07-1.3 第1课时 并集和交集-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦集合的并集与交集运算，前承集合基本概念，后续可延伸至补集运算，构建完整集合运算体系。通过思考问题、知识梳理、例题解析及跟踪训练搭建学习支架，逐步深化概念理解与运算应用。 以运动会报名实例导入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过问题链探究并集、交集概念，培养数学思维中的逻辑推理能力。借助数轴和Venn图直观表达集合关系，落实数学语言的应用，课中助力教师分层教学，课后通过自测与小结帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

1.3 集合的基本运算 第1课时 并集和交集 新课导入 学校举行秋季运动会，高一（1）班的同学们积极踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米 ，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节我们就学习集合间的运算问题. 学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 2.能使用图或数轴表达集合的关系及运算. 新知学习 探究 一 并集 请同学们观察下列三组集合： ，，，，，0，1，； 是偶数，是奇数，是整数}； ，，，3，，，2，3，. 思考1．集合中的元素与集合，中元素的关系是什么？ 思考2．①中集合的元素个数等于集合，的元素个数的和吗？③中呢？ 【答案】思考1 提示：集合 中的元素是由所有属于 或属于 的元素组成. 思考2 提示：①中等于，③中不等于. ［知识梳理］ 1．并集的概念 【答案】或； ； ,或 2．并集的运算性质 （1）④_ _ _ _ _ _ ;（2）⑤_ _ _ _ _ _ ;（3）⑥_ _ _ _ _ _ ;（4）若，则，反之也成立. 【答案】； ； ［例1］ （1） （对接教材例1）已知集合,，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） C 【解析】 （1） 集合,，则. （2） 在数轴上表示出两个集合，如图，可得. 求两个集合的并集的方法 （1）对于元素个数有限的集合,可直接根据集合并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性. （2）对于元素个数无限的集合,可借助数轴求解,注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围. ［跟踪训练1］． （1） 已知集合，,1,3,，则（ ） A. B. C. ,1,3, D. （2） 已知集合，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.由题得， 又,1,3,， 所以. （2） 因为，，如图， 所以. 二 交集 观察集合，2，，，3，，，，，，回答下面的问题. 思考1．集合与集合有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？ 思考2．集合，，中的元素与集合，有什么关系？ 思考3．集合与集合，有什么区别？ 【答案】思考1 提示：有公共元素，组成的集合是，. 思考2 提示：既属于，又属于. 思考3 提示：集合 中的元素是由既属于，又属于 的所有元素组成的，集合，中的元素是由既属于，又属于 的其中一个元素组成的. ［知识梳理］ 1．交集的概念 【答案】且； ； ,且 2．交集的运算性质 （1）④_ _ _ _ _ _ ;（2）⑤_ _ _ _ ;（3）⑥_ _ _ _ _ _ . 【答案】； ； ［例2］ （1） （对接教材例3）英文单词所有字母组成的集合记为，英文单词所有字母组成的集合记为，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 （2） 设集合,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 因为,,,,，,,},所以,，即共有2个元素. （2） 因为，，画出数轴如图所示. 所以. 求两个集合的交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个列出两个集合的公共元素即可. （2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. ［跟踪训练2］． （1） [（2025·聊城期末）]设集合，.则（ ） A. B. C. D. （2） 已知集合，集合，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.，画出数轴如图所示， 所以. （2） 集合，集合， 所以. 三 并集、交集的运算性质及应用 ［例3］ 已知集合,,且. （1） 若，求实数的取值范围； （2） 若,求实数的值. 【答案】 （1） 【解】因为,所以，画出数轴如图. 观察数轴可知 所以. 经检验，端点值符合题意，故实数 的取值范围为. （2） 画出数轴如图，. 观察图形可知 解得. 母题探究．在本例（2）中，将条件“”变为“ ”，求实数的取值范围. 解：由于 ，结合数轴（图略）得，或. 又因为， 所以，或. 故实数 的取值范围是，或. 利用集合交集、并集的性质求参数的策略 （1）若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. （2）将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解. （3）解方程（组）或不等式（组）,从而确定参数的值或取值范围. 常用结论,. （2）若,则,反之也成立，即若，则. （3）若,则,反之也成立，即若，则. （4）若,则. ［跟踪训练3］． （1） 已知集合，满足，，若，则一定有（ ） A. B. C. D. （2） 已知集合或，，其中.当时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 或；或 【解析】 （1） 选.因为，，且，所以必有，可能 且，也可能 且，故 正确，，，错误. （2） 当 时，集合 或，， 所以 或. 因为，所以，于是有 或，即 或， 因此实数 的取值范围为 或. 课堂巩固 自测 1．（教材P12T1改编）已知集合，,1,，则（ ） A. B. C. ,2, D. ,1,2, 【答案】D 【解析】选.由已知,1,2,. 2．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.集合，，则. 3．（多选）已知集合，,则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】BD 【解析】选.因为，图如图所示， 故，，即 错误，正确； 由交集和并集的概念可知，，即 错误，正确. 4．（教材P14T2改编）已知集合，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，集合，， 因为，可得， 所以. 5．已知集合，，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以，则. 课堂小结 1.已学习：并集、交集的概念及运算，根据集合间的运算求参数范围. 2.须贯通：集合的交集、并集的运算，常借助于图、数轴等工具来直观显示集合间的关系，如含有参数，则注意分类讨论，不重不漏. 3.应注意：（1）利用集合关系求参数时切莫遗忘空集; （2）无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键. 学科网（北京）股份有限公司 $