精品解析：河南省2026届高三上学期11月质量监测数学试题

河南省2026届高三质量监测 数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.32 C. 0.45 D. 0.36 3. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A B. C. D. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 7. 已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 已知函数在上有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中的两条直线 和两个平面，则（ ） A. 若 ，则 没有公共点 B. 若 ， 则 没有公共点 C. 若 ， 则 可能互相平行 D. 若 ， 则 可能互相平行 10. 已知函数，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. ， C. 在区间上有且仅有个零点 D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则 11. 在平面直角坐标系中，设，，定义：．若，且，则下列结论正确的是（    ） A 若关于x轴对称，则 B. 若关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式共有9项，则展开式中 的系数为____________． 13. 已知等边外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为______． 14. 已知函数，则至多有______个实数解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是的中点，，且的周长为，求的面积． 16. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示： 历史 物理 合计 男生 2 23 25 女生 8 17 25 合计 10 40 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 （1）根据表中的数据，判断是否有的把握认为学生选择历史与性别有关； （2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设为抽取的三名学生中女生的人数，求的分布列，并求数学期望和方差． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）若有两个极值点． （i）求实数取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2026届高三质量监测 数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】对于集合，由，得， 则，即，则， 对于集合，由，得，则， 所以. 故选：A. 2. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.32 C. 0.45 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 3. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值. 【详解】， 利用复数相等的充分必要条件可得：. 故选：C. 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用投影向量的坐标运算公式，直接计算，即可求解. 【详解】由向量，可得， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦展开式化简可得答案. 【详解】因为， 所以， 可得， ， ，， 对于A，，故错误；对于B，，故错误； 对于C，，故错误；对于D，，故正确. 故选：D. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 7. 已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定函数，探求其对称性及单调性，由此求出目标值. 【详解】函数，则 ，因此函数的图象关于点对称， 函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增， 则，而，所以. 故选：B 8. 已知函数在上有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数求出导函数，进而求出极值点，分时讨论极值点的个数，列式计算求参. 【详解】因为，所以，且为奇函数，， 因为函数在上有且仅有3个极值点，所以函数在上有且仅有3个零点， 即得在上有且仅有1个零点， 当时，时，，所以在上无零点，不合题意； 当时，时，令，， 若，则单调递增，，时，恒成立，所以在上无零点，不合题意； 若，则，， 令， 则时，，即单调递增， 故函数在即上存在唯一零点，满足题意. 综上所述，. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中的两条直线 和两个平面，则（ ） A. 若 ，则 没有公共点 B. 若 ， 则 没有公共点 C. 若 ， 则 可能互相平行 D. 若 ， 则 可能互相平行 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若 ，则或相交，故A错误； 若 ， 则 没有公共点，故B正确； 若 ， 则 可能互相平行也可能相交，故C正确； 若 ， 则 可能互相平行也可能相交还可能异面，故D正确； 故选：BCD 10. 已知函数，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. ， C. 在区间上有且仅有个零点 D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：验证不是对称中心即可得；对C：令，解出即可得；对D：求出后，验证不是的对称轴即可得. 【详解】对A：由，则， 解得，又，故，故A正确； 对B：若，，则是对称中心， 令，有， 故不对称中心， 故B错误； 对C：令，解得， 令，则， 则，故可为、、、，共个， 故在区间上有且仅有个零点，故C正确； 对D：， 若，则关于对称， 当时，有， 由不是的对称轴，故不是的对称轴，故D错误. 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，设，，定义：．若，且，则下列结论正确是（    ） A. 若关于x轴对称，则 B. 若关于直线对称，则 C 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义距离，将每个选项中的距离表示出来，再利用指数函数的单调性和不等式性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为关于x轴对称，且，， 所以，而， 得到， 同理， 即此时满足，故A正确， 对于B，因为关于直线对称，且，， 所以，则， ， 构造，由指数函数性质得在上单调递增， 因为，且，所以，得到， 则，得到，即， 则，故B正确， 对于C，由题意得，， 因为，所以， 得到， 令，符合题意， 此时， 而，则， 由已知得，则，故C错误， 对于D，设，，则， 则，所以,所以, 同理可得，得到， 而，由指数函数单调性, 得到，则， 故，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式共有9项，则展开式中 的系数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式共有9项，所以， 又因为展开式的通项公式为：, 所以的展开式的通项公式为， 令，则有 所以原式展开式中 的系数为. 故答案为： 13. 已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长，取线段的中点，取线段的中点，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得，且再由三角形三边关系列不等式得结论. 【详解】依题意，设的外接圆的半径为，则，故， 在等边中由正弦定理得，则； 取线段的中点，连接，则， 所以； 取线段中点，连接，则在线段上，且，所以， 则又， 故，则． 故答案为：. 14. 已知函数，则至多有______个实数解. 【答案】7 【解析】 【分析】分类讨论的大小关系脱掉绝对值符号，求导，判断函数单调性，进而作出函数的大致图象，设，则即，从而将的解的个数问题转化函数图象的交点个数问题，数形结合，即可求得答案. 【详解】由可得，由知，， 当时，，， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，，在单调递增， 则可作出函数的大致图像如图： 三个图分别对应时的情况， 设，则即， 则的解的个数问题即为的交点个数问题， 结合的图象可知的交点个数最多是3个， 即为图2个和图3所示情况， 不妨设交点横坐标为，当如图2所示时，， 此时无解，有1个解，最多有3个解， 故此时最多有4个解； 当如第3个图所示时，， 此时有一个解，最多有3个解，最多有3个解， 故此时最多有7个解； 故答案为：7 【点睛】方法点睛：解答此类复合函数的解的个数问题，一般采用换元法，将方程解的个数转化为函数图象的交点个数问题，数形结合，解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是的中点，，且的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据边角互化得，再根据化简整理得，进而得； （2）在和中，利用的余弦定理列方程得，，进而根据周长得，再根据面积求解即可. 【小问1详解】 解：由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 解：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，化简得． 所以，即． 因为， 所以． 所以． 16. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示： 历史 物理 合计 男生 2 23 25 女生 8 17 25 合计 10 40 50 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 （1）根据表中的数据，判断是否有的把握认为学生选择历史与性别有关； （2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设为抽取的三名学生中女生的人数，求的分布列，并求数学期望和方差． 【答案】（1）没有 （2）分布列见解析；期望为，方差 【解析】 【分析】（1）由公式计算出，对照临界表中的数据，即可得出答案； （2）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列，再由数学期望和方差公式即可求出的数学期望和方差． 【小问1详解】 将表中的数据带入，得到： ， 所以没有的把握认为学生选择历史与性别有关． 【小问2详解】 由题意知，的可能取值为， 则， 所以分布列为： 1 2 3 则数学期望， 方差. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论； （2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 当时，由①， 得②，①②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以， 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. 【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解； （2）（i）求导，根据有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式，求出取值范围； （ii）根据（i）求出函数的极小值点，根据韦达定理进行变形得到，令，，构造函数，利用导数判断单调性，得出结论. 【小问1详解】 若，则， 所以， 故所求的切线方程为． 【小问2详解】 （i）． 设为的两个极值点，则是方程的两个实数根，即方程的两个正实数根． 所以解得， 即的取值范围是． （ii）根据（i）可知，当或时，，单调递增，当时，单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，即． 又， 所以． 设，由可知． 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $