28.4 表示一组数据波动程度的量（4大题型提分练）（题型专练）数学沪教版五四制九年级下册

28.4表示一组数据波动程度的量 知识点一 方差 ★1、方差：设有个数据, ,…, ,它们的平均数为，那么这个数与平均数的平方分别是，它们的平均数叫做这个数的方差，记作，即 ，记作 【注意】方差的单位为数据的单位的平方；如未指明要写方差的单位，通常就将它省略。 知识点二 标准差 ★1、标准差：方差的非负平方根叫做标准差，记作，即 ， 【注意】（1）标准差的单位与原始数据的单位相同，实际中也常用它度量数据的波动程度； （2）方差与标准差反映了一组数据波动的大小，即一组数据偏离平均数的程度； （3）一组数据越接近于它们的平均数，方差与标准差就越小，这时平均数就越具有代表性； （4）只有当一组数据中所有的数都相等时，方差与标准差才可能为零。 知识点三 极差与平均差（补充） ★1、极差：一组数据中最大值与最小值的差，称为这组数据的极差。 在反映数据波动程度的各种量中，极差是最简单、最便于计算的一个量。但是它仅仅反映了数据的波动范围，没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大。 ★2、平均差：每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，即 这个式子可以用来度量数据的波动程度，我们把它叫做这组数据的平均差。 题型一 方差的理解与运用 解题技巧提炼 1、方差是用来衡量一组数据离散程度的统计量。如果一组数据，,…, ，它们的平均数++…+ )，方差的计算公式。 2、如果一组数据中的每一个数据都加上或减去相同的非零常数，那么这组数据的方差不变。 3、当数据具有对称性时，可以简化计算。例如，数据1，3，5，7，9，其平均数为5。由于数据关于5对称，(1-5)2=(9-5)2=16，(3-5)2=(7-5)2=4，(5-5)2=0，这样计算方差就会相对简单。 1．数据：a，1，2，3，6的平均数为3，则这组数据的方差是（    ） A．12 B． C．14 D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：D． 2．若一组数据的方差与另一组数据的方差一样大，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：数据的平均数为，方差为， ∵两组数据的方差一样大， ∴数据的方差为， 数据的平均数为， ∴方差为， 整理得，， 令，则上述式子化简为：， 解得，， ∴当时，，不符合题意；当时，； ∴的值为， 故选：B ． 3．已知一组数据、、、的平均数是2，方差为2，那么另一组数，，，的平均数和方差分别是（    ） A．3，2 B．3，7 C．3，8 D．2，3 【答案】C 【解析】解：、、、的平均数是2， ，，，的平均数为， 、、、的方差为2， ，，，的方差为， 故选：C． 4．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【答案】D 【解析】解：甲的平均数为：， 故甲的方差为：； 当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2； 当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小； 当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大； 所以的值可能是185． 故选：D． 5．若一组数据，，，的方差为9，则数据，，，的方差为 ． 【答案】36 【解析】解：设一组数据，的方差， 则另一组数据，的， 故答案为：36． 6．用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 【答案】9 【解析】解：由题意知，这组数据分别为5、7、9、m、n，且平均数为6， ， ， 故答案为：9． 题型二 利用方差判断稳定性 解题技巧提炼 方差是衡量数据离散程度的统计量。数据的方差越小，说明数据越集中在平均数附近，数据的稳定性就越高；方差越大，数据越分散，稳定性就越低。 1．为了解甲，乙两种甜玉米产量的情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进试验，得到的各试验田每公顷的产量绘制统计图如图，下列判断正确的是（    ） A．甲种甜玉米平均产量大 B．乙种甜玉米平均产量大 C．甲种甜玉米产量波动大 D．乙种甜玉米产量波动大 【答案】C 【解析】从图中看到，甲，乙两种甜玉米平均产量相近，甲种甜玉米产量的波动比乙的波动大． 故选：C． 2．甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ． 【答案】丙 【解析】解：∵他们一周测试成绩的平均数相同，且，，． ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 3．团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 ． 【答案】甲 【解析】解：∵，，， ∴， ∴应选甲， 故答案为：甲． 4．某校体育队的4名学生（①、②、③、④）参加训练，近期的8次百米测试平均成绩都是秒，方差如下表所示，这4名学生中发挥最稳定的是 （填序号）． 选手 ① ② ③ ④ 方差 0.103 0.089 0.035 0.042 【答案】③ 【解析】解：∵4名学生的平均成绩都是秒，方差， ∴发挥最稳定的是③号． 故答案为：③ 5．某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)8，8，8，10(2)2，(3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析 【解析】（1）解：甲的平均成绩是（环）， 乙的平均成绩是（环）， 甲成绩的中位数是（环）， 乙成绩的众数是10环． 故答案为：8，8，8，10． （2）解：； ． （3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 6．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 小宇的作业： 解： 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 (1)______，______； (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线； (3)①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）． ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【答案】(1)4，6；(2)见解析(3)①乙；②乙将被选中． 【解析】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：4；6； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①观察统计图可知，甲的成绩波动比乙的成绩波动大，故乙的成绩比较稳定； 故答案为：乙； ② ， 从平均数来看，两人的平均数相同，从方差来看，乙的方差小于甲的方差，即乙的成绩比甲稳定，因此应选择乙，即乙被选中． 题型三 标准差的理解与求值 解题技巧提炼 标准差是方差的算术平方根。 ①先求出数据的平均数； ②求出每个数据与平均数的差的平方； ③计算方差； ④求方差的算术平方根得到标准差。 1．已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准差是 ． 【答案】 【解析】解：由题意得： 解得： 方差 ∴标准差 故答案为：． 2．小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意知，， 则， ． 故答案为． 3．数据5，6，7，8，9的标准差是 ． 【答案】 【解析】解：数据5、6、7、8、9的平均数为， 方差为， 标准差． 故答案为：． 4．标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差是，则其标准差为，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3． 已知：一组数据的方差计算公式为：．现给定一组数据：，，，，，则这组数据的标准差为 ． 【答案】 【解析】解：一组数据：，，，，，平均数为：， ∴ ∴标准差为 故答案为：． 5．已知一组数据1，2，8，x，7，4的众数为2，则x的值是 ，这组数据的标准差是 ． 【答案】 【解析】解：∵1，2，8，x，7，4的众数为2， ∴， ∴这组数据的平均数是， 则方差为 ． ∴标准差为； 故答案为：，． 6．已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ． 【答案】 【解析】解：设原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了，则平均数变为， 则原数据的方差， 现在的方差， ， ∴数据的标准差为， 故答案为：． 题型四 极差的理解与求值 解题技巧提炼 1、极差是一组数据中的最大值与最小值的差。它是描述数据离散程度的最简单的统计量。 2、如果数据比较简单，能够直接看出最大值和最小值，就可以直接计算极差。 当数据比较混乱时，先对数据进行排序可以更方便地找出最大值和最小值。 1．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高（单位：）为：10、16、9、17、19，则这组数据的极差是（） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】解：这组数据的最大值为19，最小值为9，所以这组数据的极差为， 故选：C． 2．若一个样本的极差为83，取组距为10，则可以分成（　　） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 【答案】B 【解析】解：这组数据的极差为83， ， 所以可以分9组． 故选：B． 3．下面是2024年某市某周发布的该周每天的最高温度：，，，，，，．关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．众数是24 B．中位数是24 C．平均数是20 D．极差是7 【答案】A 【解析】解：众数是，故A选项正确，符合题意； 将数据按从小到大排列为：、、、、、、， 故中位数为：，故B选项错误，不符合题意； 平均数为，故C错误，不符合题意； 极差是：，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 4．一组数据：，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ． 【答案】2.8 【解析】解：∵数据：，2，2，5，5的极差是4， 或， 或6， 当时，这组数据的平均数是， 方差， 当时，这组数据的平均数是， 方差， ∴这组数据的方差为， 故答案为：． 5．一组数据、、、、的极差是，求的值． 【答案】或 【解析】解： ， 为这组数据的最大值或最小值． 当为这组数据的最大值时，为这组数据的最小值， 根据题意，可得， 解得； 当为这组数据的最小值时，为这组数据的最大值， 根据题意，可得，解得； 综上所述，的值为或． 6．数据2，，4，2，8，5的平均数为6，这组数据的极差为 ． 【答案】13 【解析】解:根据题意得： 解得： 极差：， 故答案为13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 28.4表示一组数据波动程度的量 知识点一 方差 ★1、方差：设有个数据, ,…, ,它们的平均数为，那么这个数与平均数的平方分别是，它们的平均数叫做这个数的方差，记作，即 ，记作 【注意】方差的单位为数据的单位的平方；如未指明要写方差的单位，通常就将它省略。 知识点二 标准差 ★1、标准差：方差的非负平方根叫做标准差，记作，即 ， 【注意】（1）标准差的单位与原始数据的单位相同，实际中也常用它度量数据的波动程度； （2）方差与标准差反映了一组数据波动的大小，即一组数据偏离平均数的程度； （3）一组数据越接近于它们的平均数，方差与标准差就越小，这时平均数就越具有代表性； （4）只有当一组数据中所有的数都相等时，方差与标准差才可能为零。 知识点三 极差与平均差（补充） ★1、极差：一组数据中最大值与最小值的差，称为这组数据的极差。 在反映数据波动程度的各种量中，极差是最简单、最便于计算的一个量。但是它仅仅反映了数据的波动范围，没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大。 ★2、平均差：每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，即 这个式子可以用来度量数据的波动程度，我们把它叫做这组数据的平均差。 题型一 方差的理解与运用 解题技巧提炼 1、方差是用来衡量一组数据离散程度的统计量。如果一组数据，,…, ，它们的平均数++…+ )，方差的计算公式。 2、如果一组数据中的每一个数据都加上或减去相同的非零常数，那么这组数据的方差不变。 3、当数据具有对称性时，可以简化计算。例如，数据1，3，5，7，9，其平均数为5。由于数据关于5对称，(1-5)2=(9-5)2=16，(3-5)2=(7-5)2=4，(5-5)2=0，这样计算方差就会相对简单。 1．数据：a，1，2，3，6的平均数为3，则这组数据的方差是（    ） A．12 B． C．14 D． 2．若一组数据的方差与另一组数据的方差一样大，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知一组数据、、、的平均数是2，方差为2，那么另一组数，，，的平均数和方差分别是（    ） A．3，2 B．3，7 C．3，8 D．2，3 4．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 5．若一组数据，，，的方差为9，则数据，，，的方差为 ． 6．用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 题型二 利用方差判断稳定性 解题技巧提炼 方差是衡量数据离散程度的统计量。数据的方差越小，说明数据越集中在平均数附近，数据的稳定性就越高；方差越大，数据越分散，稳定性就越低。 1．为了解甲，乙两种甜玉米产量的情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进试验，得到的各试验田每公顷的产量绘制统计图如图，下列判断正确的是（    ） A．甲种甜玉米平均产量大 B．乙种甜玉米平均产量大 C．甲种甜玉米产量波动大 D．乙种甜玉米产量波动大 2．甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ． 3．团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 ． 4．某校体育队的4名学生（①、②、③、④）参加训练，近期的8次百米测试平均成绩都是秒，方差如下表所示，这4名学生中发挥最稳定的是 （填序号）． 选手 ① ② ③ ④ 方差 0.103 0.089 0.035 0.042 5．某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 6．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 小宇的作业： 解： 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 (1)______，______； (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线； (3)①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）． ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 题型三 标准差的理解与求值 解题技巧提炼 标准差是方差的算术平方根。 ①先求出数据的平均数； ②求出每个数据与平均数的差的平方； ③计算方差； ④求方差的算术平方根得到标准差。 1．已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准差是 ． 2．小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 3．数据5，6，7，8，9的标准差是 ． 4．标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差是，则其标准差为，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3． 已知：一组数据的方差计算公式为：．现给定一组数据：，，，，，则这组数据的标准差为 ． 5．已知一组数据1，2，8，x，7，4的众数为2，则x的值是 ，这组数据的标准差是 ． 6．已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ． 题型四 极差的理解与求值 解题技巧提炼 1、极差是一组数据中的最大值与最小值的差。它是描述数据离散程度的最简单的统计量。 2、如果数据比较简单，能够直接看出最大值和最小值，就可以直接计算极差。 当数据比较混乱时，先对数据进行排序可以更方便地找出最大值和最小值。 1．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高（单位：）为：10、16、9、17、19，则这组数据的极差是（） A．8 B．9 C．10 D．11 2．若一个样本的极差为83，取组距为10，则可以分成（　　） A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 3．下面是2024年某市某周发布的该周每天的最高温度：，，，，，，．关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．众数是24 B．中位数是24 C．平均数是20 D．极差是7 4．一组数据：，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ． 5．一组数据、、、、的极差是，求的值． 6．数据2，，4，2，8，5的平均数为6，这组数据的极差为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$