或 (3) 【分析】本题考查了点到直线的距离，直线与圆的位置关系，熟练掌握点到直线的距离公式是解此题的关键． （1）由直线可得，，，再根据求距离公式计算即可得解； （2）将直线解析式化为，故，，，求出点到直线的距离为，再由与直线相切得出，即，计算即可得解； （3）求出点到直线的距离为，从而可得点隔直线的最远距离为，此时最大，再由三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由直线可得：，，， ∴点到直线的距离为； （2）解：将直线解析式化为，故，，， ∴点到直线的距离为， ∵与直线相切， ∴，即， 解得：或， 故实数m的值为或； （3）解：直线中，，，， ∴点到直线的距离为， ∴点隔直线的最远距离为，此时最大，为． 24．（10分）如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． (1)①___________； ②在线段的左侧过点作，使，证明：是的切线． (2)过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）①由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，再根据圆周角定理即可求解；②连接，由圆周角定理可得，即得，再根据等腰三角形的性质及已知可得，即得，得到，即可求证； （）将绕点逆时针旋转得到，连接，可得，，，，进而可得，即可证，得到，又可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的位置关系（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是（   ） A．15 B．10 C． D．5 4．下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个内切圆 5．如图，，为上一点，且．以点为圆心，2为半径的与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 6．以下说法正确的是（     ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．三角形的内心到三边的距离相等 7．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（　　） A． B． C． D．随直线的变化而变化 8．如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 9．如图，矩形中，，．以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 二.填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为 ． 12．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为 ° 13．如图，点为的内心，连接交的外接圆于点，若，点为弦的中点，连接，若，则的长为 ． 14．如图，、是切线，切点为、，、在上，若，则为 ． 15．如图，是的直径，是的弦，交的延长线于点D，过点作的切线交于点，当时， ． 16．如图，在中，，，E、F分别是的中点，连接，将绕点B旋转一个角，连接并延长，与直线交于点G，则的最小值是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图， 已知 ，点O为上一点，经过点B， 与相切于点D， 点E为上一点， 连接．    (1)求证：平分 ； (2)若，求的度数． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、、是的外接圆． (1)点的坐标为_____，并在图中标出； (2)轴与的位置关系是____； (3)把以原点为位似中心缩小到原来的得到，在图中画出． 19．（8分）几何学中三角形有五心：内心、外心、重心、垂心、旁心，其中三角形旁心的定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线的交点是旁心． (1)根据三角形旁心的定义，用无刻度的直尺和圆规作出图①中的一个旁心O； (2)过旁心O作于点D，以点O为圆心， 以为半径画， 求证：是的切线． 20．（8分）如图，四边形内接于，是的直径，平分，作并交的延长线于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)已知的半径为1，，求图中阴影部分的面积． 21．（10分）如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E． (1)如图1，当半径为5，，若，求弦的长； (2)如图2，当半径为，，若，求弦的长． 22．（10分）如图，在中，，的平分线交于点D，点O在边上，以O为圆心的圆经过A，D两点，交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，当时，求线段的长． 23．（10分）阅读材料：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：先把直线解析式化为，可知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： (1)点到直线的距离为______； (2)已知是以点为圆心，2为半径的圆，与直线相切，求实数m的值； (3)如图，设点为上的任意一点，点、为直线上的两点，且，求的最大值． 24．（10分）如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． (1)①___________； ②在线段的左侧过点作，使，证明：是的切线． (2)过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $