15-1.4.2 充要条件-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本高中数学讲义聚焦“充要条件”核心知识点，先以逆命题概念为铺垫，通过原命题与逆命题的真假关系引出充要条件定义，系统梳理定义法、集合法等判断方法，结合证明及参数应用，构建从基础到应用的递进式学习支架。 该资料以老张请客故事导入，用生活情境培养数学眼光，通过思考问题链引导逻辑推理发展数学思维，例题涵盖集合、几何等实例，规范数学语言表达。课中助力互动教学，课后跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

1.4.2 充要条件 新课导入 老张邀请朋友吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了，走了．老张愣了片刻，又道：“不该走的又走了．”李四大怒，拂袖而去．这个小故事就蕴含了我们这节将要讲的知识哦. 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的含义． 2.会判断一些简单的充要条件问题． 3.能对充要条件进行证明． 新知学习 探究 一 逆命题 已知命题：若，则. 思考1．该命题是真命题还是假命题？ 思考2．若，则，是真命题吗？ 【答案】思考1 提示：是假命题，如,但. 思考2 提示：是假命题，如，有. ［知识梳理］ 将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ”，称这个命题为原命题的逆命题. 【答案】若,则 ［即时练］ 1．“若，则”的逆命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】选.“若，则”的逆命题为“若，则”.故选. 2．命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为“如果，互为相反数，那么”，该命题为真命题. 3．把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出其逆命题． （1） 当时，； （2） 如果抛物线经过原点，那么； （3） 角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】 （1） 解：若，则； 逆命题：若，则. （2） 若抛物线 经过原点，则； 逆命题：若，则抛物线 经过原点． （3） 若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上． 对于命题的判断及形式改写，关键是要分清条件与结论，原命题与其逆命题的条件与结论对调，它们互为逆命题，原命题的真假性与其逆命题的真假性无关. 二 充要条件 给出下面两个“若，则”形式的命题： （1）若，则； （2）若，则. 思考1．能判断这两个命题的真假吗？ 思考2．若，，则是的什么条件？ 思考3．命题（1）与命题（2）有什么关系？ 【答案】 思考1 提示： （1）是真命题；（2）是真命题. 思考2 提示：由命题（1）知 是 的充分条件；由命题（2）知 是 的必要条件. 思考3 提示：互为逆命题. ［知识梳理］ 命题真假 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题 推出关系 既有,又有，记作①_ _ _ _ _ _ 条件关系 既是的充分条件，也是的必要条件 结论 是的②_ _ _ _ _ _ _ _ 条件，简称为③_ _ 条件 【答案】； 充分必要； 充要 ［例1］ （对接教材例3）下列命题中，哪些是的充要条件？ （1） 集合，，，集合； （2） 是直角三角形，是等腰三角形； （3） ，； （4） 某四边形是菱形，某四边形的对角线相互垂直. 【答案】 （1） 【解】若，，则,又由，则， 同理可得，则有； 反之，若，一定有，，,故 是 的充要条件. （2） 由 是直角三角形推不出 是等腰三角形， 由 是等腰三角形推不出 是直角三角形， 故 是 的既不充分也不必要条件. （3） 若，则 或，如，不能推出； 若，则 且，能推出， 故 是 的必要不充分条件. （4） 菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，即 但，故 是 的充分不必要条件. 判断充要条件的方法 （1）定义法：直接判断“若,则”以及“若，则”的真假. （2）集合法：即利用集合的包含关系判断. （3）等价法：即利用与的等价关系，对于条件和结论为否定形式的命题，一般运用等价法. 注意 是的充要条件意味着“成立，则一定成立；不成立，则一定不成立”. 是的充要条件，则也是的充要条件. 常用结论 条件与结论的关系 结论 ，且 是的充分不必要条件 ，且 是的必要不充分条件 ，且，即 是的充要条件 ，且 是的既不充分也不必要条件 ［跟踪训练1］． （1） 在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （2） （多选）设全集为，，，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是 A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） BD 【解析】 （1） 选.在 中，若，根据大角对大边可得，若，则根据大边对大角可知．所以“”是“”的充要条件． （2） 选.对于，由 图可知，当 时，，故 错误； 对于，由 图可知， 等价于，故 正确； 对于，若，当 时，取，，， 此时 ， ，满足条件，但 不成立，故 错误； 对于，由 图可知，等价于，故 正确. 三 充要条件的应用 角度1 充要条件的证明 ［例2］ 求证：“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【证明】 充分性：在 中，设 边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故 为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若 为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 充要条件的证明思路 在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.即：若证明“的充要条件是”，那么“充分性”是，“必要性”是；若证明“是的充要条件”，则与之相反. 角度2 利用充要条件求参数 ［例3］ 已知，． （1） 若是的充要条件，求的值； （2） 若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） 【解】因为 是 的充要条件，所以，解得. （2） 因为 是 的充分不必要条件， 所以， 即， 解得， 所以 的取值范围是. 利用充要条件求参数值（范围）的一般步骤 （1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的包含关系. （2）根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式（组）求解. ［跟踪训练2］． （1） 二次函数的图象关于直线对称的充要条件是（ ） A. B. C. D. （2） 求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】（1） B （2） 证明：充分性：因为， 所以， 代入方程， 得， 即． 所以方程 有一个根为1，充分性成立． 必要性：因为方程 有一个根为1， 所以 满足方程， 所以，即，必要性成立． 故关于 的方程 有一个根为1的充要条件是． 【解析】 （1） 选.因为函数 的图象的对称轴为直线，则，即. 学科网（北京）股份有限公司 $