09-1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦高中数学集合章节中“全集、补集及综合应用”核心知识点，前承集合的基本概念与交并运算，通过具体情境引入全集，系统梳理补集的含义、符号表示及性质，进而结合定义法、Venn图法、数轴法探究补集求法，最终实现集合交并补的混合运算及含参数问题的解决，构建从概念到应用的递进式学习支架。 该资料以“数学模拟考试选题”情境导入，引导学生用数学眼光发现现实问题中的集合关系，激发探究兴趣。通过思考问题、即时练及例题设计，结合Venn图、数轴等直观工具，培养学生逻辑推理与直观想象的数学思维，如用定义法解决有限集补集、数轴法处理无限集运算。容斥原理的拓展应用及分层练习（即时练、跟踪训练），助力学生用数学语言精准表达集合关系，课中辅助教师实施情境教学与分层指导，课后便于学生自主回顾与强化，有效弥补知识盲点。

第2课时 全集、补集及综合应用 新课导入 在某次数学模拟考试中，单选题的第8题有四个选项，某同学求不出正确答案，但明显知道其余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识. 学习目标 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 3.会用图、数轴解决集合的综合运算问题. 新知学习 探究 一 全集与补集 如果学校里所有同学组成的集合记为，所有男同学组成的集合记为，所有女同学组成的集合记为. 思考1．这三个集合之间有什么联系？ 思考2．如果且,你能得到什么结论？ 【答案】思考1 提示：，. 思考2 提示：. ［知识梳理］ 1．全集 定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的①_ _ 元素，那么就称这个集合为全集. 记法：通常记作. 【答案】所有 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合，由全集中②_ _ _ _ _ _ 集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作③_ _ _ _ _ _ 符号语言 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 图形语言 性质 （1）； （2） ，； （3）； （4）； 【答案】不属于； ； ,且 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 数集问题的全集一定是.（ ） （2） 集合与相等.（ ） （3） .（ ） （4） 一个集合的补集中一定含有元素.（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） √ （4） × 2．已知全集,,0,,，则（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【解析】选.因为,,0,， ,所以,. 3．已知全集，集合，则的真子集个数为_ _ _ _ . 【答案】7 【解析】由全集，，得， 因此 中有3个元素，其真子集个数为. 4．若全集,,或，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】如图，由补集定义可知 表示图中阴影部分，故 或. 求集合的补集的方法 （1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. （2）图法：借助图可直观地求出全集及补集. （3）数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题. 二 集合交、并、补的混合运算 ［例1］ （1） 设集合,,，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知全集，集合，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） ，或； 【解析】 （1） 由条件可得，,， 所以. （2） 根据题意，画出数轴， 由图1可得，或. 由图2可得，或. 所以，或， . 集合混合运算的一般思路 （1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； （2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； （3）注意对运算结果进行检验. ［跟踪训练1］． （1） [（2024·全国甲卷）]已知集合,，则（ ） A. B. C. D. （2） 如图，设全集，，，则图中的阴影部分表示的集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.因为,，所以，4，9，16，25，， 则,. （2） 题图表示的集合为. 三 利用集合间的关系求参数 ［例2］ 设集合,,全集，且 ，求实数的取值范围. 【解】 由已知, 得, 因为, , 在数轴上表示，如图， 所以,即. 所以实数 的取值范围是. 母题探究．若将本例中条件“ ”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围. 解：因为, 所以, 又,所以， 所以，解得. 所以实数 的取值范围是. 由集合的补集求解参数的方法 （1）对于由补集求参数问题，当集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解. （2）对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，当集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解. ［跟踪训练2］． （1） 已知全集,,，,，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （2） 已知，集合,,，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.因为全集,,， ,，又， 所以, 解得 或. 当 时，，不满足全集 中元素互异性，不符合题意，舍去； 当 时，,,, ,，符合题意； 所以. （2） 因为， 所以 或. 又因为,， 观察 与 在数轴上表示的范围，如图所示, 所以当 时，. 拓视野 集合中元素个数与容斥原理 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合，， ，，将中的元素个数记为. 关于集合中的元素个数有下面的关系（也称容斥原理） 二元容斥原理； 三元容斥原理. ［典例］ 为提升学生学习双语的热情，某教学联盟计划举行“语文情境默写”“英语读后续写”两项竞赛，某校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， 所以， 所以，所以语文和英语均不擅长的同学人数为3. ［练习］．小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 【答案】46 【解析】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为,,，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为， 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则 后三个方程相加得，与第一个方程消去 得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 学科网（北京）股份有限公司 $