17-1.5.1 全称量词与存在量词-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，通过实例观察语句差异引出量词定义，系统梳理全称/存在量词命题的概念、符号表示及真假判断方法，并延伸至含参数量词命题的参数范围求解，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 以“罗素理发师悖论”导入激发兴趣，通过对比分析语句培养抽象能力与推理意识，符号化表示强化数学语言表达。例题对接教材，跟踪训练含多选等形式，课中助力教师教学，课后便于学生自查巩固，有效提升数学核心素养。

1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 新课导入 某位理发师的广告词是这样写的:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢?这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！ 学习目标 1.通过已知的数学实例，理解全称量词、存在量词的定义． 2.理解全称量词命题、存在量词命题的定义，并会用符号表示． 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 新知学习 探究 一 全称量词与全称量词命题 观察下列四个语句： （1）； （2）是整数； （3）对所有的，； （4）对任意一个，是整数. 思考1．语句（1）（2）是命题吗？ 思考2．语句（3）与（1），（4）与（2）有何关系，（3）（4）能判定真假吗？ 【答案】思考1 提示：语句（1）（2）中虽然含有变量，由于不知道变量 代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题. 思考2 提示：语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量 进行限定构成假命题，如取，不满足；语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量 进行限定构成真命题. ［知识梳理］ 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号 ①_ _ 全称量词命题 含有②_ _ _ _ _ _ _ _ 的命题 形式 “对中任意一个,成立”，可用符号简记为“③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ” 【答案】； 全称量词； , ［例1］ （对接教材例1）判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. （1） 在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； （2） 自然数的平方大于或等于零； （3） ，有. 【答案】（1） 【解】含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中，任意有序实数对 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题. （2） 省略了全称量词，可以表示为,.故是全称量词命题，为真命题. （3） 是全称量词命题，当 时，不满足，所以“，有”为假命题． （1）判断全称量词命题的方法 判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别，求解时需要把它补充出来. （2）全称量词命题的真假判断 判断真假时用直接法或间接法，直接法就是集合中的每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可. ［跟踪训练1］． （1） （多选）下列全称量词命题中真命题有（ ） A. 负数不能开根号 B. 对任意的实数，，都有 C. 二次函数的图象与轴恒有交点 D. ，，都有 （2） 命题“对任意一个实数，都不小于零”，用数学符号表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） BC （2） ， 【解析】 （1） 选.对于，在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇次方根，故 为假命题； 对于，对任意的实数，，，即，故 为真命题； 对于，因为，所以二次函数 的图象与 轴恒有交点，故 为真命题； 对于，当 时，，故 为假命题. （2） 含有全称量词“任意一个”，用符号“ ”表示，“不小于零”就是“”，因此该命题用数学符号表示为“，”. 二 存在量词与存在量词命题 观察下列四个语句： （1）； （2）能被2和3整除； （3）存在一个，使； （4）至少有一个，能被2和3整除. 思考1．比较语句（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ 思考2．对于语句（3）（4），你能判断它们的真假吗？ 【答案】思考1 提示：容易判断，语句（1）（2）不是命题.语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量 的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量 的取值进行限定，从而使（3）（4）变成了可以判断真假的陈述句，因此（3）（4）是命题. 思考2 提示：（3）是真命题，（4）是真命题. ［知识梳理］ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ①_ _ 存在量词命题 含有②_ _ _ _ _ _ _ _ 的命题 形式 “存在中的元素，成立”，可用符号简记为“③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ” 【答案】； 存在量词； ， ［例2］ （多选）（对接教材例2）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. 有些菱形是正方形 B. 若，则 C. , D. ， 【答案】ACD 【解析】对于，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故 符合题意； 对于，等价于，则，这是全称量词命题，故 不符合题意； 对于，对 有，故 符合题意； 对于，对 有，故 符合题意. （1）判断存在量词命题的方法 ①含有存在量词“存在一个”“至少有一个”等的命题是存在量词命题. ②虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在一个”“至少有一个”等特征的命题是存在量词命题. （2）存在量词命题的真假判断 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合中，找到一个,使成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题. ［跟踪训练2］． （1） （多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（ ） A. , B. 存在一个实数，它的绝对值不是正数 C. 有些自然数是偶数 D. , （2） 命题“存在正实数，使得大于”，用符号语言可表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，该命题为命题．（填“真”或“假”） 【答案】（1） BC （2） ，；假 【解析】 （1） 选.对于，，，故 为假命题； 对于，存在一个实数0，它的绝对值不是正数，故 为真命题； 对于，有些自然数是偶数，如2，故 为真命题； 对于，由 可得， 因为，解得，即，,故 为假命题. （2） 命题“存在正实数，使得 大于”，用符号语言可表示为“，”. 因为 时，，所以该命题为假命题. 三 由含量词命题的真假求参数 ［例3］ 已知命题，.若为真命题，求实数的取值范围. 【解】 命题 为真命题，转化为 对任意 恒成立，因此，即. 母题探究1．本例中“”改为“”其他条件不变，求实数的取值范围. 解：由例题解析可得 对任意 恒成立，，但 没有最小值，所以. 母题探究2．本例中“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数的取值范围． 解：由题得命题，，命题 为真命题，转化为 在 上有解，因此，即 利用含量词命题的真假求参数取值范围的方法 （1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式如，确定参数的取值范围. （2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式解决. ［跟踪训练3］．若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.当 时，，符合题意； 当 时，只要 即可，解得，即 且. 综上，实数 的取值范围为.故选. 课堂巩固 自测 1．下列命题中是存在量词命题的是（ ） A. 任何一个实数乘以0都等于0 B. 任意一个负数都比零小 C. 每一个正方形都是矩形 D. 一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【解析】选.存在量词命题指含有存在量词的命题，故“一定存在没有最大值的二次函数”为存在量词命题，故 正确；其他选项中的“任何”“任意一个”“每一个”都是全称量词，故，，错误. 2．（多选）已知集合，，则（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】AD 【解析】选.依题意知，所以，；，，即，正确，，错误. 3．对任意，等式成立，则实数_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为对任意，等式 成立， 所以， 则 解得. 4．（教材P28T1、T2改编）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． （1） 末位是零的整数，可以被5整除; （2） 有的集合中不含有任何元素; （3） 存在对角线不互相垂直的菱形; （4） ，满足. 【答案】（1） 解：全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （2） 存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”是真命题． （3） 存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不互相垂直的菱形，因此“存在对角线不互相垂直的菱形”是假命题． （4） 存在量词命题，，满足，因此“，满足”是真命题． 课堂小结 1.已学习：全称量词（命题）、存在量词（命题）的概念. 2.须贯通：含量词命题的真假问题往往转化为集合间的关系或函数的最值问题，体现了转化思想. 3.应注意：有些命题量词可省略；全称量词命题强调“全部、任意性”；存在量词命题强调“个别、存在性”. 学科网（北京）股份有限公司 $