学易金卷：九年级数学上学期第三次月考卷（沪教版五四制：相似三角形+锐角的三角比+二次函数）

2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先运用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，故此选项错误；     B．，故此选项错误；     C．，故此选项正确； D．，故此选项错误．     故选：C． 2．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 3．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面向量．根据向量平行的定义，两个非零向量平行当且仅当它们的方向相同或相反，即存在实数使得．需逐一分析各选项是否满足此条件． 【详解】解：A、且．由平行的传递性可知，与方向均与相同或相反，故，可判定平行，该选项不符合题意； B、，．和均为的标量倍数，方向相同，故，可判定平行，该选项不符合题意； C、仅表示模长关系，未指明方向，不能判定平行，该选项符合题意； D、，即，方向相反，故，可判定平行，该选项不符合题意； 综上，选项C不能判定与平行． 故选：C． 4．如图，在直角坐标平面内，O为原点．点M为抛物线的顶点，那么根据图像，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点等信息判断、、的符号及相关代数式的值． 由开口方向得的符号；由对称轴公式得与的关系；由与x轴的交点坐标代入函数式判断相关代数式的值；结合、的符号及抛物线与y轴交点判断的符号，进而分析各选项． 【详解】解：由图像可知，抛物线开口向上，则；对称轴为，即，得，故D正确； 抛物线与x轴交于，代入得，故C正确； 当时，对应函数值为抛物线顶点纵坐标，因顶点在x轴下方，故，故B正确； 由得，因，故；抛物线与y轴交点在x轴下方，故；则，因、、，故，即A错误． 故选：A． 5．四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不一定能推得与相似的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴；故A不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； ∵，， ∴，故C不符合题意； ∵，，不符合两边对应成比例且夹角相等， ∴与不一定相似，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 6．如图，在梯形中，，对角线与相交于点，，，以下说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的面积，关键是利用相似三角形的性质找到三角形的面积与线段之间的关系． ①根据三角形面积的求法，找到两三角形的底、高、各自的关系，即可得出结论； ②找到与之间的关系，即可求得； ③找到与之间的关系，即可求得； ④分别求出两三角形的面积，再作差即可求得． 【详解】解：∵ ∴和同底等高 ∴ 故结论①正确； ∵ ∴∽ ∴ ∴ ∴ 即 故结论③正确； ∵ ∴ 故结论②正确； ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ 故结论④正确； 故选：D ． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．如果，那么 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了比例化简求值，设出中间量、分别表示出a、b成为解答本题的关键． 设，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 8．函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为 ． 【答案】 【分析】将原抛物线解析式进行配方，再根据二次函数图象“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：， ∵函数的图象向左平移2个单位可得， 再向下平移1个单位可得， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解题的关键是掌握二次函数图象“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移规律． 9．已知点是线段的黄金分割点，，则 . 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割点的定义，设，表示出和，利用列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， 由于点是线段的黄金分割点，且，即， 则， ， 由，得 ， ， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 10．沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），勾股定理等知识点，熟练掌握坡度（或坡比）的定义是解题的关键：坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即，坡度通常写成的形式． 根据坡度的定义画图求解即可． 【详解】解：如图，由题意可知：米，米， 根据勾股定理可得： 米， 这个斜坡的坡度， 故答案为：． 11．二次函数的顶点在y轴上，则m= ． 【答案】-2 【分析】根据二次函数的顶点的横坐标列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点在y轴上， ∴ ∴， 解得，， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点的坐标列出等式是解题的关键． 12．如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据得到，并证明是解此题的关键． 先由得到，再由得到，由相似三角形的性质可得，即可得到答案． 【详解】解：设点到的距离为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．在中，的对边是，邻边是，则，表示出，在中，表示出，结合即可求解． 【详解】解：设米． 在中，， ， 在中，， ， ， ， ∴， 答：塔的高度约为米． 故答案为：． 14．如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“点”.根据该约定，下列关于的函数：①，②，③，④中，是“函数”的有 .（请填写函数解析式序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像上点的特征，熟练掌握图像上点的特征是解题的关键．根据“函数”的定义即可得到答案． 【详解】解：函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”， 是“函数”，故①正确； 是“函数”，故②正确； 不是“函数”，故③错误； 是“函数”，故④正确； 故答案为：①②④． 15．如图，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得到，从而得到，即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为9， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 17．已知：为边上的高，E为上一点，，，若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，过E作于M，求出，求出，根据，求出、，求出，根据勾股定理求出、求出，根据求出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：过E作于M，则， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， 故答案为：． 18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是“邻补四边形”， 分情况讨论， ①当时， ∵，， ∴这种情况不符合题意，舍去； ②当时，由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③当时，同②得， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积是； ④当时， 同理， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得， 则，，， ∴四边形的面积是； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 【答案】 【详解】 ．..............................................10分 20．（本题10分）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，，，， ， ， ， ．..............................................5分 （2）解：由（1）中可知， ， ， ∴．..............................................10分 21．（本题10分）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；..............................................4分 （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．..............................................10分 22．（本题10分）如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：    (1)； (2)． 【分析】（1）利用已知条件证明即可； （2）通过证明，得出，再根据，得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；..............................................4分 （2）证明：∵，点是边上的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即．..............................................10分 23．（本题12分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． (1)如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； (2)如图②，锐角中，，，，的面积为S．求证：； (3)如图③，锐角中，，，，是的平分线，运用（2）结论，求的长． 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用可以求出高的长度，再根据三角形的面积公式求出的面积； （2）过点作交于点，再根据可以求出高的代数式，进而证明结论； （3）以（2）中证明的一般结论为条件，分别求出、、的面积代数式，再根据求出的长度； 【详解】（1）解：在中，， ， ， 故答案为：4；..............................................4分 （2）证明：过点作交于点， ， ， ．..............................................8分 （3）解：∵是的平分线， ， 由（2）中的证明可知：， ， ， ， ．..............................................12分 24．（本题12分）如图，在中，，为边上的一点，、，取的中点，连接并延长交于点．    (1)求的值； (2)若，那么所在的直线与边有怎样的位置关系？证明你的结论． (3)点能否成为中点？若能，求出相应的，若不能，证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)不能．理由 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键． （1）过点作交于，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据中点定义可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，再求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到，从而得到； （2）求出，然后代入（1）的关系式计算即可求出，从而得到点是的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质解答； （3）假设成立，求出，然后代入（1）的关系式计算即可求出，与已知条件矛盾． 【详解】（1）解：如图，过点作交于，    则，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ；..............................................4分 （2）若，则， 由（1）知，， 解得， 点是的中点， ， ；..............................................8分 （3）不能．..............................................9分 理由如下：假设点能成为中点， 则， ， 由（1）知， 解得， 这与、相矛盾， 所以，点不能成为中点．..............................................12分 25．（本题14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D． （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：∠ABO=∠CBO； （3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标． 【答案】（1），对称轴为直线x=1．（2）证明见解析；（3）点P的坐标为（-4,0）或（,）. 【详解】分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）利用由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1，-1），进而求出AB=BC，OA=OC即可得出答案； （3）首先得出∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD，进而分析得出P点坐标即可． 详解：（1）由题意，得，解得， ∴所求二次函数的解析式为：y=-x2+x+2， 对称轴为直线x=1；..............................................3分 （2）证明：由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1，-1）． ∵AB=，BC=，∴AB=BC． 又∵OA=，OC=，∴OA=OC， ∴∠ABO=∠CBO．..............................................7分 （3）由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1，1）． 由直线AB的表达式：y=x+， 得直线与x轴的交点E的坐标为（-4，0）． ∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO， ∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD． （i）当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC=135°，得∠BOP=135°． ∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合． ∴点P的坐标为（-4，0）．..............................................10分 （ii）当∠BOP=∠BCD时，连接PO， 由△POB∽△BCD，得． 而BO=2，BD=，BC=， ∴BP=． 又∵BE=2， ∴PE=． ..............................................12分 作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F． ∵PH∥BF， ∴． 而BF=2，EF=6， ∴PH=，EH=． ∴OH=． ∴点P的坐标为（，）．..............................................14分 综上所述，点P的坐标为（-4，0）或（，）． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 07.__________ 08.___________ 09.___________ 10.__________ 11.___________ 12.___________ 13.__________ 14.___________ 15.___________ 16.__________ 17.___________ 18.___________ 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） LAJ[BJIC][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 4A][B]IC][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 07. 08. 09 10. 11 12 13 14 15 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(10分) 20.(10分) D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) ® B D C 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则的值为（    ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 3．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（    ） A．， B．， C． D． 4．如图，在直角坐标平面内，O为原点．点M为抛物线的顶点，那么根据图像，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不一定能推得与相似的是（     ）． A． B． C． D． 6．如图，在梯形中，，对角线与相交于点，，，以下说法中，正确的个数是（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．如果，那么 ． 8．函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为 ． 9．已知点是线段的黄金分割点，，则 . 10．沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 11．二次函数的顶点在y轴上，则m= ． 12．如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么的值是 ． 13．如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 14．如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“点”.根据该约定，下列关于的函数：①，②，③，④中，是“函数”的有 .（请填写函数解析式序号） 15．如图，，那么 ． 16．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ． 17．已知：为边上的高，E为上一点，，，若，，则的长为 ． 18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 21．（本题10分）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 22．（本题10分）如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：    (1)； (2)． 23．（本题12分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． (1)如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； (2)如图②，锐角中，，，，的面积为S．求证：； (3)如图③，锐角中，，，，是的平分线，运用（2）结论，求的长． 24．（本题12分）如图，在中，，为边上的一点，、，取的中点，连接并延长交于点．    (1)求的值； (2)若，那么所在的直线与边有怎样的位置关系？证明你的结论． (3)点能否成为中点？若能，求出相应的，若不能，证明你的结论． 25．（本题14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D． （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：∠ABO=∠CBO； （3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则的值为（    ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 3．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（    ） A．， B．， C． D． 4．如图，在直角坐标平面内，O为原点．点M为抛物线的顶点，那么根据图像，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不一定能推得与相似的是（     ）． A． B． C． D． 6．如图，在梯形中，，对角线与相交于点，，，以下说法中，正确的个数是（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．如果，那么 ． 8．函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为 ． 9．已知点是线段的黄金分割点，，则 . 10．沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 11．二次函数的顶点在y轴上，则m= ． 12．如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么的值是 ． 13．如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 14．如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“点”.根据该约定，下列关于的函数：①，②，③，④中，是“函数”的有 .（请填写函数解析式序号） 15．如图，，那么 ． 16．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ． 17．已知：为边上的高，E为上一点，，，若，，则的长为 ． 18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 21．（本题10分）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 22．（本题10分）如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：    (1)； (2)． 23．（本题12分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． (1)如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； (2)如图②，锐角中，，，，的面积为S．求证：； (3)如图③，锐角中，，，，是的平分线，运用（2）结论，求的长． 24．（本题12分）如图，在中，，为边上的一点，、，取的中点，连接并延长交于点．    (1)求的值； (2)若，那么所在的直线与边有怎样的位置关系？证明你的结论． (3)点能否成为中点？若能，求出相应的，若不能，证明你的结论． 25．（本题14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D． （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：∠ABO=∠CBO； （3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意亭项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 第一部分（选择题共24分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=2,那么下列锐角三角比中，正确的是() A.sinA=5 B.tand= C.coB-25 D.tanB=2 5 2.已知二次函数y=(m-1)xm-4m+5+(m-3)x+4,则m的值为() A.1或3 B.3 C.1 D.以上都不对 3.已知非零向量a,b,c,下列条件中，不能判定向量a与向量平行的是() A.a∥c,b∥c B.a=2c,B=3c c.l同=2 D.a+2b=0 4.如图，在直角坐标平面内，O为原点.点M为抛物线y=x2+bx+c的顶点，那么根据图像，下列结论 不正确的是() YA M: x=1 A.abc<0 B.a+b+c<0 C.a-b+c=0 D.2a+b=0 5.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列条件中，不一定能推得△AOB与△COD相似的是 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.∠D1C=∠DBCB.∠BAC=∠ACDC.OAOB OA AB OD OC D.ODCD 6.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O, AB2. CD3,So=1,以下说法中， 正确的个数是() @5m-8a:@8-号：国Sm:@smSe 41 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分) 7.如果a:b=3:2,那么a a+b 8.函数y=x2-2x+3的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式 为」 9.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP-BP=2,则AB= 10.沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i= 11.二次函数y=(-2)x2-(m2-4)x+3的顶点在y轴上，则m= 12.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD相交于点O,如果S△4Bo:S△co=5:7,那么S△ADo:S△cO 的值是 13.如图，小海想测量塔CD的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量.这时无法测得观测点到塔的底 部C的距离，于是小海在观测点A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进m(>O)米至观测点B处， 2/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 测得塔顶的仰角为B(B>>O),点A、B、C在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽 略不计，用含a、B的三角比和m的式子表示)， B 14.如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“H函数”，其图像上关于原 点对称的两点叫做一对“H点”根据该约定，下列关于x的函数：①y=-2x,②y=x1,③y=3x-1,④ y=-x2+4x+中，是“H函数"的有一（请填写函数解析式序号） 2 15.如图，DB∥BC4D=BC=12,那么DB- AB 2 E A B 16.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED=∠B,AF⊥DE,垂足为点F.如果AF=2, BC=6,△ABC的面积为9，那么△ADE的面积为· D F E B C 17.己知：BD为△ABC边AC上的高，E为BC上一点，CE=2BE,∠CAE=30°，若EF=3,BF=4,则 AF的长为. B F D 18.我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做"邻补四边形”.如图，在△ABC中，AB=AC=3, cosB= ,点M、N分别在边AC、BC上.如果四边形ABMM是“邻补四边形”，那么四边形ABMM的面积 3/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 是 B 三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(本题10分)计算：4sin245°-tan45 +2cot30°.sin60°. 2c0s60° 20.（本题10分)如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=2,DB=4,AE=3, EC=6. A D E (1)求 C的值： D (2)连接DC,如果DE=a,DA=b,试用a、b表示向量CD. 4/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(本题10分)如图，在△ABC中，已知点D、E分别在边BC,AB上，EC和AD相交于点F,∠EDB=∠ADC, DE2=DF.DA. B D (1)求证：△ABD∽△ECD: (2)如果∠ACB=90°，求证：FC=EC 2 22.(本题10分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D是边BC上的中点，过点C作CE⊥BC,交BA 的延长线于点E,过点B作BH⊥AC,交AD于点F,交AC于点H,交CE于点G,求证： H D 备器 (2)BC2=4DF.DA. 5/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(本题12分)综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动， D B D 图① 图② 图③ (1)如图①，锐角△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=4,作BD⊥AC,垂足为D,则△ABC的面积为 2)如图②，锐角△ABC中，∠BAC=a,AB=a,4C=b,△ABC的面积为S.求证：S=1 absina: 2 (3)如图③，锐角∠ABC中，∠BAC=60°，AB=6,AC=4,AD是∠BAC的平分线，运用(2)结论，求AD 的长 24.(本题12分)如图，在△ABC中，AC=BC,F为边AB上的一点，BF:AF=m:n(m、n>0),取CF的 中点D,连接AD并延长交BC于点E. B E C (1)求BE:EC的值： (2)若BE=2EC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论. (3)E点能否成为BC中点？若能，求出相应的：n,若不能，证明你的结论. 6/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25C本题14分)已知：如图，在平面直角坐标系xOw中，三次函数y=-子产+bx+C的图像经过点A(-12 和点B(2,2),该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D. 4 3 2 B 4正 42024主 -1 2 3 (1)求这个二次函数的解析式和它的对称轴： (2)求证：∠ABO=∠CBO: (3)如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标. 7/7西学科网·学易金卷：费8品 O 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 A.∠DAC=∠DBC OA OR D.OD-CD B.∠BAC=∠AcDC.ODOC OA AB 0 (考试时阀：100分钟试卷满分：150分) 6.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O, A8=2,S01,以下说法种， CD 3' 注意书项： 正确的个数是() 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 0 4.测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 @e=及a:@8w-国8m景国3m-S-子 第一部分（选择题共24分） A,1个 B.2个 C,3个 D.4个 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的》 第二部分（非选择题共126分） 1.在刷△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=2,那么下列锐角三角比中，正确的是() 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） A.sin= 5 B.tanA=1 C.cos B=25 D.tan B=2 5 7如果ab=32.那么6 0 2.已知二次函数y=(m-)x“+(m-3)x+4,则m的值为() 8.函数y=x-2ǐ+3的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式 ..… A.1或3 B.3 C.1 D.以上都不对 为 3,己知非零向量a,方，c,下列条件中，不能判定向量a与向量6平行的是() 9.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP-BP=2,则AB= A.aHc,b∥c B.a=2c,i=3 10.沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i= c.同=2 D.a+2b=0 11.二次函数y=(m-2)x2-(m2-4)x+3的顶点在y轴上，则m= 4,如图，在直角坐标平面内，O为原点.点M为抛物线y=π+r+c的顶点，那么根据图像，下列结论 12.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD相交于点O,如果SAs:So=5:7,那么S△o:S0 不正确的是() 的值是 13.如图，小海想测量塔CD的高度，塔在国墙内，小海只能在围墙外测量.这时无法测得就测点到塔的 底部C的距离，于是小海在观测点A处仰望塔项，测得仰角为心，再往塔的方向前进m(m>O)米至观测点 A.abc<0 B.a+b+c<0 C.a-b+c=0 D.2a+b▣0 B处，测得塔顶的仰角为(B>应>0)，点A、B、C在一直线上，小海测得塔的高度为米（小海 5.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列条件中，不一定能推得△4OB与△COD相似的是 的身高忽略不计，用含心、P的三角比和m的式子表示)。 () 试题第1页（共6页） 试遇第2页（共6实） 窗学科网·学易金卷：” 14.如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“H函数"，其图像上关于 原点对称的两点叫做一对“月点“根据该约定，下列关于x的函数：①y=-2x,②y=x1,③y=3x-1, 三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） ⑨=+4片中，是发数的有 ·(请填写函数解析式序号) 年 2 19.（本题10分)计算：45m450-m45+2t30°m602. 15.如图，DB/BC,40=片BC=12,鄂么DE= 2c0s60° AB 2 D 20.(本题10分)如图，己知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=2,DB=4,AB=3, EC=6. 16.如图，D、B分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED=∠B,AF⊥DE,垂足为点F如果AF=2, BC=6,△ABC的面积为9，那么△ADE的面积为， a味是的值： o (2连接DC,如果Di=a,DA=6,试用a、6表示向量cD 17.已知：BD为△ABC边A上的高，B为BC上一点，CB=2BB,，∠CAB=30°，若BF=3,BF=4, 21.(本题10分)如图，在AABC中，已知点D、E分别在边BC,AB上，EC和AD相交于点P,∠EDB=∠ADC, 则AF的长为一 DE'=DF.DA. 18.我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”.如图，在△ABC中，AB=AC=3, c0B= 3·点M、N分别在边AC、BC上.如果四边形ABMM是邻补四边形，那么四边形ABNM的面积 (1)求证：△BDAECD: 是 如果1CB=0,求证，心=C 试题第3页（共6页） 试题第4页（共6页） 西学科网·学易金卷费” 22.(本题10分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D是边BC上的中点，过点C作CB⊥BC,交B4 24.(本题12分)如图，在△ABC中，AC=BC,F为边AB上的一点，BF:AF■m:m、>0),取CF的 的延长线于点E,过点B作BH⊥AC,交AD于点F,交AC于点H,交CE于点G,求证： 中点D,连接AD井延长交BC于点E, 0 (1)求BE:EC的值： 2)若BE=2BC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论 (BC_Ec 3)E点能否成为BC中点？若能，求出相应的m:,若不能，证明你的结论 CH BH (2)BC=4DF.DA. AO 25,(木想14分)已知：如图，在平面直角坐标系0中，二次函数y+低+c的图像经过点441） 23.(本题12分)综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积"开展主题学习活动 和点B(2,2),该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D. 4 ... 3 2 4 D 图① 图② 图③ (1)如图①，锐角△ABC中，∠B4C=30°，AB=AC=4,作BD⊥AC,垂足为D,则△ABC的面积为 -1 -2 (2如图②，锐角△ABC中，B4C=a,Aa-a,Ac=,△dBC的面积为S.求证：S=bsma: -3 0 (3)如图③，锐角∠ABC中，∠AC=60°，AB=6,AC=4,AD是∠B4C的平分线，运用(2)结论，求 (1)求这个二次函数的解析式和它的对称轴： AD的长， (2)求证：∠ABO=∠CBO: (3)如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标. 试题第5剪（共6页） 试遇第6页（共6实）2025-2026学年九年级上学期第三次月考卷 情在各圈目的客题区城内作答，超出黑色电形边框限定区城的答美无效！ 请在各题目的答恶区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学·答题卡 20.(10分) 22.(10分) 姓名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认点检查监考员所粘贴的条形码。 2,选择题必颈用2B铅笔填涂；填空整和解答幽必 须用05m黑色签字笔答恩，不得用铅笔或圆 珠笔答圈：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各腰目的答题区域内作答，超出 区城书写的答案无效：在草纸、试题卷上答题 无效。 缺考口 此栏考生禁填 4。保持卡面消洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填踪） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1町C间o 3 [A][B][c][D] 5】图1c】D 2A[mI©[o 41町[CID 6 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 21.(10分) 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13 14. 15 17. 18 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19.(10分) 请在各整目的容漫区或内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答思区城内作答，超出需色矩形边E限定区城的答業无效！ 情在各恩目的容避区域内作答，超出属色免形边艇限定区城的答案无效！ 请在各盟目的答题区域内作答，超出黑色矩形边缸限定区城的答案无效！ 请在各题目的答恩区域内作答，超出儒色矩形边艇限定区城的答案无效！ 请在各愿目的答恩区域内作答，超出需色矩形边框限定区城的答案无效！ 23.(12分) 24.(12分) 25.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，。超出黑色矩形边据果定区城的答案无效！ 请在各题目的答思区城内作答，超出黑色矩形边缸限定区城的答案无效！ 请在各圈目的答题区城内作答。超出黑色距据边限定区城的答案无效2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1[W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分) 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6.A][B1[C1ID] 3.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 07 08. 09 10 11. 12 13. 15. 16 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7小题，满分8分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(10分) 20.(10分) A E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) A ⊙ D C 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1 2 3 4 5 6 C B 0 0 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分) 3 7.5/0.6 8.y=2+2r+2 9.25+4,4+2V5 10.V3:3 11.-2. 5 12.49 气 13.cota-cotB. 14.①②④， 15.6. 16.4. 17.7. a器5 162 三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 4sin245°-tan45°+2cot30°.sin60° 19.(本题10分) 2c0s609 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 √2 4× -1 2 +2×√3× 5 2 `2 1 =1+3 =4 10分 20.(本题10分)(1)解：AD=2,DB=4,AE=3,EC=6, :D-2=1E31 ·AB2+43'AC3+63' ∠A=∠A, .△ADE△ABC, DE AD 1 BCAB35分 (2)解：由(1)中可知， BD=2BA=26 BC=3DE=3a .CD=CB+BD--BC+BD=2b-3a 10分 21.(本题10分)(1)证明：DB=DFD1 DE DF AD DE' :'∠FDE=∠EDA, .△DEF△DAE, .∠DAE=∠DEF, ,∠EDB=∠ADC, .∠ADB=∠CDE, △ABDAECD:4分 (2)由(1)知，△ABDAECD, 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠B=∠ECD, ..BE=CE, ∠ACB=90°， .∠BAC+∠B=∠BCE+∠ACE, ,∠BAC=∠ACE, .AE BE =CE, 取AD的中点G,连接CG, B D ∠ACD=90°， DG=CG=,D .∠GDC=∠GCD, .∠DGC=180°-2∠ADC, '∠BDE=∠ADC, .∠ADE=180°-2∠ADC, .∠ADE=∠CGF, 由(1)知，△DEF∽△DAE, ,∠AED=∠DFE, ,∠DFE=∠CFG, .∠AED=∠CFG, ,△CGF∽△ADE, CG CF 1 ADAE2’ 1 .CF=AE, 2 .FC=1E 2 .10分 3/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(本题10分)(1)证明：CE⊥BC,BH⊥AC, .∠BCE=∠CHB=90°， ..AB=AC, .∠ABC=∠ACB, .,△BCE∽△CHB, BC EC CHBH;4分 (2)证明：：AB=AC,点D是边BC上的中点， BD=DC=号BC,AD1BC :AD⊥BC,BH⊥AC, :.∠ADC=∠AHF=90°， ∠DAC=∠HAF, ,∠ACD=∠AFH, :∠BFD=∠AFH, ∠ACD=∠BFD, :△ADC△BDF, DC AD ·DFBD, BD=DC=BC C=AD-DF, .4 C2=4DF·DA 即 10分 23.(本题12分)(1)解：在。4BD中，sin∠B4C=6D=BD AB 4' ∴.BD=4×sin∠BAC=4×sin30°=2， ∴.S△A8c=5×4×2=4, 2 故答案为：4；4分 (2)证明：过点B作BD⊥AC交AC于点D, 4/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A a b D 图② 5=LAC.BD=1b:BD.sin /BAC=BD-BD=sina 2 AB a ∴.BD=asina, 1 S=)b:asina=ab:sinC…8分 (3)解：AD是∠BAC的平分线， .∠BAD=∠CAD=30°， 由(2)中的i证明可知：S.c=×AB×AC×sin∠BAC=)×6x4×sin60°=65， 1 2 1 3 边XBx4 Dxsin∠BAD=x6 ADxsin30° Sm=×4iCxA0xsn∠CAD-之4x40xsn30=AD, 5.mc=S.0+.c63D+AD=5 AD 2 “4D=125 5.12分 24.(本题12分)(1)解：如图，过点F作FG∥BC交AE于G, 4 G E 则∠DFG=∠DCE,∠DGF-∠DEC, :D是CF的中点， :.CD=DF, 在△DCE和△DFG中， 5/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 I∠DFG=∠DCE DF=CD ∠GDF=∠EDC' .ADCE≌aDFG(ASA), :.EC=GF, .BF:AF=m:n, AF n .AB m+ns .FGI BC .△AFGAABE, AF_FG=n .AB BE m+n' .BE:EC=m+n ;4分 (2)若BE=2EC,则BE:EC=2, m+n=2 由(1)知， 解得m=n, ∴·点F是AB的中点， ..AC=BC, CF1AB;8分 (3)不能。9分 理由如下：假设点E能成为BC中点， 则BE=EC, :.BE:EC=1, m+=1】 由(1)知 解得m=0, 这与m、n>0相矛盾， 所以，点E不能成为BC中点.12分 6/8 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1=-1-b+c 3 25.（本题14分)(1)由题意，得 3+2b+ ,解得 3 2= c-2 1 所求二次函数的解析式为：V=-3+3x+2, 对称轴为直线X=1;.3分 (2)证明：由直线OA的表达式y=-x,得点C的坐标为(1，-1). AB=而，Bc- ,∴.AB=BC. 又：o4=V ,0c-5 .0A=0C, LAB0=LCB0.7分 D 2 (3)由直线OB的表达式y=x,得点D的坐标为(1,1)· 14 由直线AB的表达式：y=3+3, 得直线与×轴的交点E的坐标为(-4,0)· △POB与△BCD相似，∠ABO=LCBO, ∴LBOP=LBDC或∠BOP=∠BCD (i)当∠B0P=∠BDC时，由∠BDC=135°，得∠B0P=135°. 点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合 点P的坐标为(-4,0)。10分 (i)当∠BOP=∠BCD时，连接PO, 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BP BD 由△POB一△BCD,得BOBC· 而80-2V2 BD-2 BC=10 8n,6% 又：BE=2Vi0 pe0 12分 作PHLx轴，垂足为点H,BF⊥x轴，垂足为点F. y 4 3 -5-4-3-2-1O7 234 -3 .PHBF, PH PE EH ·BFBE EF 而BF=2,EF=6, 8 24 PH-5,EH5· 4 .OH=5 48 一点P的坐标为（5,5)。14分 48 综上所述，点P的坐标为(-4,0)或（5,5)· 8/8