18.4 整数指数幂- 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“整数指数幂”，涵盖负整数指数幂的定义、运算性质及科学记数法，通过正整数指数幂除法运算导入，推导负指数定义，搭建从正指数到负指数的知识支架，衔接旧知。 其亮点在于培养抽象能力与运算能力，通过推导过程发展推理意识，提供多种解题方法，结合中考题和实际应用增强应用意识。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

18.4 整数指数幂 第十八章 分式 知识点 负整数指数幂 知1－讲 1 1. 负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，a－n＝ (a ≠ 0). 这就是说，a－n(a ≠ 0)是an的倒数. a－n＝ 知1－讲 2. 负整数指数幂的推导 若m，n 为正整数，a ≠ 0，则am÷am+n= = . 又因为am÷am+n=am-(m+n)=a-n，所以a-n= ． 知1－讲 说明 负整数指数幂运算结果的符号的确定方法与正整数指数幂相同，即对于a-n，当a<0时， 当a>0时，a-n>0. 知1－讲 特别解读 当指数为负整数或0时，一定要保证底数不为0. 知1－练 例 1 计算：＋|－4|＋(－1)0－＝_________. 解题秘方：根据实数的运算法则进行计算. 解： ＋|－4|＋(－1)0－＝3＋4＋1－4＝4. 4 知1－练 1-1.[中考·贵州]计算：|-3|-2-1×6+ . 解：原式=3-×6+2=3-3+2=2. 知2－讲 知识点 负整数指数幂 1 名称 式子表示 同底数幂的乘法 am·an＝am＋n(m，n是整数a≠ 0) 幂的乘方 (am)n＝amn(m，n是整数a≠ 0) 积的乘方 (ab)n＝anbn(n是整数ab≠ 0) 同底数幂的除法 am÷an＝am－n(m，n是整数a≠ 0) 商的乘方 ()n= (n 是整数，ab≠ 0). 知2－讲 说明 因为 am÷an=am·a-n，()n=(a·b-1)n，所以同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法，商的乘方可以转化为积的乘方.这样，整数指数幂的运算性质可以合并为表格中的前3条. 知2－讲 拓宽视野 负整数指数幂的常用结论： (1)an 与a-n(a≠ 0)互为倒数； (2)()-n=()n(a≠0，b ≠ 0); (3) = (a≠0,b≠0). 知1－练 计算： (1)a-4÷a3； (2)()-3； (3)(2a－2)3b2÷4a－8b3； (4)(3x2y－1)－2·(2x－2y3)2； 解题秘方：利用整数指数幂的运算性质计算，要注意：当所给式子含有负整数指数幂时，先不要将它化为正整数指数幂的形式，而是根据整数指数幂的运算性质计算，最后将结果化为正整数指数幂的形式. 例 2 (1)a-4÷a3； (2)()-3； 知1－练 解：a-4÷a3=a-4-3=a-7= . 方法一(商的乘方)()-3= =x-6y9= ； 方法二(积的乘方)()-3=(x2·y-3)-3=x-6y9= ； 方法三(负整数指数幂)()-3= =() 3= ． 知1－练 (3)(2a－2)3b2÷4a－8b3； (4)(3x2y－1)－2·(2x－2y3)2； 解：(2a－2)3b2÷4a－8b3＝8a－6b2÷4a－8b3＝2a2b－1＝； (3x2y－1)－2·(2x－2y3)2＝x4y2·4x－4y6＝x0y8＝ y8 ； 知1－练 2-1. 计算： (1)x-3·x； (2)a-2b3·(a2b-2)-3； 解：原式=x-3+1=x-2=; 原式=a-2b3·a-6b6=a-8b9=； 知1－练 (3)(2ab2c- 3)- 2 ÷(a-2b)3； (4)()- 2· ()- 3÷(- )- 4 . 解： 原式=a-2b-4c6÷a-6b3=a4b-7c6=; 解原式=(x2y-1)-2·(y2x-1)-3÷(-yx-1)-4=x-4y2·y-6x3÷x4y-4= x-1y-4÷x4y-4=x-5y0=. 知2－讲 知识点 用科学记数法表示小于1 的正数 3 1. 一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1 ≤ a<10，n是正整数. 知2－讲 2. 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 10的指数是负数 (1)确定a a是大于或等于1且小于10的数. (2)确定n 方法一：n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0) 方法二：小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几. (3)表示数 将原数用科学记数法表示为a×10－n的形式(其中1 ≤ a＜10，n是正整数). 知2－讲 拓展 对于大于-1的负数也可以用科学记数法表示， 如-0.000 042=-4.2×10-5， 即绝对值小于1的非零数都可以用科学记数法表示成 a×10-n的形式(其中1≤|a|<10,n是正整数)． 知2－讲 特别解读 科学记数法是一种记数方法，不改变此数的性质和大小.用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示结果也应带有单位. 知2－练 用科学记数法表示下列各数： (1)0.000 003；(2)－0.000 020 8；(3)0.000 000 004 67. 解题秘方：按照科学记数法的要求，将各数写成a×10－n 的形式，其中1 ≤ |a|＜ 10，n是正整数. 例 3 n是原数中左起第一个不 为0 的数字前面0 的个数 知2－练 解：(1)0.000 003＝3×10－6； (2)－0.000 020 8＝－2.08×10－5； (3)0.000 000 004 67＝4.67×10－9. 知2－练 3-1. 前沿科技 集成电路为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12 nm的光刻机难题，其中12 nm=0.000 000 012 m，则12 nm 用科学记数法表示为___________m. 1.2×10-8 知2－练 将下列用科学记数法表示的数还原成原数. (1)6×10－4； (2)－7.2×10－5； (3)5.68×10－6. 解题秘方：把用科学记数法表示的绝对值小于1 的数还原时，指数的绝对值是几，小数点就向左移动几位. 例 4 解：6×10－4＝0.000 6； －7.2×10－5＝－0.000 072； 5.68×10－6＝0.000 005 68. 知2－练 4-1. 把下列用科学记数法表示的数还原： (1)7.2×10－5； (2)－1.5×10－4. 解：7.2×10－5＝0.000 072； －1.5×10－4＝－0.000 15. 知2－练 计算： (1)(2×105)×(8×10－9)； (2)(8×10－7)2÷(2×10－3)3. 解题秘方：先计算乘方，再计算乘除. 例 5 知2－练 (1)(2×105)×(8×10－9) 解：(2×105)×(8×10 -9 )=(2×8)×(105×10-9)=16×10 -4= 1.6×10 -3； 知2－练 (2)(8×10－7)2÷(2×10－3)3. 解：(8×10－7)2÷(2×10－3)3 ＝(64×10－14)÷(8×10－9) ＝(64÷8)×(10－14÷10－9) ＝8×10－5. 知2－练 5-1. 计算： (1)(5.2×10- 9)÷(-4×103)； (2)(3×10-4)2×(2×10-6)3. 解：原式=［5.2÷(-4)］×(10-9÷103)=-1.3×10-12; 原式=(9×10-8)×(8×10-18)=(9×8)×(10-8×10-18)= 72×10-26=7.2×10-25. 整数指数幂 整数 指数幂 科学记数法 负整数指数幂 运算性质 应用 a-n=(a≠0) am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn 题型 求幂中字母的值 1 已知3m= ，()n=16，求mn 的值. 例 6 解题秘方：将等式两边都用幂的形式表示，对比底数和指数求出m，n 的值，进而求出有关m，n 的代数式的值. 解：因为3m==3-3，所以m=-3. 因为()n=16=24= = ()-4，所以n=-4. 所以mn=(-3)-4= = . 教你一招 解这类题目时，要先从不含待定字母的一边入手变形，将两边化为同底数或同指数的形式，对比底数和指数然后构造方程，并通过解方程确定指数或底数中待定字母的值. 题型 化简含负整数指数幂的分式 2 [母题 教材P163 习题T6]计算： 例 6 解题秘方：用化负为正法，即将负整数指数幂转化成原底数的倒数的正整数指数幂进行计算. 解法提醒 将负整数指数幂先化成正整数指数幂，再计算. (1)； 解： = ==-； (2)() -2÷() -1. 解：() -2÷() -1=[ ]-2÷[]-1 =(x-2)-2·= = . 方法点拨 底数为多项式的幂的运算方法： 能进行因式分解的，一定要先将多项式分解因式，然后将底数化为最简分式或整式；在运用整数指数幂的性质计算时，相同的因式看作整体进行幂的运算；最终结果要化成正整数指数幂的形式. 题型 求幂中字母的值 3 [期末•上海普陀区]某品牌喷墨打印机的耗材数据显示，每打印1 页文档，平均消秏墨量约0.000 025 L，某公司一周平均约打印500页办公文档，那么一周该打印机约消耗_____________L墨(結果用科学记数法表示). 例 8 1.25×10 -2 解题秘方：计算一周总消耗墨量，需将每页消耗墨量乘以周打印页数. 解：每页消耗墨量为0.000025 L，即2.5×10-5 L；周打印页数为500页，即5×102页.总消耗墨量为(2.5×1 0-5)×(5×102)=(2.5×5)×(10-5×102)=12.5×10-3= 1.25×10-2( L)． 要点解读 用科学记数法表示的数的运算可以看成单项式的运算. 易错点 计算负整数指数幂时出现符号错误 1 若a=-3-2，b=(- )-2，c=(- )0，则a，b，c的大小关系为( ) A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. c<a<b 例 9 错解：a=-3-2= = ，b=(- )-2= =-9，c=(- )0=1， 因为-9< <1，所以b<a<c，故选C. 正解：a=-3-2=- =- ，b=( - )-2= =9，c= (- )0=1， 因为- <1<9，所以a<c<b.答案：B 诊误区： 计算负整数指数幂时，如果底数是负数，计算时要将“-”号放在括号里参与计算；如果“-”号在底数外面，计算时不考虑该“-”号，最后的结果要加上它. 考点 利用负整数指数幂进行简单计算 1 [中考•潍坊]计算：(-2)0-3-1=______. 例 10 试题评析：本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质是解题的关键. 解：(-2)0-3-1=1- = . 考点 利用整数指数幂的运算性质计算 2 [中考· 济宁]计算(a2)3+a2·a3-a2÷a-3，结果是( ) A. 2a5-a B. 2a5- C. a5 D. a6 例 11 试题评析：本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算性质. 解：(a2)3+a2·a3-a2÷a-3=a6+a5-a5=a6. D 考点 用科学记数法表示小于1的正数 3 [中考·河南] 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢. 数据“0.000 074”用科学记数法表示为( ) A. 0.74×10-4 B. 7.4×10-4 C. 7.4×10-5 D. 74×10-6 例 12 试题评析：本题考查用科学记数法表示具体问题中小于1 的正数，一般形式为a×10 -n，其中1 ≤ a<10，n 为正整数，关键是确定a 和n 的值. 解：0.000074 =7.4×10 -5. 答案：C 1. 下列运算正确的是( ) A.(-3)-2=9 B.24÷20=8 C.(5×10-3)×(4×10-2)=2×10-4 D.(-2×102)-3=8×10-6 C 2. 前沿科技 人形机器人 2025 年4 月19 日， 全球首场人形机器人半程马拉松赛在北京举行. 人形机器人的发展是科学技术进步的结果，比如人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.8 微米，即不超过0.000 000 8 米，将0.000 000 8 用科学记数法表示应为( ) A. 0.8×106 B. 0.8×10-6 C. 8×10-7 D. 8×10-8 C 3. [新视角 新定义题]定义一种新运算：若a ≠ 0，则有a ▲ b=a-2+ab+ -b ，那么- ▲ 2的值是( ) A.-3 B.5 C.- D. B 4. [中考·河北]若7-2×7-1×70=7p，则p 的值为______． 5. [母题 教材P163 习题T7]已知x+x-1=2， 则x8+x-8= ______. 6.[期末·邵阳武冈市]已知我国研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒. 已知1 皮秒等于1×10-12 秒，那么这个工具1 秒可以擦除_________次(结果用科学记数法表示). 7. [新趋势学科内综合中考·重庆]若实数x，y 同时满足x-|y|=2，|x|-y=4，则xy 的值为_______. －3 2 2.5×109 8. [母题 教材P162 习题T3]计算： (1)5a-5b2·(2ab-1)2； (2)(m3n)-2·(2m-2n-3)-2； (3)(m2n-3 )2·(- m-2n)-1. 解：原式=5a-5b2·4a2b-2=20a-3b0=； 原式=m-6n-2·m4n6=m-2n4=; 原式=m4n-6·(-3m2n-1)=-3m6n-7=-. 9. [新考法 整体代入法]已知10a=20，10b=5-1，求9a÷32b 的值. 解：因为10a=20,10b=5-1, 所以=10a-b==100,即10a-b=102. 所以a-b=2. 所以9a÷32b=(32)a÷32b=32a÷32b=32(a-b)=32×2=81. $