专题05 解直角三角形 8大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题05 解直角三角形 8大高频考点概览 考点01 求锐角三角函数的值 考点02 根据锐角三角函数的值求边长 考点03 特殊锐角三角函数的值；考题01+考点02提高题 考点04 网格问题 考点05 解直角三角形 考点06 锐角三角函数在正多边形、特殊平行四边形中的应用 考点07 锐角三角函数在圆中的应用；综合应用 考点08 解答题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在中，，，，则的值为（   ）地 城 考点01 求锐角三角函数的值 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在中，．若，则的值是 ． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在中，，，则为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 根据锐角三角函数的值求边长 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则边的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 3．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，，则为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 特殊锐角三角函数的值；考题01+考点02提高题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）的两个锐角和满足，则的度数是 ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知中，和均为锐角，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高线，设，则（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 网格问题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，O三点均在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（   ） A． B． C． D．2 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，A，B，C，D均为正方形网格中的格点，相交于点E，则（   ） A．2 B．3 C． D． 地 城 考点05 解直角三角形 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转 得到，延长，交于点F，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ． 地 城 考点06 锐角三角函数在正多边形、特殊平行四边形中的应用 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，正十边形的外接圆半径为，则这个正十边形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，三个正六边形如图摆放，则＝ ．    3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则长为 ． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点是边上一点且，延长交射线于点，连结交于点，若，则 度， ． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形中，，点为延长线上的一个动点，连接交于点，若为直角三角形，则的长为 ． 地 城 考点07 锐角三角函数在圆中的应用；综合应用 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，弓形的弓高为，弦长为，则此弓形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于，两点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆O的直径，，平分，于E，若，则的长为 ． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，以为直径作半圆弧，为半圆弧的中点，现将半圆连同直径绕点逆时针旋转，记点的对应点分别为，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 6．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图，已知线段．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，的周长是 ． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（   ） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于两点，的顶点C在抛物线对称轴上，P为上一点，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）计算：．地 城 考点08 解答题 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，． (1)求的长； (2)求的值． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，为等边三角形，分别在边上，沿折叠，点落在边上的点处，连接，已知． (1)求的值； (2)求的值． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为了计算风筝的垂直高度的长，现测得如下数据：放出的风筝线长，风筝的仰角． (1)求的长； (2)收回一部分风筝线后，风筝从下降到了的位置，在的正下方，此时风筝的仰角，求收回的风筝线长．（结果精确到，参考数据：，，） 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)判断的形状，并给出证明． (2)若，，求弦和弦的长． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）【问题背景】浙江省地处沿海，风力资源丰富．综合实践小组准备利用影长测量某风力发电机组的高和叶片的长度．通过观察发现，如图1，风力发电机组是由与地面垂直的铁塔和呈均匀分布且相同的三个叶片、、组成，三个叶片绕着中心轴旋转，某时刻太阳光照射三个叶片，其影子落在地面上可形成线段． 【问题探究】某一时刻（如图，叶片与地面平行，叶片和外端的影子恰好都落在点处，叶片外端的影子落在点处，此时测得米，米． （1）两个叶片之间的夹角 　 　；此时太阳光线与地面夹角 　　． （2）分别求出叶片和铁塔的长． （3）小组同学在测量上述数据时发现，在该太阳光线下，三个叶片绕着中心轴旋转过程中，其影长在发生变化，请求出影长的最大值（假定太阳光线与地面的夹角不变） 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）小明在综合实践课上折一个等腰直角三角形纸片，，将沿着折叠，使得点落在边上的点，和交于点． (1)如图1，若点恰好是的中点，他发现，则__________． (2)如图2，当时，求证：，并求出的值． (3)当时，，则__________． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，，于点． (1)直接写出的值为　　　； (2)求证： ； (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解直角三角形 8大高频考点概览 考点01 求锐角三角函数的值 考点02 根据锐角三角函数的值求边长 考点03 特殊锐角三角函数的值；考题01+考点02提高题 考点04 网格问题 考点05 解直角三角形 考点06 锐角三角函数在正多边形、特殊平行四边形中的应用 考点07 锐角三角函数在圆中的应用；综合应用 考点08 解答题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在中，，，，则的值为（   ）地 城 考点01 求锐角三角函数的值 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，首先利用勾股定理求出，根据在直角三角形中一个锐角的正弦等于这个角的对边比上斜边，可得． 【详解】解：如下图所示， 中，，，， ， ． 故选：D ． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正切值，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可直接得出答案． 【详解】解：， ， 是锐角且， ， 故选：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理求得的长度，然后利用余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在中，．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求角的正弦值．根据正切值，设，勾股定理得到、利用正弦值的定义，进行求解即可．掌握三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则：， ∴； 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在中，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同角三角函数的关系．先根据正切的定义得到，则可设，，利用勾股定理得到，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴， 设，， ∴， ∴． 故选：A． 地 城 考点02 根据锐角三角函数的值求边长 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则边的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦的概念是解题的关键． 如图，由题意知，，可求，然后根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可． 【详解】解：在中，， 即， 解得：． 由勾股定理得，， 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数中正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∵，, ∴, 故选：B． 地 城 考点03 特殊锐角三角函数的值；考题01+考点02提高题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）的两个锐角和满足，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了非负数的性质、特殊角的三角函数等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 由绝对值和偶次方幂的非负性可得且，再利用三角函数求出的值，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴且，， ∴且， ∴且， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知中，和均为锐角，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数定义求值须先构造直角三角形再解． 过点作于点，在中，已知和的值，根据三角函数可求的长， 在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点，    在 中，，， ， 在 中，， ， ， 故选: C． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度． 【详解】解：是等腰的高， ， 在中，， 又， ， 故选： A． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高线，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是解题关键．先利用三角函数表示出、，再表示出、，即可求解． 【详解】解：，在中，，， ， 在中，，， 是边上的高线， ， ， 在中，，A选项正确、B选项错误； 在中，，C、D选项错误； 故选：A． 地 城 考点04 网格问题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，O三点均在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，正弦的定义，解题的关键是掌握网格的特点构造直角三角形． 在边长为1的小正方形组成的网格中，的边长可以利用勾股定理求出，然后过点A作，交于点C，构造直角三角形，利用三角形面积公式求出，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：由图可知 ， ， ， 过点A作，交于点C， ，， ， ∴在中，， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 设小正方形边长为1， ，，， ， 是直角三角形， ， 在中，，， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，A，B，C，D均为正方形网格中的格点，相交于点E，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例、求角的正切值等知识点，正确连接辅助线得到平行线段及直角三角形是解题的关键． 如图：连接，连接格点D、F交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，再利用对顶角可得答案． 【详解】解：如图：连接，连接格点D、F交于F， 由网格图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 地 城 考点05 解直角三角形 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据，，，证明，由正切的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转 得到，延长，交于点F，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要运用图形旋转的性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义来求解．先根据正切函数定义设，则，再利用旋转性质得到相关线段和角的关系，证明三角形为直角三角形后，通过正弦函数建立等式求解． 【详解】解：在中，， 设，则， 由旋转的性质得∶，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴ 故选∶D． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、正方形的性质，作于，由题意可得证明，得出，设，，则，，由全等三角形的性质可得，由正方形的性质，证明，得出，最后再由正切的定义求解即可． 【详解】解：如图：作于， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∵中间为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，二次函数求最值，熟练掌握三角函数是解题的关键； 设，根据，可得，根据，利用二次函数求最值即可求解． 【详解】解：设， ， 的最大值为：， ， ， ， 则， ， ， 当时，的面积取得最大值为：； 故答案为： 地 城 考点06 锐角三角函数在正多边形、特殊平行四边形中的应用 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，正十边形的外接圆半径为，则这个正十边形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，正多边形中心角公式，直角三角形特殊角的三角比等，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，根据其推论可知还平分中心角，得到，，再根据正多边形的中心角公式：设正多边形的边数为，则中心角为，求出中心角，则得到，最后根据直角三角形特殊角的三角比即可求出． 【详解】过点作于点， 则， 此多边形是正十边形． 在中， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，三个正六边形如图摆放，则＝ ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外接圆、锐角三角函数以及直角三角形的边角关系等知识，根据正六边形的性质构造直角三角形，再根据正六边形的性质用正六边形的边长，表示、，由勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【详解】解：如图，取的中点，则点为正六边形的外接圆的圆心，为半径 正六边形的一个中心角为 所以正六边形的边长等于其外接圆的半径 过作 则可得 由多边形内角和得 设正六边形的边长为，则 即 在直角中，， 故答案为：．    3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角函数，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识进行计算是解题的关键． 根据题意可知：重叠部分是菱形，设菱形，则，过B作于E， 由勾股定理可求＝，即可解答． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形，则， 过B作于E， ∵， ∵， ∴＝， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点是边上一点且，延长交射线于点，连结交于点，若，则 度， ． 【答案】 【分析】证明，则，，则，，设，则，证明，则，即，可求满足要求的解，由题意知，，然后作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 由题意知，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形中，，点为延长线上的一个动点，连接交于点，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或15 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识．连接交于点，由菱形的性质得，，，，则，求得，则，所以，再分两种情况讨论，一是，则，所以，则，求得，，再证明，得，所以；二是，则，求得，，则，所以；而，且，所以不存在的情况，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形，， ，，，， ，， ， ， ， ， 如图1，为直角三角形，且，则， ， ， ， ， ∵， ， ， ； 如图2，为直角三角形，且，则， ，， ∵，， ， ， ； ，且， ， 不存在为直角三角形，且的情况， 综个所述，的长为或15， 故答案为：或15． 地 城 考点07 锐角三角函数在圆中的应用；综合应用 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，弓形的弓高为，弦长为，则此弓形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形的面积及垂径定理，先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形及的面积即可解决问题．掌握扇形的面积公式及垂径定理是解题的关键． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为， 则， ∵弓形的弓高为，弦长为， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴此弓形（阴影部分）的面积为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于，两点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，连接，，，过作于，先证是等边三角形，结合得到，再根据垂径定理得到，得到即可得到答案． 【详解】解：连接，，，过作于， ∵，， ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是圆O的直径，，平分，于E，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形．由直径所对的圆周角为90度，可得，进而可得，，再由同弧所对的圆周角相等，可得，进而证明，再利用三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：是圆O的直径， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，以为直径作半圆弧，为半圆弧的中点，现将半圆连同直径绕点逆时针旋转，记点的对应点分别为，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，、，过点C作于D，先证明为等腰直角三角形，得出，根据三角形函数求出，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接、，、，过点C作于D，如图所示： 根据旋转可知，，， ∵为直径， ∴， ∴，， 设圆的半径为r，则， ∵为半圆弧的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角的定义，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了正切的定义、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由圆周角定理可得，再根据正切可得，然后运用勾股定理可得；最后分和两种情况解答即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ①当时，过点F作于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴，解得：， ∴； ②当时，连接，过点F作于点G，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为3或． 故答案为：3或． 6．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图，已知线段．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，圆周角定理，三角函数等知识，熟悉掌握相关的知识点是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角得，再由结合勾股定理可求出AC和BC的长，再根据线段垂直平分线的性质得即可求出的周长． 【详解】解：∵AB是直径； ∴； ∵； ∴设； 则； 在中，，由勾股定理得； ； 即； 解得：； ∴； 由题意得PQ是线段AB的线段垂直平分线； ∴； ∴的周长； 故答案为：17． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（   ） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形及三角形的面积，先根据三角形的面积公式得出 进而得出，再结合的正弦得出即可解决问题． 【详解】解：因为 所以 所以 在中，， 令， 则， 所以 ， 又因为 所以． 故选： C． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据垂直定义可得∶ ．然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再利用旋转的性质可得∶ ，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解∶ ， ， 在中，， ，， 由旋转得∶ ， ， 故选∶B． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于两点，的顶点C在抛物线对称轴上，P为上一点，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形及二次函数的图象和性质，过点A作的垂线构造出直角三角形是解题的关键． 根据题意，求出，及的长即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴，． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点C的横坐标为2． 又∵是直角三角形，且C为顶点， ∴点C的纵坐标为3， 故点C的坐标为． 令抛物线的对称轴与x轴的交点为D，过点A作的垂线，垂足为H， ∵，， ∴． 在中， ． 同理可得，． ∵， ∴． ∴． 在中，． 故选：A． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）计算：．地 城 考点08 解答题 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．直接把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理．掌握解直角三角形和勾股定理是解本题的关键． （1）根据，，即可求出的长； （2）由解得，再利用勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：在中， ，， ． （2）解：， ， ． ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2)2 【分析】（1）过点作于，如图所示，在中，由正弦函数值定义列式求得，再由勾股定理求得，在中，由正切函数值定义列式求得，数形结合即可得到； （2）由（1）中求出的线段长，结合中线性质得到，数形结合求出，在中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示： 设， 在中，，则， 即，解得， ， ，解得， ∴， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， ∴， ∴； （2）解：∵为中线，， ∴， ， ∴， 在中，，，则． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决问题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，为等边三角形，分别在边上，沿折叠，点落在边上的点处，连接，已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）过点作于，设，，则，推导出，，，进而得到； （2）由折叠的性质得：，推导出，进一步得到，利用即可得解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ，设，， ， 如图，过点作于， ， ，，， ； （2）解：由折叠的性质得：， ，，， ， ， 又， ， ． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，建筑物垂直于地面，测角机器人在点测得建筑物顶端的仰角为，向前走9米到点，测得建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解: 由题意得: 米, 设 米, 在 中, ,则 米 米, 在 中, , 解得: ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 答: 建筑物 的高度约为 21 米． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）． 【答案】展板最高点A到地面的距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：展板最高点A到地面的距离为． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为了计算风筝的垂直高度的长，现测得如下数据：放出的风筝线长，风筝的仰角． (1)求的长； (2)收回一部分风筝线后，风筝从下降到了的位置，在的正下方，此时风筝的仰角，求收回的风筝线长．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形和直角三角形的性质， （1）根据正弦的定义得代入计算即可； （2）先根据余弦定义求得，由题意得，可得，结合收回的风筝线长为计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴收回的风筝线长为． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)判断的形状，并给出证明． (2)若，，求弦和弦的长． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）在中由勾股定理可得，中由勾股定理即可求出；过作于，过作于，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解∶是等腰直角三角形，证明如下： ∵是圆的直径，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 中，， ∴； 过作于，过作于， ∵， ∴ ∴和是等腰直角三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）【问题背景】浙江省地处沿海，风力资源丰富．综合实践小组准备利用影长测量某风力发电机组的高和叶片的长度．通过观察发现，如图1，风力发电机组是由与地面垂直的铁塔和呈均匀分布且相同的三个叶片、、组成，三个叶片绕着中心轴旋转，某时刻太阳光照射三个叶片，其影子落在地面上可形成线段． 【问题探究】某一时刻（如图，叶片与地面平行，叶片和外端的影子恰好都落在点处，叶片外端的影子落在点处，此时测得米，米． （1）两个叶片之间的夹角 　 　；此时太阳光线与地面夹角 　　． （2）分别求出叶片和铁塔的长． （3）小组同学在测量上述数据时发现，在该太阳光线下，三个叶片绕着中心轴旋转过程中，其影长在发生变化，请求出影长的最大值（假定太阳光线与地面的夹角不变）． 【答案】（1）；；（2），；（3）影子的最大值为米 【分析】（1）由题意得，，所以，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）设交于点，延长交于点，作于点，可证明，由，得，则，而，则，由，，求得米，米，则米，而，由，得米，由，求得米，则米； （3）因为米，所以米，则米，求得米，连接，则米，作于点，交的延长线于点，则，因为，所以当取最大值时，的值最大，由，求得的最大值为米，则的最大值为米． 【详解】解：（1）相同的三个叶片、、呈均匀分布， ，， ， 、、三点大同一条直线上，且， ， 故答案为：120，30； （2）如图2，设交于点，延长交于点，作于点，则， ， ， 太阳光线与地面的夹角不变， ， ， ， ， ， ， ，，且米，米， （米，（米， ， 四边形是矩形， 米， ， ， （米， ， （米， （米， 答：叶片的长为40米，铁塔的长为米． （3）如图2，米， 米， （米， 米， 如图3，连接、，   ， 米， 作于点，交的延长线于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当取最大值时，的值最大， ， 米， 的最大值为米， 的最大值为（米， 答：影长的最大值为米． 【点睛】此题重点考查垂径定理、勾股定理、平行线的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）小明在综合实践课上折一个等腰直角三角形纸片，，将沿着折叠，使得点落在边上的点，和交于点． (1)如图1，若点恰好是的中点，他发现，则__________． (2)如图2，当时，求证：，并求出的值． (3)当时，，则__________． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，利用锐角三角函数进行求解是解题的关键． （1）由中点的定义可得，进而可得出的值； （2）过点作于点，设，利用锐角三角函数以及角度的转化，求出，，，，进行判断和求解即可； （3）由（2）可知，进而可得，即，于是得解． 【详解】（1）解：∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点作于点， 设， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴， 即：， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，，于点． (1)直接写出的值为　　　； (2)求证： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形． （1）作射线，交于，连接，，根据，，得出，，由得出，由得出，从而得出，进一步得出结果； （2）作射线，交于，连接，连接，，由（1）知：是的垂直平分线，可推出，进一步得出结论； （3）作射线，交于，交于，连接，连接，，可推出，从而得出，设，则，，，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 作射线，交于，连接，， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）证明：如图2， 作射线，交于，连接，连接，，， 由（1）知，，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ； （3）解：如图3， 作射线，交于，交于，连接，连接，， 由（1）（2）知， ，，，， ， ， ， 设，则，，， ，， ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $