03-1.1 第2课时 集合的表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦高中数学集合的表示方法，通过生活实例导入，系统梳理列举法（一一列举元素用花括号括起，含求元素、列举、检查互异性三步骤）和描述法（用共同特征表示，适用于无限元素），结合方程解、函数交点等例题构建从具体到抽象的学习支架。 资料以“生日祝福不同语言”类比导入，培养数学眼光观察现实；通过思考问题引导探究，发展数学思维的推理意识；例题步骤清晰、跟踪训练分层，助力数学语言表达。课中教师可依托问题链引导教学，课后学生能借巩固题与小结回顾方法，查漏补缺。

第2课时 集合的表示 新课导入 语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式,例如，我们用中文说“祝你生日快乐”，英文为“”等等.那么,对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）. 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合. 新知学习 探究 一 列举法 观察下列两个集合： （1）中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合； （2）十二生肖组成的集合. 思考1．上述两个集合的元素能一一列举出来吗？为什么？ 思考2．上述集合与除了用自然语言描述外，还有更简单明了的表示方式吗？如何表示？ 【答案】思考1 提示：能，因为两个集合里的元素都是有限个. 思考2 提示：有，两个集合可以这样表示，如 红色，黄色}；鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪}. ［知识梳理］ 把集合的所有元素_ _ _ _ _ _ _ _ 出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. 【答案】一一列举 ［例1］ （对接教材例1）用列举法表示下列集合： （1） 方程的解组成的集合； （2） “”中的所有字母组成的集合； （3） 函数的图象与坐标轴的交点组成的集合. 【答案】（1） 【解】方程 的解为 或，因此可以用列举法表示为. （2） 由于“”中包含的字母有，，，，，，共6个元素， 因此可以用列举法表示为{,,,,,}. （3） 函数 的图象与 轴的交点为，与 轴的交点为，因此可以用列举法表示为. 用列举法表示集合的三个步骤 （1）求出集合中的元素； （2）把各元素列举出来，并用花括号括起来； （3）检查元素是否符合集合中元素的互异性. 注意（1）用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序；（2）二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集，应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. ［跟踪训练1］．用列举法表示下列集合： （1） 10以内的所有素数组成的集合； （2） 方程的实数根组成的集合； （3） 一次函数与的图象的交点组成的集合. 【答案】（1） 解：10以内的素数有2,3,5,7,因此构成的集合为. （2） 解方程 得 或， 所以集合. （3） 解方程组 得 所以集合. 二 描述法 思考1．“大于且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？ 提示：不能.集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举. 思考2．设为“大于且小于2的实数”构成的集合的元素，有何特征？ 提示： 且. ［知识梳理］ 一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成或；. 【答案】 ［例2］ 用描述法表示下列集合: （1） 被3除余1的所有自然数组成的集合； （2） 比1大又比10小的所有实数组成的集合； （3） 平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合. 【答案】（1） 【解】被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为,}. （2） 比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为. （3） 平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为. 用描述法表示集合的两个步骤 ［跟踪训练2］．选择适当方法表示下列集合: （1） 由不超过5的所有自然数组成的集合； （2） 不等式的解集； （3） 二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】（1） 解：用列举法表示集合. （2） 用描述法表示集合. （3） 用描述法表示集合. 三 集合表示法的应用 ［例3］ 已知集合,}. （1） 若,用列举法表示； （2） 当集合中有且仅有一个元素时，求的值组成的集合. 【答案】 （1） 【解】若,则1是方程 的实数根，所以，解得,所以方程为,解得 或, 所以. （2） 当 时，， 解得，此时; 当 时，若集合 中有且仅有一个元素， 则方程 有两个相等的实数根， 所以 解得,方程为，解得，此时. 综上，当 或 时，集合 中有且仅有一个元素，所以，. 母题探究．在本例条件下，集合中有两个元素，求实数的取值范围.（用集合表示） 解：依题意，，且,所以 且,故实数 的取值范围是 且. 集合与方程的综合问题的解题步骤 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根； （2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论； （3）求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. ［跟踪训练3］． （1） （多选）已知集合，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （2） [（2025·威海期中）]已知集合,,，若，则. 【答案】（1） AB （2） 14 【解析】 （1） 选.由方程，解得 或，所以,，所以，，. （2） 因为，,,， 所以当 时，,，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当 时，，,,符合题意. 综上，. 课堂巩固 自测 1．（教材P5习题1.1T2改编）集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意可得集合. 2．（多选）下列说法错误的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 B. 方程的解集为, C. ，且中的元素个数为0 D. 若，则 【答案】BD 【解析】选.对于，第一象限内的点 满足，，第三象限内的点 满足，，故 正确； 对于，方程的解为 故解集为，故 错误； 对于，由 的范围可得，且 中的元素个数为0，故 正确； 对于，,0,，，故 错误. 3．[（2025·达州期中）]若，则集合中所有元素之和为_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】因为，则有，解得，即方程为，解得 或，所以,，所有元素之和为3. 4．（教材P6T4改编）选择适当的方法表示下列集合： （1） 平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; （2） 不大于10的非负偶数组成的集合； （3） 使函数有意义的实数组成的集合. 【答案】（1） 解：利用描述法表示集合,或. （2） 因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数组成的集合是，2，4，6，8，. （3） 由，则，解得，故集合为. 课堂小结 1.已学习：（1）集合的表示方法：列举法、描述法；（2）集合与方程、不等式的关系. 2.须贯通：（1）元素个数有限，适合用列举法表示；元素个数无限，一般用描述法表示；（2）解决集合与方程问题常用分类讨论思想. 3.应注意：（1）要注意数集和点集的区别; （2）当一元二次方程二次项的系数不确定时，易忽略讨论该方程是一次方程还是二次方程. 学科网（北京）股份有限公司 $