专题28.5 表示一组数据波动程度的量（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级下册

本讲义聚焦表示数据波动程度的量这一核心知识点，系统梳理极差、方差、标准差的概念、计算公式及性质，构建从集中趋势量到离散程度量的知识脉络，通过概念辨析、公式推导及数据变换规律（如加减常数方差不变、乘倍数方差变倍数平方）搭建学习支架。 该资料以数学思维统领知识建构，结合射击成绩比较、统计图表分析等实例培养数据意识与应用意识，题型分层设计（基础计算、综合决策、统计量变换）提升运算能力，课中助力教师分层教学，课后学生可通过变式训练和解答题巩固，有效查漏补缺。

专题28.5 表示一组数据波动程度的量 教学目标 1. 了解方差与标准差的概念，并学会计算； 2. 学会用方差决策； 3. 掌握用计算器计算方差、标准差。 教学重难点 1.重点 （1）计算方差、标准差； （2）方差、标准差与其他统计量综合； （3）方差在统计图表中的应用。 2.难点 （1）已知一组数据的统计量，求另一组数据的统计量； （2）方差的综合应用。 知识点1 表示一组数据波动程度的量 一、*极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为*极差，*极差＝最大值－最小值. 要点：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 　　要点：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 二、*极差、方差和标准差的联系与区别 联系：*极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：*极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 三、用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2） 用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 四、用计算器计算方差、标准差 【即学即练】 1．计算数据3，4，5，6，7的标准差为 ． 2．为了增强学生的体质，海燕老师组织本班学生进行投蓝比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则样本的方差是（   ） A．0.8 B．0.7 C．1 D．0.9 3．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）． A．4 B．5 C．2 D． 4．甲、乙两位射击运动员在一次射击训练中的射击成绩如下折线统计图．设甲、乙两组数据的方差分别为、，则 （填“”“”或“”）． 5．某同学根据体育素质测试成绩，对某小组5名同学的成绩（单位：分）进行统计（如下表），其中有两个数据被遮盖． 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 成绩 38 34 ■ 37 40 ■ 37 被遮盖的两个数据依次是（    ） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 6．一组数据：3，3，3，5，9，11，13．若加入一个整数a，一定不会发生变化的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 题型01 求方差 【典例1】．数据的方差为 ． 【变式1】．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为 ． 【变式2】．已知一组数据136，138，139，137，140，则该组数据的方差为 ． 题型02 求标准差 【典例1】．数据-1，0，1，2，3的标准差为 ． 【变式1】．已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的标准差是 ． 【变式2】．一组数99，97，96，98，95的标准差是 ． 题型03 方差公式的应用 【典例1】．计算一组数据的方差的式子为，则该组数据共 个数据． 【变式1】．某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是 ． 【变式2】．小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 ． 题型04 根据其他统计量求方差或标准差 【典例1】．有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4．则这组数据的标准差是 ． 【变式1】．某班七个兴趣小组人数分别为4，x，5，5，4，6，7，已知这组数据的平均数是5，则方差为 ． 【变式2】．已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的方差为 ． 题型05 方差在统计图表的应用 【典例1】．某年甲、乙两座城市四季的平均气温（单位：℃）如下表：则甲、乙两座城市四季的平均气温的方差的大小关系为： （填“”或“”）． 城市 春 夏 秋 冬 甲 27 18 乙 16 30 24 11 【变式1】．如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差 ． 【变式2】．甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，射击成绩的方差依次记为，则 （填“”“”或“”） 题型06 利用方差或标准差做决策 【典例1】．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，，，，则射击成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】．甲和乙两人进行射击比赛，两人各射击10次，成绩如下表（单位：环）．经计算，发现两人平均成绩都是7环，则本次比赛甲乙两人发挥更稳定的是 ． 甲 10 10 10 8 7 7 7 5 4 2 乙 9 8 8 7 7 7 7 6 6 5 【变式2】．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数和标准差统计如下表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加初中数学竞赛，那么应选 同学． 甲 乙 丙 丁 平均数 78 92 92 85 标准差 7.5 6 7 6 【变式3】．2024年11月9日是第33个“全国消防日”．为迎接全市的消防知识竞赛，某校进行了消防知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛．如图是他们6次的测试成绩（包括决赛和所有预赛），计算发现，若要从中选一名成绩更稳定的同学去参加竞赛，则应选 （填“小洋”或“小亮”） 题型07 综合应用 【典例1】．对于一组统计数据2，3，5，3，7，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是 D．中位数是5 【变式1】．一组数据16，32，32，36，46，7，42进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式2】．某校为响应“节约用电，从我做起”的号召，随机对校内的10个教室的日用电量进行统计，并计算得到这10个教室的日平均用电量为6千瓦时，方差为0.6，若又统计了1个教师办公室的日用电量是6千瓦时，则关于这11个地方日用电量的说法正确的是（   ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 题型08 已知一组数据的统计量，求另一种组数据的统计量 【典例1】．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（   ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数不变，方差变小 【变式1】．一组数据，，，……，的方差是a，平均数是b，则另一组数据，，，……，的方差是 ，平均数是 ． 【变式2】．已知一组数据的方差为5，则的方差为 ． 【变式3】．已知一组数据的平均数为3，方差为2，那么数据的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．5，8 C．5，4 D．3，8 题型09 解答题 【典例1】．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 人数（人） 1 9 21 7 2 0 (1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； (2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 【变式1】．践行双碳目标，共建绿色校园．某校举行了一次以“节能省电”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为十分制），各班以小组为单位组织竞赛．一班分成甲、乙两组同学（每组6人）竞赛，两组成绩整理成如图所示的统计图： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 8 __________ 9 __________ 乙组 __________ 8 __________ 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)将表格中的信息补全． (2)请从平均数、中位数、众数和方差四个方面进行分析，比较哪组的成绩更加优秀？ 【变式2】．在学校组织的汉字听写大赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图： (1)根据图中提供的数据列出如下统计表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 80 b 八（2）班 a 90 则______，______． (2)此次大赛中八（2）班成绩在70分以上（含70分）的人数是多少？ (3)八（1）班的同学认为他们班的成绩更好，你能写出一条支持该班同学的理由吗？ 一、单选题 1．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．数据，，，，，的平均数和标准差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列是关于他们射击成绩的平均数和方差的描述，其中能说明A成绩较好且更稳定的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，5，则下列说法错误的是（   ） A．其平均数为5 B．其众数为5 C．其方差为5 D．其中位数为5 5．有甲、乙、丙、丁四架机床生产一种直径为20mm圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出各自的平均直径均为20mm，每架机床生产的零件的方差如表： 机床型号 甲 乙 丙 丁 方差mm2 0.012 0.020 0.015 0.102 则在这四台机床中生产的零件最稳定的是（　　）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2015年5月份用电量的调查结果： 居民（户） 1 3 2 4 月用电量（度/户） 40 50 55 60 那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（   ） A．中位数是55 B．众数是60 C．方差是29 D．平均数是54 7．想要获得高超的技术，不付出一番努力是绝对做不到的．在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．下图是小逸和小亮在射击训练中进行10次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（   ） A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．无法判定 8．已知一组数据26，36，36，3■，41，45，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（   ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 9．已知数据的平均数是2，方差是3，则一组新数据的平均数和方差分别是（   ） A．10，3 B．10，11 C．2，3 D．2，11 10．一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若甲组数据，，，，的方差是，乙组数据，，，，的方差是，则 ．（填“”、“”或“”） 12．一组数据6，8，10，x的平均数是8，则这组数据的方差是 ． 13．某样本方差的计算公式是，则它的样本容量是 ． 14．如图是某射击运动员在射击训练中连续10次的射击成绩（单位：环），则这些成绩的方差为 ． 15．中国跳水队的奥运选拔赛中，甲、乙、丙、丁四名运动员的平均成绩与标准差如下表，因为中国跳水队的整体水平高，所以要从中选一名参赛，应选择 ． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数 8 9 9 8 标准差 1 1 1.2 1.3 16．若样本数据，，，的平均数是，中位数是，众数是，则数据，，的方差是 ． 17．小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表： 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 1 3 2 5 3 由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是 ． 18．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ． 三、解答题 19．甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩（单位：分）如图所示． (1)甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是______分、______分； (2)利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性； (3)结合数据，请再写出一条与（1）（2）不同角度的结论． 20．某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮成绩测试，每天投3分球10次，五天中进球的个数统计结果如下： 队员 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． (1)求乙进球的平均数； (2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员参赛？为什么？ 21．王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c d (1)以上成绩统计分析表中_______，________，______； (2)d______（填“＞”、＜或“＝”）： (3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 22．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 计算方差的公式：． (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 23．小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求小聪、小明的平均成绩； (2)求小聪成绩的方差； (3)现求得小明成绩的方差为，根据折线统计图及上述计算结果，请说明哪位同学更适合参加学校竞赛？ 24．某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）： (1)请根据以上信息，完成下列问题： ①七年级身高在的学生有__________人； ②七年级样本的中位数所在范围是__________，请说明理由； (2)已知七年级共有名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人，并说明理由． (3)体育组对抽查的数据进行分析，计算出各年级的平均身高及方差如下表所示： 年级 七 八 九 那么学生的身高比较整齐是哪个年级？为什么． 25．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.5 表示一组数据波动程度的量 教学目标 1. 了解方差与标准差的概念，并学会计算； 2. 学会用方差决策； 3. 掌握用计算器计算方差、标准差。 教学重难点 1.重点 （1）计算方差、标准差； （2）方差、标准差与其他统计量综合； （3）方差在统计图表中的应用。 2.难点 （1）已知一组数据的统计量，求另一组数据的统计量； （2）方差的综合应用。 知识点1 表示一组数据波动程度的量 一、*极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为*极差，*极差＝最大值－最小值. 要点：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 　　要点：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 二、*极差、方差和标准差的联系与区别 联系：*极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：*极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 三、用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2） 用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 四、用计算器计算方差、标准差 【即学即练】 1．计算数据3，4，5，6，7的标准差为 ． 【答案】 【分析】本题考查标准差的计算，熟练掌握计算标准差的步骤是解题的关键．先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差． 【详解】解：数据3，4，5，6，7的平均数为， 方差， 标准差． 故答案为：． 2．为了增强学生的体质，海燕老师组织本班学生进行投蓝比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则样本的方差是（   ） A．0.8 B．0.7 C．1 D．0.9 【答案】A 【分析】本题考查了方差的概念，熟悉方差的计算方法是解题关键． 先求出平均数，再根据方差的计算公式计算即可． 【详解】解：样本的平均数为， 故方差， 故选：A． 3．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）． A．4 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键． 先根据平均数求出，再用方差的公式解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：， ∴这组数据的方差为：． 故选：C ． 4．甲、乙两位射击运动员在一次射击训练中的射击成绩如下折线统计图．设甲、乙两组数据的方差分别为、，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了方差，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据折线统计图可知甲、乙射击成绩，根据他们的成绩计算出他们的方差，再比较． 【详解】解：甲的成绩为、、、、、、、， ， ， 乙的成绩为、、、、、、、， ， ． 故答案为：． 5．某同学根据体育素质测试成绩，对某小组5名同学的成绩（单位：分）进行统计（如下表），其中有两个数据被遮盖． 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 成绩 38 34 ■ 37 40 ■ 37 被遮盖的两个数据依次是（    ） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差的计算，掌握根据平均数公式求未知数据，再根据方差公式计算方差是解题的关键． 先根据平均成绩的计算公式求出被遮盖的成绩，再根据方差的计算公式求出方差，进而分析选项． 【详解】解：已知平均成绩是37分，设编号3的成绩为，则： ， ， ， 解得， 然后计算方差，方差公式为：， 代入数据可得：， ， ， ． 故选：B． 6．一组数据：3，3，3，5，9，11，13．若加入一个整数a，一定不会发生变化的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】D 【分析】本题考查统计量的性质，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数，分析加入数后各统计量的变化是解题的关键． 分别分析加入整数后，平均数、中位数、方差、众数的变化情况，判断哪个统计量一定不变． 【详解】解：A、原来数据的平均数为，加入后，平均数为，会变化，不符合题意； B、原来数据排序后为，中位数是；加入后，数据个数变为8，中位数是第个数的平均数，可能变化，不符合题意； C、方差与数据的波动程度有关，加入后，数据波动程度可能改变，方差会变化，不符合题意； D、原来数据中的频数为，其他各数的频数均为，加入一个整数后，的频数至少为，而其他任何数的频数最多为，因此，的频数始终是最高的，众数一定为，不会发生变化，符合题意． 故选：D． 题型01 求方差 【典例1】．数据的方差为 ． 【答案】0.4/ 【分析】本题考查方差的计算，方差，熟记方差公式是解题的关键． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则方差为：， 故答案为：0.4． 【变式1】．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为 ． 【答案】2 【分析】根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：平均数为：， 方差． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【变式2】．已知一组数据136，138，139，137，140，则该组数据的方差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差：一般地设n个数据，的平均数为，则 方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据题意得出这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数是， ∴这组数据的方差为： ． 故答案为：2． 题型02 求标准差 【典例1】．数据-1，0，1，2，3的标准差为 ． 【答案】 【分析】先算出这组数据的平均数，再根据方差公式计算出方差，求出其算术平方根即为标准差． 【详解】解：数据-1，0，1，2，3的平均数为= [-1+0+1+2+3]=1， 方差为S2=[（-1-1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2-1）2+（3-1）2]=2， ∴标准差为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，熟知方差的计算方法是解决问题的关键． 【变式1】．已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的标准差是 ． 【答案】 【分析】计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差． 【详解】解：， ， 这组数据的标准差是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是标准差的计算，掌握方差的计算公式和方差与标准差的关系是解题的关键，注意标准差即方差的算术平方根． 【变式2】．一组数99，97，96，98，95的标准差是 ． 【答案】 【分析】先求出这组数据的平均数，再利用方差公式计算，从而可得标准差． 【详解】解：平均数， 方差=2， ∴标准差为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查方差的定义，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根，注意标准差和方差一样都是非负数． 题型03 方差公式的应用 【典例1】．计算一组数据的方差的式子为，则该组数据共 个数据． 【答案】8 【分析】考查方差计算公式中各数据的含义．对比方差公式很容易得出结论．方差．据此求解即可． 【详解】解：方差， 其中是这个样本的容量，是样本的平均数， 所以中样本的容量是8，即该组数据共8个数据． 故答案为：8． 【变式1】．某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了方差的知识，理解并掌握方差公式是解题关键．根据方差公式可直接得出答案． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据的平均数是7． 故答案为：7． 【变式2】．小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下：，这组数据的众数是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由计算方差的算式得出这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为7、7、8、9、9、9， 所以这组数据的众数为9， 故答案为：9． 题型04 根据其他统计量求方差或标准差 【典例1】．有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4．则这组数据的标准差是 ． 【答案】 【分析】先根据平均数是4列方程，解方程得到a的值，计算出方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差． 【详解】解：（2+3+a+5+6）＝4，解得a＝4， S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2， 则这组数据的标准差是． 故答案为：． 【点睛】本题考查求方差，标准差，掌握概念，正确计算是解题关键． 【变式1】．某班七个兴趣小组人数分别为4，x，5，5，4，6，7，已知这组数据的平均数是5，则方差为 ． 【答案】 【分析】此题考查了方差和平均数，先根据平均数求出，再用方差的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， ， 故答案为：. 【变式2】．已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的方差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平均数计算、一元一次方程求解以及方差的计算方法．解题的关键在于通过平均数的定义建立方程求出未知数 x 的值，进而利用该值计算数据组的方差，整个过程中需要准确应用公式并进行细致的代数运算．首先通过平均数的定义求出x的值，再计算方差． 【详解】解：一组数据，，，，的平均数是， ， 解得， 这组数据的平均数为：， 这组数据的方差为． 故答案为：． 题型05 方差在统计图表的应用 【典例1】．某年甲、乙两座城市四季的平均气温（单位：℃）如下表：则甲、乙两座城市四季的平均气温的方差的大小关系为： （填“”或“”）． 城市 春 夏 秋 冬 甲 27 18 乙 16 30 24 11 【答案】 【分析】本题考查了求算术平均数，方差的应用．先利用算术平均数的定义求出平均数，再 用方差公式求出方差即可．理解方差的意义，掌握算术平均数和方差的求法是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ， ∴． 故答案为： 【变式1】．如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差 ． 【答案】> 【分析】本题主要考查方差，根据方差计算公式分别求出甲、乙两入射击成绩的方差，再进行比较即可． 【详解】解：甲的射击成绩的平均数为（环） ； 乙的射击成绩的平均数为（环） ； ∵， ∴， 故答案为：> 【变式2】．甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，射击成绩的方差依次记为，则 （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．计算方差后比较即可得到答案． 【详解】； ； ； ； ∴， 故答案为：． 题型06 利用方差或标准差做决策 【典例1】．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，，，，则射击成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义可作出判断． 【详解】解：∵平均成绩都相同，， ∴射击成绩最稳定的是甲． 故选：A． 【变式1】．甲和乙两人进行射击比赛，两人各射击10次，成绩如下表（单位：环）．经计算，发现两人平均成绩都是7环，则本次比赛甲乙两人发挥更稳定的是 ． 甲 10 10 10 8 7 7 7 5 4 2 乙 9 8 8 7 7 7 7 6 6 5 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据表格数据计算两组数据的方差，比较两组数据的方差，方差小者更稳定． 【详解】解：由表格数据可知， 甲的方差为：， 乙的方差为：， ， 因此乙发挥更稳定． 故答案为：乙． 【变式2】．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数和标准差统计如下表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加初中数学竞赛，那么应选 同学． 甲 乙 丙 丁 平均数 78 92 92 85 标准差 7.5 6 7 6 【答案】乙 【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、标准差小的同学参赛． 【详解】由于乙的标准差较小、平均数较大，故选乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查平均数和标准差的意义．标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，标准差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【变式3】．2024年11月9日是第33个“全国消防日”．为迎接全市的消防知识竞赛，某校进行了消防知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛．如图是他们6次的测试成绩（包括决赛和所有预赛），计算发现，若要从中选一名成绩更稳定的同学去参加竞赛，则应选 （填“小洋”或“小亮”） 【答案】小亮 【分析】本题考查方差与折线统计图，掌握折线统计图的意义是解答本题的关键．根据折线统计图的波动情况可判断两名同学谁的成绩更加稳定． 【详解】解：由折线统计图可得， 小洋的波动大，小亮的波动小， 小亮的成绩更加稳定， 应选小亮． 故答案为：小亮． 题型07 综合应用 【典例1】．对于一组统计数据2，3，5，3，7，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是 D．中位数是5 【答案】D 【分析】本题考查了众数的定义，平均数的定义，方差的定义，中位数的定义． 根据众数的定义，平均数的定义，方差的定义，中位数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、这组数据中3出现了2次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确，不符合题意； B、这组数据的平均数是：，故此选项正确，不符合题意； C、，此选项正确，不符合题意； D、将这组数据按从小到大的顺序排列2，3，3，5，7，中位数为3，此选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】．一组数据16，32，32，36，46，7，42进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】该题考查了平均数、中位数、众数、方差，平均数、中位数、方差都依赖于被涂污数字，而众数由于被涂污数字的个位是7，与已知数据的个位都不同，因此不会影响众数． 【详解】解：∵ 被涂污数字可表示为（为的整数），其个位数字为7，而已知数据16、32、32、36、42、46的个位数字均为2或6，没有个位为7的数， ∴ 无论x取何值，被涂污数字均不等于已知数据中的任何数． 又∵ 已知数据中众数为32（出现2次），其他数均出现1次， ∴ 加入被涂污数字后，众数仍为32，与被涂污数字无关．而平均数、中位数、方差均与被涂污数字有关． 故选：C． 【变式2】．某校为响应“节约用电，从我做起”的号召，随机对校内的10个教室的日用电量进行统计，并计算得到这10个教室的日平均用电量为6千瓦时，方差为0.6，若又统计了1个教师办公室的日用电量是6千瓦时，则关于这11个地方日用电量的说法正确的是（   ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 【答案】C 【分析】本题考查了平均数，方差，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算出10个教室和1个教师办公室的日平均用电量，则平均数不变；再分析方差的变化，得，即可作答． 【详解】解：∵10个教室日平均用电量为6千瓦时，又调查了1个教师办公室的日用电量是6千瓦时， ∴10个教室和1个教师办公室的日平均用电量（千瓦时） ∴平均数不变； 设10个教室的日用电量进行统计的方差为，设这11个地方日用电量的方差为， ∵新加入的数据为6千瓦时，与原来平均数相同， ∴， 则， ∴方差变小． 故选：C 【变式3】．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（   ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差不变 C．平均数变小，方差变小 D．平均数不变，方差变小 【答案】D 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 根据平均数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，从而做出判断． 【详解】解：∵原数据的平均数为， ∴方差为； ∵新数据的平均数为， ∴方差为； 所以新数据与原数据相比平均数不变，方差变小， 故选：D． 题型08 已知一组数据的统计量，求另一种组数据的统计量 【典例1】．一组数据，，，……，的方差是a，平均数是b，则另一组数据，，，……，的方差是 ，平均数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平均数，方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式． 按照平均数和方差的计算公式，计算化简即可． 【详解】解：∵，，，……，的平均数是， ∴， ∴，，，……，的平均数， ∵，，，……，的方差是a， ∴， ∴，，，……，的方差， 故答案为： ，． 【变式1】．已知一组数据的方差为5，则的方差为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．首先设原数据的平均数为，则新数据的平均数为，然后利用方差的公式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意知，设原数据的平均数为，新数据的每一个数都乘以了3，减去了2，则平均数变为， ∵， ∴ ， 故答案为：45． 【变式2】．已知一组数据的平均数为3，方差为2，那么数据的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．5，8 C．5，4 D．3，8 【答案】B 【分析】本题考查平均数公式及方差公式，根据题中的平均数为3，方差为2，运用平均数公式及方差公式表示出来，然后代值表示数据的平均数与方差即可得到答案，熟记平均数公式及方差公式是解决问题的关键． 【详解】解：一组数据的平均数为3，方差为2， ，； 数据的平均数是； 方差是 ， ， 故选：B． 题型09 解答题 【典例1】．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 人数（人） 1 9 21 7 2 0 (1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； (2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 【答案】(1)2；2 (2) 【分析】本题主要考查了求众数、中位数、标准差： （1）根据众数、中位数的定义解答，即可求解； （2）根据标准差的计算公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多， ∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2； ∵全班40位同学， ∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2， ∴中位数也是2． 故答案为：2；2． （2）解：平均数为， 全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为 ． 【变式1】．践行双碳目标，共建绿色校园．某校举行了一次以“节能省电”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为十分制），各班以小组为单位组织竞赛．一班分成甲、乙两组同学（每组6人）竞赛，两组成绩整理成如图所示的统计图： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 8 __________ 9 __________ 乙组 __________ 8 __________ 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)将表格中的信息补全． (2)请从平均数、中位数、众数和方差四个方面进行分析，比较哪组的成绩更加优秀？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查方差、中位数、众数、平均数，熟练掌握相关定义及意义是解答的关键． （1）根据中位数、众数、平均数及方差的定义求解即可； （2）根据中位数、众数、平均数及方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列：6，7，8，9，9，9， 则中位数为， 方差为； 乙组的平均数为，众数为8， 补全表格如下： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 8 8.5 9 乙组 8 8 8 （2）解：从平均数看，甲组与乙组平均水平相同； 从中位数看，甲组高分人数多于乙组； 从众数看，甲组9分人数多，而乙组8分人数多； 从方差看，甲组的方差小于乙组，则甲组成绩比乙组成绩更稳定， 综上，甲组的成绩更加优秀． 【变式2】．在学校组织的汉字听写大赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图： (1)根据图中提供的数据列出如下统计表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 80 b 八（2）班 a 90 则______，______． (2)此次大赛中八（2）班成绩在70分以上（含70分）的人数是多少？ (3)八（1）班的同学认为他们班的成绩更好，你能写出一条支持该班同学的理由吗？ 【答案】(1)70，80 (2)21人 (3)见解析 【分析】本题主要考查中位数、众数和方差，解题的关键是掌握众数的定义、中位数和方差的意义． 对于，根据中位数的定义和众数的概念求解可得； 对于，用班级总人数乘以成绩在70分以上含70分的人数所占百分比即可得； 对于，从中位数和方差的角度求解可得答案． 【详解】（1）解：∵八班A、B等级的百分比之和为， 而A、B、C等级所占百分比之和， 八班成绩的中位数在C组， 八班成绩的中位数， 八班的众数； 故答案为：70，80； （2）解：每班参加比赛的人数为：（人），（人）， 答：此次大赛中八班成绩在70分以上含（70分）的人数是21人； （3）解：①平均数相同的情况下，八班中位数大，故八班的成绩更好一些． ②八班的方差小，成绩稳定． 一、单选题 1．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了方差的计算方法，方差等于样本中各数据与平均数差的平方之和再除以样本个数． 先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：平均数， 方差． 故选：A． 2．数据，，，，，的平均数和标准差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平均数的定义以及标准差的定义即可求解．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．标准差：方差的算术平方根叫做标准差． 【详解】解：数据，，，，，的平均数为， ， ∴标准差为， 故选：C． 【点睛】本题考查了求平均数和标准差，熟练掌握平均数和标准差的定义是解题的关键． 3．A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击．下列是关于他们射击成绩的平均数和方差的描述，其中能说明A成绩较好且更稳定的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定． 根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可． 【详解】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 故选：C． 4．某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，5，则下列说法错误的是（   ） A．其平均数为5 B．其众数为5 C．其方差为5 D．其中位数为5 【答案】C 【分析】直接根据平均数，方差，中位数的求法和众数的概念逐一判断即可． 【详解】A. 其平均数为，故该选项正确；     B. 5出现的次数最多，所以其众数为5，故该选项正确； C. 其方差为 ，故该选项错误；     D. 其中位数为，故该选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键． 5．有甲、乙、丙、丁四架机床生产一种直径为20mm圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出各自的平均直径均为20mm，每架机床生产的零件的方差如表： 机床型号 甲 乙 丙 丁 方差mm2 0.012 0.020 0.015 0.102 则在这四台机床中生产的零件最稳定的是（　　）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据方差的意义，找出方差最小的即可． 【详解】∵这四台机床的平均数相同，甲机床的方差是0.012，方差最小 ∴在这四台机床中生产的零件最稳定的是甲； 故选：A． 【点睛】本题考查了方差和平均数的知识；解题的关键是熟练掌握方差的性质，从而完成求解． 6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2015年5月份用电量的调查结果： 居民（户） 1 3 2 4 月用电量（度/户） 40 50 55 60 那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（   ） A．中位数是55 B．众数是60 C．方差是29 D．平均数是54 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差， 根据定义逐个解答即可. 【详解】解：这组数据重新排列为：40,50,50,50,55,55,60,60,60,60， ∴众数为60，中位数为； 平均数为：； 方差为：. 故选：C. 7．想要获得高超的技术，不付出一番努力是绝对做不到的．在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．下图是小逸和小亮在射击训练中进行10次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（   ） A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．无法判定 【答案】A 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据图中的信息找出波动性大的即可． 【详解】解：根据图中的信息可知，小亮的成绩波动性大， 则这两人中的新手是小亮； 故选：A． 8．已知一组数据26，36，36，3■，41，45，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（   ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 【答案】D 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义，观察数据，可得已经有两个36，故众数为36，被涂污数字无关，解决本题的关键是要熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的定义． 【详解】解：平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故A不符合题意； 方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关，故B不符合题意； 中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数，此题中位数跟被涂污数字有关，故C不符合题意； 数据中出现次数最多的数是36，即众数是36，与被涂污数字无关， 故选：D． 9．已知数据的平均数是2，方差是3，则一组新数据的平均数和方差分别是（   ） A．10，3 B．10，11 C．2，3 D．2，11 【答案】A 【分析】本题考查方差与平均数：若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．根据平均数的变化规律可得出数据的平均数是10；根据数据的方差为3，即可求出的方差是3． 【详解】解：∵的平均数是2， ∴的平均数是； ∵的方差是3， ∴的方差是3； 故选：A． 10．一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求方差，熟知方差的性质是解答的关键．先求出原数据的平均数，再根据方差性质，分析加入数a后方差变小的条件，进而确定a的可能取值． 【详解】解：由题意，原数据的平均数为， 加入一个数a后，原数据的个数变为6，平均数为，要使加入a后方差变得更小，那么a应该更接近原数据的平均数6.6， 在各选项中，∵，，，，又， ∴时最接近平均数6.6，此时方差最小， ∴a最可能为7， 故选：D． 二、填空题 11．若甲组数据，，，，的方差是，乙组数据，，，，的方差是，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】把乙组数据都减去2得到，，，，，根据方差的意义得到新数据与原数据的方差不变，从而可判断甲乙方差的大小关系． 【详解】解：把乙组数据都减去2得到，，，，，新数据与甲组的数据一样，所以甲、乙的方差相等， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 12．一组数据6，8，10，x的平均数是8，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：∵数据6，8，10，x的平均数是8， ∴， 解得：， ∴这组数据的方差为：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 13．某样本方差的计算公式是，则它的样本容量是 ． 【答案】16 【分析】根据方差的计算公式求出样本容量． 【详解】解：∵公式， ∴它的样本容量是16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了方差公式中各字母的意义，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]． 14．如图是某射击运动员在射击训练中连续10次的射击成绩（单位：环），则这些成绩的方差为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方差，先求出平均数，再根据方差的公式计算即可得出答案． 【详解】解：平均数为环， 方差为：， 故答案为：． 15．中国跳水队的奥运选拔赛中，甲、乙、丙、丁四名运动员的平均成绩与标准差如下表，因为中国跳水队的整体水平高，所以要从中选一名参赛，应选择 ． 选手 甲 乙 丙 丁 平均数 8 9 9 8 标准差 1 1 1.2 1.3 【答案】乙 【分析】本题主要考查了平均数和方差的应用，理解平均数和方差的意义是解题关键．算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据图表找出平均数大，方差小的运动员参赛即可． 【详解】解：∵乙、丙的平均数相等，大于甲、丁的平均数，乙的方差小于丙的方差， ∴乙的成绩高且发挥稳定，应选择乙． 故答案为：乙． 16．若样本数据，，，的平均数是，中位数是，众数是，则数据，，的方差是 ． 【答案】0 【分析】确定出，，后，根据方差的公式计算，，的方差 【详解】解：平均数； 中位数； 众数； ，，的方差． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义并求解出各数． 17．小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表： 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 1 3 2 5 3 由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据是 ． 【答案】4和2 【分析】根据平均数算出5天气温的总和，进而算出第四日的气温，根据平均数和每日的气温算出方差． 【详解】解：3×5=15， 15-1-3-2-5=4， ∴方差， 故答案为：4和2． 【点睛】本题考查平均数和方差，能够根据平均数和每日的气温算出方差是解决本题的关键． 18．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ． 【答案】4 【分析】先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 . 所以方差不变，标准差为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变． 三、解答题 19．甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩（单位：分）如图所示． (1)甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是______分、______分； (2)利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性； (3)结合数据，请再写出一条与（1）（2）不同角度的结论． 【答案】(1)80，80 (2)，，可知，甲同学的成绩更加稳定 (3)见解析 【分析】（1）根据平均数的计算方法，即可求出答案； （2）根据方差的计算方法，即可求出方差，根据方差的大小，即可判断出这两名同学该项测试成绩的稳定性； （3）利用极差，也可以判断出这两名同学该项测试成绩的稳定性． 【详解】（1）， ， 故答案为：80；80． （2）方差分别是： 由可知，甲同学的成绩更加稳定． （3）甲同学的极差为：（分），乙同学的极差为：（分） ∵ ∴从极差的角度判断甲同学的测试成绩更稳定． 【点睛】本题考查了平均数、方差，牢记平均数、方差的计算公式和意义是解题的关键，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 20．某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮成绩测试，每天投3分球10次，五天中进球的个数统计结果如下： 队员 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． (1)求乙进球的平均数； (2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员参赛？为什么？ 【答案】(1)8 (2)选乙，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的求法即可求解． （2）将乙的方差求出，再进行比较甲与乙的方差即可求解． 【详解】（1）解：乙进球的平均数为：． （2）乙的方差：， ∵， ∴乙成绩稳，选乙合适． 【点睛】本题考查了平均数、根据方差判断数据的稳定性，熟练掌握平均数的求法及方法的求法是解题的关键． 21．王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c d (1)以上成绩统计分析表中_______，________，______； (2)d______（填“＞”、＜或“＝”）： (3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 【答案】(1)6，7，7 (2) (3)乙同学，理由见解析 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果； （2）根据平均数和方差的计算结果求出答案； （3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可． 【详解】（1）解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为； 乙的平均数， 乙的数据中7最多有4个，所以众数， 故答案为：6，7，7； （2）， ， 故答案为：； （3）选择乙同学， 理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定． 【点睛】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键． 22．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 计算方差的公式：． (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)9；9； (2)=，= (3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由见解析 【分析】本题考查求平均数，方差，利用方差作决策． （1）数据总和除以数据个数求出平均数即可； （2）利用方差公式计算方差即可； （3）利用方差作决策即可． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 故答案为：9；9； （2）解： ； ； （3）解：推荐甲参加全国比赛更合适， 理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当； 但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． 23．小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求小聪、小明的平均成绩； (2)求小聪成绩的方差； (3)现求得小明成绩的方差为，根据折线统计图及上述计算结果，请说明哪位同学更适合参加学校竞赛？ 【答案】(1)小聪、小明的平均成绩均为8分 (2) (3)小聪 【分析】（1）分别将小聪和小明6次测验成绩相加，再除以6，即可求解； （2）根据方差的定义：方差等于各个数据与平均数的差的平方的平均数，即可求解； （3）分别比较两人成绩的平均数和方差，根据方差越小越稳定，即可作出决策． 【详解】（1）解：． ． 所以，小聪、小明的平均成绩均为8分． （2）． 所以，小聪成绩的方差为． （3）从平均数看，两人的平均水平一样；从方差看，小聪的成绩比较稳定．所以，小聪更适合参加学校竞赛． 【点睛】本题主要考查了求平均数和方差，以及根据方差作决策，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义，以及方差越小越稳定． 24．某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）： (1)请根据以上信息，完成下列问题： ①七年级身高在的学生有__________人； ②七年级样本的中位数所在范围是__________，请说明理由； (2)已知七年级共有名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人，并说明理由． (3)体育组对抽查的数据进行分析，计算出各年级的平均身高及方差如下表所示： 年级 七 八 九 那么学生的身高比较整齐是哪个年级？为什么． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)人，理由见解析 (3)八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小 【分析】（1）①先算出总数后，再利用即可求出则的频数； ②因为一共个数据，根据中位数是第和个数据的平均数即可得出答案； （2）求出样本中身高若身高低于的人数所占的百分比，即可估计该校七年级身高偏矮的人数． （3）根据方差的定义即可得出答案． 【详解】（1）①总数， 则的频数． 故答案为：18 ②因为一共个数据，中位数是第和个数据的平均数，而第和个数据在的范围内，所以样本的中位数在的范围内； 故答案为：； （2）； 故估计该校七年级身高偏矮的共有人． （3）八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小． 【点睛】本题主要考查了统计表、中位数、方差以及利用样本估计总体等有关知识，属于常考题型，读懂统计图是关键． 25．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】(1)，， (2) (3)甲，理由见解析 【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、， 中位数， 甲组数据中出现的次数最多， 众数， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为：，，； （2）解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； （3）解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款软件使用效果更好． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $