03-1.1 第2课时 集合的表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

第2课时 集合的表示

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语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式,例如，我们用中文说“祝你生日快乐”，英文为“”等等.那么,对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？

学习目标

1.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）.

2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.

新知学习 探究

一 列举法

观察下列两个集合：

（1）中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合；

（2）十二生肖组成的集合.

思考1．上述两个集合的元素能一一列举出来吗？为什么？

思考2．上述集合与除了用自然语言描述外，还有更简单明了的表示方式吗？如何表示？

【答案】思考1 提示：能，因为两个集合里的元素都是有限个.

思考2 提示：有，两个集合可以这样表示，如 红色，黄色}；鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪}.

［知识梳理］

把集合的所有元素_ _ _ _ _ _ _ _ 出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.

【答案】一一列举

［例1］ （对接教材例1）用列举法表示下列集合：

（1） 方程的解组成的集合；

（2） “”中的所有字母组成的集合；

（3） 函数的图象与坐标轴的交点组成的集合.

【答案】（1） 【解】方程 的解为 或，因此可以用列举法表示为.

 

（2） 由于“”中包含的字母有，，，，，，共6个元素，

因此可以用列举法表示为{,,,,,}.

（3） 函数 的图象与 轴的交点为，与 轴的交点为，因此可以用列举法表示为.

用列举法表示集合的三个步骤

（1）求出集合中的元素；

（2）把各元素列举出来，并用花括号括起来；

（3）检查元素是否符合集合中元素的互异性.

注意（1）用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序；（2）二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集，应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.

［跟踪训练1］．用列举法表示下列集合：

（1） 10以内的所有素数组成的集合；

（2） 方程的实数根组成的集合；

（3） 一次函数与的图象的交点组成的集合.

【答案】（1） 解：10以内的素数有2,3,5,7,因此构成的集合为.

 

（2） 解方程 得 或，

所以集合.

 

（3） 解方程组 得

所以集合.

二 描述法

思考1．“大于且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？

提示：不能.集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举.

思考2．设为“大于且小于2的实数”构成的集合的元素，有何特征？

提示： 且.

［知识梳理］

一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成或；.

【答案】

［例2］ 用描述法表示下列集合:

（1） 被3除余1的所有自然数组成的集合；

（2） 比1大又比10小的所有实数组成的集合；

（3） 平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.

【答案】（1） 【解】被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为,}.

（2） 比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为.

（3） 平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为.

用描述法表示集合的两个步骤

［跟踪训练2］．选择适当方法表示下列集合:

（1） 由不超过5的所有自然数组成的集合；

（2） 不等式的解集；

（3） 二次函数的图象上所有的点组成的集合.

【答案】（1） 解：用列举法表示集合.

（2） 用描述法表示集合.

（3） 用描述法表示集合.

三 集合表示法的应用

［例3］ 已知集合,}.

（1） 若,用列举法表示；