17-1.5.1 全称量词与存在量词-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

1.5 全称量词与存在量词

1.5.1 全称量词与存在量词

新课导入

某位理发师的广告词是这样写的:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢?这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！

学习目标

1.通过已知的数学实例，理解全称量词、存在量词的定义．

2.理解全称量词命题、存在量词命题的定义，并会用符号表示．

3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．

新知学习 探究

一 全称量词与全称量词命题

观察下列四个语句：

（1）；

（2）是整数；

（3）对所有的，；

（4）对任意一个，是整数.

思考1．语句（1）（2）是命题吗？

思考2．语句（3）与（1），（4）与（2）有何关系，（3）（4）能判定真假吗？

【答案】思考1 提示：语句（1）（2）中虽然含有变量，由于不知道变量 代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.

思考2 提示：语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量 进行限定构成假命题，如取，不满足；语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量 进行限定构成真命题.

［知识梳理］

【答案】； 全称量词； ,

［例1］ （对接教材例1）判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假.

（1） 在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点；

（2） 自然数的平方大于或等于零；

（3） ，有.

【答案】（1） 【解】含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中，任意有序实数对 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题.

（2） 省略了全称量词，可以表示为,.故是全称量词命题，为真命题.

（3） 是全称量词命题，当 时，不满足，所以“，有”为假命题．

（1）判断全称量词命题的方法

判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别，求解时需要把它补充出来.

（2）全称量词命题的真假判断

判断真假时用直接法或间接法，直接法就是集合中的每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可.

［跟踪训练1］．

（1） （多选）下列全称量词命题中真命题有（  ）

A. 负数不能开根号

B. 对任意的实数，，都有

C. 二次函数的图象与轴恒有交点

D. ，，都有

（2） 命题“对任意一个实数，都不小于零”，用数学符号表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

【答案】（1） BC

（2） ，

【解析】

（1） 选.对于，在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇次方根，故 为假命题；

对于，对任意的实数，，，即，故 为真命题；

对于，因为，所以二次函数 的图象与 轴恒有交点，故 为真命题；

对于，当 时，，故 为假命题.

（2） 含有全称量词“任意一个”，用符号“ ”表示，“不小于零”就是“”，因此该命题用数学符号表示为“，”.

二 存在量词与存在量词命题

观察下列四个语句：

（1）；

（2）能被2和3整除；

（3）存在一个，使；

（4）至少有一个，能被2和3整除.

思考1．比较语句（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

思考2．对于语句（3）（4），你能判断它们的真假吗？

【答案】思考1 提示：容易判断，语句（1）（2）不是命题.语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量 的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量 的取值进行限定，从而使（3）（4）变成了可以判断真假的陈述句，因此（3）（4）是命题.

思考2 提示：（3）是真命题，（4）是真命题.

［知识梳理］