5．5 三角恒等变换（12大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．5 三角恒等变换 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 2 题型二：两角和与差的正切公式 2 题型三：二倍角公式 2 题型四：给角求值问题 3 题型五：给值求值问题 3 题型六：给值求角问题 3 题型七：半角公式 4 题型八：三角恒等式的证明 4 题型九：辅助角公式的应用 4 题型十：综合应用问题 5 题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明 5 题型十二：实际问题中的应用 6 02 重难点拓展 8 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 1．（2025·高一·四川成都·期末）的值为（   ） A． B．1 C． D． 2．计算（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高一·甘肃兰州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 题型二：两角和与差的正切公式 4．（2025·高一·陕西榆林·期末）（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高一·江苏徐州·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型三：二倍角公式 7．（2025·高一·浙江杭州·期中）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高一·安徽亳州·期末）若，则（   ） A． B．1 C． D． 9．（2025·高一·河南南阳·期末）已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 题型四：给角求值问题 10．求值：（    ） A．1 B． C． D． 11． A． B． C． D． 12．（2025·高一·辽宁·期末）的值为 A． B． C． D． 题型五：给值求值问题 13．（2025·高三·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·高三·安徽·期中）已知，均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·江西景德镇·模拟预测）若,则（   ） A． B． C． D． 题型六：给值求角问题 16．已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 17．（2025·高三·山东·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：半角公式 18．已知，且为第三象限角，则 . 19．（2025·高一·四川绵阳·期中）已知，，则 . 20．（2025·高三·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 题型八：三角恒等式的证明 21．已知，且满足． （1）求证： （2）求的最大值，并求当取得最大值时的值． 22．已知，求证：. 23．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证＝. 题型九：辅助角公式的应用 24．已知函数的图象关于直线对称，则 ． 25．（2025·高一·湖北咸宁·期末）已知函数，，，则= ． 26．已知锐角，满足，则式子的取值范围为 . 题型十：综合应用问题 27．（2025·高一·四川成都·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 28．（2025·高一·四川雅安·期末）已知函数. (1)当，时，求在上的最小值； (2)当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 29．（2025·高一·北京昌平·期末）已知函数 (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若对任意，都有，求m的最大值. 题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明 30．（2025·高一·甘肃嘉峪关·期末）嘉峪关市第一中学高一数学组在一次探究性学习活动中，将参加活动的同学分成6个小组，每一组按照下列序号完成一个三角函数式的求值，然后由组长分别汇报本组的答案.汇报后发现各组的运算结果是同一个常数，于是老师引导大家进一步探究发现一般的规律…… ； ； ； ； ； . （1）请你从上面6个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据（1）的运算结果，将同学们的探究发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 31．证明下列恒等式： (1)； (2)． 题型十二：实际问题中的应用 32．（2025·高一·江苏南京·期中）如图，已知扇形的圆心角为，半径为1，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．    (1)设，试用表示矩形的面积，并指出的取值范围； (2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由． 33．（2025·高一·江西南昌·期末）如图，要把半径为3的半圆形木料截成矩形，记． (1)求矩形周长的最大值； (2)当取何值时，矩形的面积最大，并求出最大值． 34．（2025·高一·江苏苏州·期中）如图，某休闲用地的中央区域是边长为2（百米）的等边三角形，外围是以，为圆心，2（百米）为半径的圆弧.管理部门在矩形的三边安装灯带（其中在圆弧上，都在线段上），记. (1)写出灯带的总长度关于的函数，并求出该函数的值域； (2)管理部门还准备在矩形的内部建造一个圆形喷泉，试求圆形喷泉半径的最大值. 1．计算（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·重庆·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·高二·贵州·月考）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　） A． B． C． D． 5．（2025·高三·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国·模拟预测）若角满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·江苏南通·期中）已知为锐角，且，则的最大值（ ）. A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江大庆·一模）已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 9．（2025·高一·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（多选题）若x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）下列等式中正确的有（   ） A． B． C． D． 13．（2025·高一·浙江·期末）求值： . 14．已知，，则 . 15．已知，则 . 16．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）关于的方程的根为. (1)求的值 (2)求的值及的值 17．（2025·高二·福建·学业考试）已知为第二象限角，且． (1)求； (2)求的值． 18．（2025·高一·广东中山·期中）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．    (1)求； (2)设，求的值． 19．（2025·高一·江苏南通·期中）已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”，有序数对称为函数的“平衡点对”. (1)若为函数的“平衡点对”，求的值； (2)若，当且成立时，求的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $5.5三角恒等变换 目录 01基础题型归纳.…。 …2 题型一：两角和与差的正（余)弦公式… 2 题型二：两角和与差的正切公式… 2 题型三：二倍角公式 题型四：给角求值问题… 题型五：给值求值问题… 5 题型六：给值求角问题… 题型七：半角公式 7 题型八：三角恒等式的证明 题型九：辅助角公式的应用… .10 题型十：综合应用问题… 11 题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明. 14 题型十二：实际问题中的应用 .16 02重难点拓展 19 1/28 01 基础题型归纳 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 1.(2025高一四川成都期末)cos77cos5江+sin75in5元 8 8 8 n8的值为() A.-1 B.1 C.-② D.② 2 2 【答案】D πN -sin- cos 8 88 42 故选：D 2.计算cos105°=() A.2-6 B.5-V6 C.2+6 D. V2+V6 2 4 2 【答案】B 【解析】cos105°=cos45°+60)=cos45°cos60°-sin45°sin60° -2x！2,52-6 2222 4 故选：B 3.(2025·高一.甘肃兰州期中)cos10°cos20°-sin10°sin20°等于() A. 2 B.- 2 C. D._ 【答案】A 【解析】由余弦的两角和公式可得cos10°c0s20°-sin10Psin20°=cos30°=5 故选：A 题型二：两角和与差的正切公式 4.(2025·高一陕西榆林·期末)tan75°=（) A.2-V5 B.2+3 C.3-2 D.3-5 【答案】B 2/28 【解析】tan75°=tan(45°+30°)=tan45+tan30°1+3 =2+5 1-tan45°tan30° 3 1-1x3 故选：B 5.(2025·高一.江苏徐州期中)tan105°的值为() A.-1-V3 B.-2-5 C.-2+V5 D.2-V5 【答案】B 【解析】tanl05°=tan(45°+60)= tan45°+tan60°1+V5 =-2-5 1-tan45°.tan60°1-V5 故选：B 6.(2025·高一，全国课前预习)已知tanc=二，tanβ=6，则tan(ax+B)=() 61 41 41 c 1 A. 24 24 D:31 【答案】A 【解析】根据两角和的正切公式tan(oa+P)=一tanctanp' tana+tanB 5 代入已知anx=GanB=6可得， 5 +6 tan(a+B)=-6 41 ×6 24 6 故选：A 题型三：二倍角公式 7.(2025高一浙江杭州期中)若“为第二象限角，且sma},则血2a=（) A B.9 C.-4v5 D.4V2 9 9 【答案】C 【解折】由a为第二象限角，且sma-},可得csa=--sm以： h-1-22 91 3 再由正弦的二倍角公式得sin2c=2 sina cosa=2× 122_ 3 3 故选：C 8.(2025高一安徽毫州期末)若tan&=2,则sinx+sin2ax=（) 3/28 A. B.1 D. 6 【答案】B 【解析】sin'a 4sin2a=sina+snacose_2sna+smaxcosax 2 2sin'a+2cos'a 2tan'a+tand_8+2=1. 2tan'a+2 8+2 故选：B 9.(2025高一河南南阳期末)已知&是第四象限角，若tan(ax-乃=-7，则sin2x=() 4 A. 24 12 12 24 B. C. D. 25 25 25 25 【答案】D 【解析】由tan(ax- =-7可得an0-=-7,解得ana=-3 4 1+tana 因为ox是第四象限角，所以sino<0,coso>0, 3 sina sina=- 5 由 cosa 4 解得 4 sin'a+cos'a=1, cosa= 5 所以sin2ax=2 sinacosa=2× 3x4_24 、5525 故选：D 题型四：给角求值问题 10.求值： 1-v3 tan10 =() v1-cos 20 A.1 B.2 C.5 D.2N2 【答案】D 【解析】原式 1-V3sn10° cos10° cos10°-V3sinl0 V2sin10 √2sinl0°cos10° 2c0s(10°+60°)_2W2c0s70°_2N2cos(90°-20）_2V5sin20°=2W V sin20° sin20° sin20° sin20° 2 故选：D. 11.tan20°+4sin20°= A.2 B.2+5 C.5 D.2N2-1 2 4/28 【答案】C 【解析】化切为弦，分式通分，引进特殊角，非特殊角相消相约，即可求解原式 _sin20°+4sin20°cos20°_sin20°+2sin40° cos20° c0s20° sin20°+2sin(60°-20°)） c0s20° _sin20+2sim60°cos20°-2cos60°sin20°-V5 c0s20° 故选C 12.(2025高一辽宁.期末)sin50°(1+V3tan10°)的值为 A.5 B.2 C.2 D.1 【答案】D 【解析】sin50°(1+V3tanl0） =im50°(cos10°+V5sinl0°) c0sl0° =sim50°. 2cos50° s2inl00° cosl0° =1 c0sl0° cos10° cosl0° 故选D 题型五：给值求值问题 sin(a+B)=() A.i B.16 C.-63 63 D. 65 65 65 6 【答案】D 【解折1由好a0c将ax< 5 因为coS 所以sna*-sm[任+a片要+p小-m任aj小es证+p小o任aj小m好Pj小 ,-() 故选：D 5/28 14.(2025高三安徽期中)已知a,P均为锐角，sincos=0， 5 cos a cos A=Y10，则cos(a+AP 10 () A.-3v10 B.、v1o C.v10 D.3v10 10 10 10 10 【答案】B 【解析】由题意tana= sin cos-2,由x是锐角，且sima+cosa=l, cosa cos B 可得sina= 25 ，coSa= 5 5 代入题干条件得到cos0=5,，由P是锐角可待smB- 2 2 cos(a+p)=cosacos p-sin asin =525o 525210 故选：B 1.2025江西景稽镇溪推预》若m口-】手则w2a 5π 6 =() A.、 7 B.25 c D. 12 25 25 【答案】B 【解折1oa2a+=s2a+]-2osa+径-1 12 12 ''sin(a- 4 12 12 5 6 25 故选：B 题型六：给值求角问题 1 6,已知aB为三用形的两个内角，csa如a+A)上3 4,则B= A. π B. C. 6 3 2 D.2 3 【答案】B 【解析】因a,阝为三角形的两个内角，且cosx= 11 72 则<a< 4V5 2 sina=v1-cos'a= 7 6/28 因sm(a+A-555,<a<a+月， 142’3 得27<a+B<元， 3 则oaa-=ma+月=沿 sinB=sin(a+B)-a=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina= 5V51,11455 14×7+14×7 2 因a>骨+<，则B-骨 故选：B 17.20a5商已山东期中y者m2a-5.s0-a-,且2e牙引n则a+9= 10 () A.4r 3 B. 5n c. 11π D. 6 【答案】C 【解析】因&∈ 42 所以2a∈ 2π 又sin2a= 570 根据sin°A+cos2A=1,得cos2a=-V1-sin2a= 25 5 ,同时也能确定a∈ 42 因为sin(p-a)= 10 cos(B-a)=-/1-sin'(B-a)= V10 3v10 10 10 将cos(a+)转化为cos[(B-a)+2a] 所以cos(a+p)=cos(p-c)cos2a-sin(B-a)sin2ax 31o25)0V5310x2510x5650-V505502 -10 5 105 10×5 10×5 50 502 因为&∈ 引，所以a+P(晋2a 元π 3元 这个区间内，cosa+)Y时，a+B分 2 故选：C 题型七：半角公式 7/28 18、已知sn(a-月eos以-cos(c-P月)sina-号，且P为第三象限角，则am号-x一 【答案】-3 【解析】：sn(c-P)cosa-cos(a-月sina-}sin(a-B-a）=-snAm0=号 结合P为第三象限角，∴cosB=-V-sinp=-4, 3 则tan B sinB 5 (B 2 1+cosB 14=-3.tan 气2π=tan 3 2 5 故答案为：-3。 19.(2025商-四川绿阳期中)已知m(-子+a)=?,ae(受0，则sm号+ 26 【答案】25-v5 10 【解析】由sin(+a)=-2可得cosa=? 5 因ae(乃0，则e(买o,则cos 1+cosa 4 =V2 5，m号 1-cosa 5 2 故sin+元3四g号士cosV3 sin 3x(5+1x2525-5 621 22 25 10 故答案为： 25-V15 10 20.(2025高三吉林长春期末)若a0到 且sina,cosx是5x-7x+1=0的两个根，则 【答案】30,30 1010 【解析】因为sin、cosc为关于x的方程25x2-35x+12=0的两个根， 7 所以 sin+cosa- 12 sinacosa= 0 1 所以cosa--sina,=V1-2 sina cosa= 8/28 又sino+cosa= 7 所以coso= 4 4 1+cosa 1+ 3V10, cos 2 2 10 故答案为： 310 10 题型八：三角恒等式的证明 21.已知a,e0,2 且满足sn sina =cos(a+B). (1)求证：tanB= sina cos a l+sin°x (2)求tanB的最大值，并求当tanB取得最大值时tan(a+B)的值. 【解析】(1)s如 -cos(a+B) sina ..sinp cos acos B-sinasin B, sina ∴.sinB=sina cosa cos B-sin°asin B, .'tan B=sin a cosa-sin'atan B .'sina cosa=(1+sin-a)tan B ∴.tanB= sinacosa 1+sin'a (2)由(1)得：tanB=sinacos sinacosa tana 1+sin-a 2sina+cos2a 2tan?a+1' ,Be@3. ∴.tan∈(0，+oo), 由ann tana 2tan'a+1 2tana+- 2 1 4, na tang 可得：当tan= 时，mP取得最大值5 2 4 .sin B -=cos(a+B) sina sint(a+p-al=cos(a+B) sina ..sin[(a+B)-a]=sin acos(a+B) .'sin(a+B)cosa-sinacos(a+B)=sina cos(a+B) ..sin(a+B)cosa=2sin acos(a+B) 9/28 即tan(a+)=2tana; 所以tan(ac+F)=2tana=√2. 22.已知sinB=2sin(2a+β)，求证：tan(c+)+3tana=0 【解析】证明：因为sinB=2sin(2a+),所以sin(ax+B)-ax=2sin[(a+)+ax], sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina=2sin(a+B)cosa+cos(a+B)sina, 所以sin(cx+B)cosx+3cos(a+β)sina=0, 所以tan(a+B)+3 tan&= sin(a+p)3sina cos(a+B)cos a sin(+pcos+3cos(B)sin0 cos(a+B)cos a 即tan(ax+F)+3 tana=0 23.在A4BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=0-cosB-b tan24 a-bcosB’求证 2 =a+b tan 2B a-b 2 【解析】依题意cosA=a-cosB-b a-b·cosB' 1-cosA-1-a-cosB-b-a-b-cosB-(a-cosB-b)_(a+b)-(1-cosB) a-b.cosB a-b·cosB a-b·cosB 1+cosA=1+a-cosB-b=a-b-cosB+(a.cosB-b)_(a-b)(1+cosB) a-b·cosB a-b·cosB a-b·cosB 所以-cos4=a+b.1-cosB 1+cosA a-b 1+cos B' _1-cos 4 2sn'4 2 而1+cosA tan:4 2cos' A 1-cosB 2sin 2 1+cosB tan?B 2cos- , 2 所以tan24a+b 2 a-b an?B tan 即 3=a+b tan 2B a-b 2 题型九：辅助角公式的应用 24.已知函数f(x)=V3sin2x+2cosx的图象关于直线x=,对称，则tan2x,=一· 10/28