15-1.4.2 充要条件-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

1.4.2 充要条件

新课导入

老张邀请朋友吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了，走了．老张愣了片刻，又道：“不该走的又走了．”李四大怒，拂袖而去．这个小故事就蕴含了我们这节将要讲的知识哦.

学习目标

1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的含义．

2.会判断一些简单的充要条件问题．

3.能对充要条件进行证明．

新知学习 探究

一 逆命题

已知命题：若，则.

思考1．该命题是真命题还是假命题？

思考2．若，则，是真命题吗？

【答案】思考1 提示：是假命题，如,但.

思考2 提示：是假命题，如，有.

［知识梳理］

将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ”，称这个命题为原命题的逆命题.

【答案】若,则

［即时练］

1．“若，则”的逆命题是（  ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】选.“若，则”的逆命题为“若，则”.故选.

2．命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为命题.（填“真”或“假”）

【答案】真

【解析】命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题为“如果，互为相反数，那么”，该命题为真命题.

3．把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出其逆命题．

（1） 当时，；

（2） 如果抛物线经过原点，那么；

（3） 角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【答案】

（1） 解：若，则；

逆命题：若，则.

 

（2） 若抛物线 经过原点，则；

逆命题：若，则抛物线 经过原点．

 

（3） 若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等；

逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上．

对于命题的判断及形式改写，关键是要分清条件与结论，原命题与其逆命题的条件与结论对调，它们互为逆命题，原命题的真假性与其逆命题的真假性无关.

二 充要条件

给出下面两个“若，则”形式的命题：

（1）若，则；

（2）若，则.

思考1．能判断这两个命题的真假吗？

思考2．若，，则是的什么条件？

思考3．命题（1）与命题（2）有什么关系？

【答案】

思考1 提示：

（1）是真命题；（2）是真命题.

思考2 提示：由命题（1）知 是 的充分条件；由命题（2）知 是 的必要条件.

思考3 提示：互为逆命题.

［知识梳理］

【答案】； 充分必要； 充要

［例1］ （对接教材例3）下列命题中，哪些是的充要条件？

（1） 集合，，，集合；

（2） 是直角三角形，是等腰三角形；

（3） ，；

（4） 某四边形是菱形，某四边形的对角线相互垂直.

【答案】

（1） 【解】若，，则,又由，则，

同理可得，则有；

反之，若，一定有，，,故 是 的充要条件.

 

（2） 由 是直角三角形推不出 是等腰三角形，

由 是等腰三角形推不出 是直角三角形，

故 是 的既不充分也不必要条件.

 

（3） 若，则 或，如，不能推出；

若，则 且，能推出，

故 是 的必要不充分条件.

（4） 菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，即 但，故 是 的充分不必要条件.