05-1.2 集合间的基本关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦集合间的基本关系这一核心知识点，从开学季班级集合的现实情境导入，系统梳理子集、真子集、空集的概念及集合相等的定义，通过Venn图与数轴直观表达集合关系，构建从具体情境到抽象概念再到综合应用（如判断关系、求子集个数、由关系求参数）的学习支架。 资料以情境导入培养学生用数学眼光观察现实世界，通过思考问题（如子集与真子集的区别）引导逻辑推理发展数学思维，结合Venn图、数轴等工具强化数学语言表达。例题与跟踪训练分层设计，课中助力教师高效授课，课后便于学生自主复习查漏补缺。

1.2 集合间的基本关系 新课导入 本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组成集合，其中高一（1）班的50位新生组成集合,那么，集合与集合有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系. 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2.能使用图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 3.在具体情境中，了解空集的含义. 新知学习 探究 一 子集 某国际赛事中，假设全部参赛运动员组成集合，中国参赛运动员组成集合. 思考1．集合中的任何一个元素都是集合中的元素吗？ 思考2．集合中的任何一个元素都是集合中的元素吗？ 【答案】思考1 提示：不是. 思考2 提示：都是. ［知识梳理］ 1．图 在数学中，我们经常用平面上①_ _ _ _ _ _ _ _ 的内部代表集合，这种图称为图. 【答案】封闭曲线 2．子集概念 定义 一般地，对于两个集合，，如果集合中②_ _ 一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集 记法与读法 记作③_ _ _ _ _ _ （或④_ _ _ _ _ _ _ _ ）,读作“包含于”（或“包含”） 图示 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即. （2）对于集合，，，若，且，则⑤_ _ _ _ _ _ 【答案】任意； ； ； 3．集合相等 一般地，如果集合的任何一个元素⑥_ _ 集合的元素，同时集合的任何一个元素⑦_ _ 集合的元素，那么集合与集合相等，记作.也就是说若，且，则. 【答案】都是； 都是 ［例1］ （对接教材例2）指出下列各对集合之间的关系： （1） ，，，； （2） ，2，，是8的因数}； （3） 是等边三角形，是等腰三角形}； （4） ，. 【答案】 （1） 【解】中唯一元素， 所以. （2） 因为，， 所以. （3） 因为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，所以. （4） 因为，，如图，所以. 判断集合间关系的常用方法 注意 用数轴表示不等式时，如果端点处带“”，在数轴上端点处画实点；如果端点处不带“”，在数轴上端点处画虚点. ［跟踪训练1］． （1） 已知集合，则（ ） A. B. C. , D. , （2） 已知集合,}与，则_ _ _ _ .（从“ ”或“ ”或“”或“”选取最精确的符号填写） 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.集合,， ，错误； ，元素与集合不能用“ ”符号，错误； 根据子集的定义，有，，正确； 集合,不是集合 中的元素，不能用“ ”符号，错误. （2） 因为，所以 或，又，所以. 二 真子集 思考1．若集合是集合的子集，集合的元素也都在集合内吗？举例说明. 提示：不一定，如，，但. 思考2．方程的实数解组成的集合有几个元素？ 提示：因为，所以方程 无实数解，其解集内有0个元素. ［知识梳理］ 1．真子集 定义 如果集合，但存在元素,且①_ _ _ _ _ _ _ _ ,就称集合是集合的真子集 记法与读法 记作②_ _ _ _ _ _ （或），读作“真包含于”（或“真包含”） 图示 结论 对于集合，，，如果，且，那么 【答案】； 2．空集 （1）定义：把不含③_ _ _ _ _ _ _ _ 的集合叫做空集. （2）符号表示：④_ _ . （3）规定：空集是任何集合的⑤_ _ ，是任何非空集合的⑥_ _ _ _ _ _ . 【答案】任何元素； ； 子集； 真子集 ［例2］ （对接教材例1）已知集合且，且. （1） 写出集合的子集，真子集； （2） 求集合的子集数，非空真子集数. 【答案】 （1） 【解】由题意得， 的子集有： ，，，，，，，，，，，1，； 的真子集有： ，，，，，，，，，. （2） ，，0，， 有4个元素，的子集数为， 的非空真子集数为. （1）求集合的子集或真子集的思路 （2）求集合的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集： 和自身. ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，做到不重不漏. 常用结论 假设集合中含有个元素，则的子集有个；的非空子集有个；的真子集有个；的非空真子集有个. ［跟踪训练2］． （1） 满足，1，的集合的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 （2） 写出集合的所有非空子集_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） ，，，,，,，，,1, 【解析】 （1） 选.因为集合，1，， 则集合 可以为，，，，，，，共7个. （2） ,1,， 其所有非空子集有，，，,，,，，,1,. 三 由集合间的关系求参数 ［例3］ （1） [（2025·宿州期中）]已知集合，，,，且，则实数（ ） A. 0 B. 3 C. D. 3或0 （2） 已知集合，，且，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 因为，且,的元素个数相等，所以，所以，解得 或， 当 时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当 时，，满足条件. （2） 由于，结合数轴分析可知，. 又，所以实数 的取值范围是. 母题探究．本例（2）若将“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围. 解：若，则 ，满足； 若，则由例题解析可知. 综上可知，实数 的取值范围是. 由集合间的关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论. （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. 注意（1）不能忽视集合为 的情形. （2）当集合中含有参数时，一般需要分类讨论. ［跟踪训练3］． （1） 已知集合,，,1,,若,关系如图所示，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 （2） 已知集合，,若，则满足条件的的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 或 【解析】 （1） 选.由题图可知,则,所以. （2） 当 时，满足，此时有，解得； 当 时，要使， 只需 解得. 所以实数 的取值范围为 或. 学科网（北京）股份有限公司 $