第3章 一次方程与方程组（高效培优单元测试·强化卷）数学沪科版2024七年级上册

第3章 一次方程与方程组（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程的解是的方程是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各方程： A．左边，右边，即左边右边，故成立，符合题意； B．左边，右边，即左边右边，故不成立，不符合题意； C．左边 ，右边 ， 左边 ≠ 右边，不成立，不符合题意； D．左边，右边，即左边右边，故不成立，不符合题意． 故选A． 2．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．或 【答案】C 【详解】解：由一元一次方程的特点得， 即，或， 解得：或． 故选：C． 3．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A：若，则或，但不成立； B：若，两边同乘6，得，而非； C：若，当时成立，但a可能为0，故不一定成立， D：若，则两边同乘，得，成立． 故选D． 4．《九章算术》中阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买牛，人出九，盈六；人出七，不足八．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买牛肉，每人出9元，还盈余6元；每人出7元，则还差8元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个物品的价格是元，由题意得， 故选：A． 5．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 6．文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【答案】B 【详解】解：设盈利的一台的进价为x元，亏本的一台的进价为y元， 根据题意得，， 解得，， ∴（元）， ∴这次出售中文具店赔了5元， 故选：B． 7．关于的方程与方程的解相同，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D．0 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 关于的方程与方程的解相同， 将代入，得， ∴， 解得， 故选：C． 8．如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，这7个数的和不可能是（    ） A．70 B．91 C．126 D．154 【答案】C 【详解】解：设“工”字圈中最中间的数为，则另外几个数为， 根据题意得：这7个数的和为． A，当时， 解得：，最中间的数为10的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为70，故不符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为13的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为91，故不符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为18的“工”型图案右边没有数字，故和不能为126，故符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为22的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为154，故不符合题意； 故选：C． 9．在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 小佳看错后的方程为，且解得， ∴ 代入得， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 10．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位．问有多少间宿舍？若设有x间宿舍，则可列方程 ． 【答案】 【详解】解：设有x间宿舍， 根据题意得：， 故答案为：． 12．已知方程组的解也是关于x，y的方程的一个解，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解：方程组， 把②代入①得：， 解得：，代入①中得，， 解得：， 把，代入方程得，， 解得：． 故答案为：． 13．两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【详解】解：方程组可化为：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：； ∴方程组的解为． 故答案为：． 14．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则 ， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则 ． 【答案】 或 【详解】解：（）解方程，得；解方程，得， ∵与是“差解方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （）解方程，得；解方程，得， ∵方程与方程是“差解方程”， ∴， 即， 解得或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：方程组整理，得， ②①，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故原方程组的解为． 16．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序解决问题： (1)若输入x的值为5，求输出的值． (2)若输出的值为5，求输入x的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：由题意得， 即， 解得． 17．小聪在解方程时，步骤如下： ①去分母，得． ②去括号，得． ③移项，得． ④合并同类项，得． ⑤系数化为1，得． (1)小聪的解答过程有错误，从第______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，第①步开始出错； 故答案为：①； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 19．小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 【详解】（1）解：如图所示： 长方形的宽相等， 则， 解得； （2）解：铺设木地板面积为 ； 铺设地砖面积为 ； 答：铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米． 20．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 21．如图，这是用棋子摆成的“T”字图案．从图案中可以看出，第1个“T”字图案需要5枚棋子，第2个“T”字图案需要8枚棋子，第3个“T”字图案需要11枚棋子． (1)照此规律，摆成第5个“T”字图案需要 枚棋子； (2)摆成第n个“T”字图案需要 枚棋子； (3)若有6077枚棋子能摆成“T”字图案吗？若能请求出是第几个“T”字图案，若不能请说明理由． 【详解】（1）解：∵第1个“”字图案需要枚棋子， 第2个“”字图案需要枚棋子， 第3个“”字图案需要枚棋子， 第4个“”字图案需要枚棋子， ∴第5个“”字图案需要枚棋子， 故答案为：17； （2）解：∵第个“”字图案需要枚棋子， 第个“”字图案需要枚棋子， 第个“”字图案需要枚棋子， ， ∴第个“”字图案需要棋子的数量为， 故答案为：； （3）解：由得，n为正整数， ∴能摆成“T”字图案，是第2025个“T”字图案． 22．为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度不超过300度的部分 0.6 超过300度的部分 0.8 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 +15 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小明家某月用电量为x度（），请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为148元，请求出小明家12月份的用电量． 【详解】（1）解：， 小明家用电量最多的是六月份，实际用电量为（度）； （2）当时，小明家该月的电费为：元； 当时，小明家该月的电费为：元； （3）（元），（元）， 小明家12月份的用电量超过200度，不足300度， 设小明家12月份的用电量为y度，根据题意得： ， 解得， 小明家12月份的用电量为280度． 23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴发现：在数轴上，为原点，点A,B表示的数分别是和，点在点的右边（即），则A,B两点之间的距离（即线段AB的长）可表示为． 【问题情境】如图1，数轴上点表示的数，点表示的数，线段的中点表示的数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】根据“背景知识”和“问题情境”解答下列问题． (1)填空： ①A，B两点之间的距离________________，线段的中点表示的数____________． ②秒后，点表示的数为________________，点表示的数为____________．（用含的代数式表示） (2)求当为何值时，点运动到点，并求出此时点所表示的数． (3)若点向左运动到达点后，再立即以同样的速度返回点，点向右运动到达终点后，M，N两点都停止运动．在此运动过程中，当为何值时，M，N两点间的距离为4？ 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：当点运动到点时，，解得，   此时点所表示的数为； （3）解：当点到达点时，此时； 当点到达点时，则，解得； M，N两点相遇时，此时． 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得； 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得； 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，当或时，M，N两点间的距离为4． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一次方程与方程组（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程的解是的方程是（） A． B． C． D． 2．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．或 3．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．《九章算术》中阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买牛，人出九，盈六；人出七，不足八．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买牛肉，每人出9元，还盈余6元；每人出7元，则还差8元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 6．文具店有两种不同品牌的地球仪．某天这两种地球仪都以60元的价格各售出一台．其中一台盈利，一台亏本，则文具店（　　） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 7．关于的方程与方程的解相同，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D．0 8．如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，这7个数的和不可能是（    ） A．70 B．91 C．126 D．154 9．在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 10．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位．问有多少间宿舍？若设有x间宿舍，则可列方程 ． 12．已知方程组的解也是关于x，y的方程的一个解，则a的值为 ． 13．两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 14．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则 ， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则 ． 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解方程： (1)； (2)． 16．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序解决问题： (1)若输入x的值为5，求输出的值． (2)若输出的值为5，求输入x的值． 17．小聪在解方程时，步骤如下： ①去分母，得． ②去括号，得． ③移项，得． ④合并同类项，得． ⑤系数化为1，得． (1)小聪的解答过程有错误，从第______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 18．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 19．小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 20．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 21．如图，这是用棋子摆成的“T”字图案．从图案中可以看出，第1个“T”字图案需要5枚棋子，第2个“T”字图案需要8枚棋子，第3个“T”字图案需要11枚棋子． (1)照此规律，摆成第5个“T”字图案需要 枚棋子； (2)摆成第n个“T”字图案需要 枚棋子； (3)若有6077枚棋子能摆成“T”字图案吗？若能请求出是第几个“T”字图案，若不能请说明理由． 22．为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度不超过300度的部分 0.6 超过300度的部分 0.8 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 +15 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)若小明家某月用电量为x度（），请用含x的代数式表示小明家该月的电费． (3)若小明家12月份的电费为148元，请求出小明家12月份的用电量． 23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴发现：在数轴上，为原点，点A,B表示的数分别是和，点在点的右边（即），则A,B两点之间的距离（即线段AB的长）可表示为． 【问题情境】如图1，数轴上点表示的数，点表示的数，线段的中点表示的数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】根据“背景知识”和“问题情境”解答下列问题． (1)填空： ①A，B两点之间的距离________________，线段的中点表示的数____________． ②秒后，点表示的数为________________，点表示的数为____________．（用含的代数式表示） (2)求当为何值时，点运动到点，并求出此时点所表示的数． (3)若点向左运动到达点后，再立即以同样的速度返回点，点向右运动到达终点后，M，N两点都停止运动．在此运动过程中，当为何值时，M，N两点间的距离为4？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $