第26章 二次函数（复习课件）数学华东师大版九年级下册

单元复习课件 第26章 二次函数 华东师大版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能理解二次函数概念、掌握图象与性质的知识点的梳理，能根据二次函数图象和性质解决几何图形、双图象等问题的综合探究。 3.在运用二次函数的性质和图象过程中，逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想和方程思想，发展实践能力和创新精神.。 2.能运用二次函数的图象和性质分析解决一元二次方程与二次函数、一次函数与二次函数的综合应用以及二次函数中的最大问题。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：二次函数的概念： 1.定义：一般地，形如　 (a，b，c是常数，　 　)的函数，叫做二次函数． 2.[注意] (1) 等号右边必须是整式；(2) 自变量的最高次数是 2；(3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数． 考点二：二次函数的图象与性质： 1.反比例函数的图象：二次函数的图象是一条　 ，它是　 对称图形，其对称轴平行于_____轴. 2.二次函数的表达式：(1) 一般式：____________________；(2) 顶点式：____________________；(3) 交点式： . y＝ax2＋bx＋c a ≠ 0 抛物线 轴 y y = ax2 + bx + c (a≠0) y = a(x - h)2 + k (a≠0) y = a(x - x1)(x - x2) (a≠0) 考点串讲 考点二：反比例函数的图象与性质： 4. 二次函数的平移：一般地，上下左右平移二次函数 y＝ax2 的图象可得到二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象． [注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减． y＝ax2 上、下平移 y＝ax2 左、右平移 左、右平移 上、下平移 上、下移且左、右移 考点串讲 5. 二次函数的图象与性质： 二次函数 y = a(x − h)2 + k y = ax2 + bx + c 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 a＞0 时开口向上 a＜0 时开口向下 x = h (h，k) y最小 = k y最小= y最小 = k y最小= 在对称轴左边 x↗y↘ ，在对称轴右边x↗y↗ 在对称轴左边 x↗y↘ ，在对称轴右边x↗y↗ 考点串讲 6.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系： b2-4ac 的符号 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根 不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0 x2 x1 x y x1= x2 x y O y x x1，x2 x1 = x2 = 没有实数根 x＜x1 或 x＞x2 x ≠ x1 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 考点串讲 题型一、求抛物线的顶点、对称轴、最值 【例题1】抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_______． 【解析】 方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为 (1，2)． 方法二：代入公式 ， ，则顶点坐标为(1，2)． 【练习1】对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象，下列叙述正确的是 ( ) A. 顶点坐标为 (－3，2) B. 对称轴为 y＝3 C. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而减小 (1，2) C 题型剖析 题型二、二次函数图象和性质及函数值大小比较 【例题1】二次函数 y＝-x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　) A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≤y2 D. y1＞y2 【练习1】下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = x2 B. y = x - 1 C. D. y = -3x2 B 【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大. ∵ x1＜x2＜1，∴ y1＜y2. D 题型剖析 题型三、求二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0) 的图象与系数 a，b，c 的关系 【例题1】已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　 B．2　　　　　C．3　　　 D．4 D ①abc＞0 解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确. ②2a－b＜0 由对称轴 x＞－1 可得 2a－b＜0，故②正确. ③4a－2b＋c＜0 由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限可得 4a－2b＋c＜0，故③正确. 题型剖析 题型三、求二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0) 的图象与系数 a，b，c 的关系 【练习1】已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( ) A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1 D 解析：∵二次项系数为－1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为 由题意知，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线 x = 1 的左侧. 题型剖析 题型四、抛物线的几何变换 【例题1】将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－5 B 【解析】因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. 故选 B. 题型剖析 题型四、抛物线的几何变换 【练习1】若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 【练习2】将抛物线 y＝x2－6x＋11向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－5 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－5 B B 题型剖析 题型五、二次函数表达式的确定 【例题1】已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为 10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.求这个二次函数的表达式. 解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得 解得 a = 2，b = -3，c = 5. ∴ 所求的二次函数表达式为 y = 2x2 - 3x + 5. 待定系数法 题型剖析 题型五、二次函数表达式的确定 【练习1】已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y =－x2－3x + 7 的形状相同，顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式. 解：由题意，得 a = ±1. 又∵ 顶点在直线 x = 1 上，且到 x 轴的距离为 5， ∴ 顶点为 (1，5) 或 (1，－5). ∴ 表达式可为： (1) y = (x－1)2 + 5； (2) y = (x－1)2－5； (3) y =－(x－1)2 + 5；(4) y =－(x－1)2－5. 题型剖析 题型六、二次函数值与一元二次方程 【例题1】若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（　　） A．x1 = 0，x2 = 6 B．x1 = 1，x2 = 7 C．x1 = 1，x2 = -7 D．x1 = -1，x2 = 7 D 解析：∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3， ∴ = 3，解得 m = －6. ∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2－6x－7 = 0， 即 (x + 1)(x－7) = 0，解得 x1 = －1，x2 = 7． 故选 D． 题型剖析 题型六、二次函数值与一元二次方程根的关系 【练习1】关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是_________. −<a<-2 解析：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根，∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0 解得：a＞−，∵实数根都在-1和0之间，∴-1＜−＜0，∴a＜−，如图， 且有当x=-1时，y<0，当x=0时，y<0 即y=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，y=-1＜0， 解得：a＜-2，∴−<a<-2 题型剖析 题型七、二次函数图象和坐标轴的交点问题 【例题1】若函数y=（m+1）x2−2x+0.5m的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为_______． 解析：解：∵函数y=(m+1)x2−2x+0.5m的图象与坐标轴有两个不同的交点， ①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1， 此时y=-2x-0.5，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况： 当抛物线经过原点时，y=0.5m=0，即m=0，此时y=x2−2x=x(x-2)， 则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)； 当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×0.5m=0，解得：m=-2或1． 综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点． -2或-1或0或1 题型剖析 题型七、二次函数图象和坐标轴的交点问题 【练习1】若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是_______． 解析：∵二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点， ∴分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点时，Δ=22−4−b=0，解得b=−1； ②当二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，b=0， ∴y=x2+2x=x（x+2），与x轴有2个公共点，为（−2，0）或（0，0）， 综上所述，b的值为−1或0． -1或0 题型剖析 题型七、二次函数图象和坐标轴的交点问题 【练习2】已知函数y=kx2−(k+2)x+2与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为_______． 解析：当k=0时，则y=−2x+2，在y=−2x+2中，当y=−2x+2=0时，x=1，即函数y=−2x+2与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当k≠0时，则当y=kx2−(k+2)x+2=0时，有(kx−2)(x−1)=0，解得x=或x=1， ∵函数y=kx2−(k+2)x+2与x轴的交点横坐标为正整数， ∴x=是正整数，∴是正整数，∴k=1或k=2； 综上所述，整数k的值为0或1或2， 0或1或2 题型剖析 题型八、二次函数与一次函数的综合应用 【例题1】已知一次函数y=−x+m2+1与二次函数y=−(x−m)2+m2+1（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (1)当 m=0时，求两个函数图象的交点坐标． 解析：（1）当m=0时，一次函数为y= −x+1，二次函数为 y=−x2+1， 联立方程组 y= −x+1，y=−x2+1， 解得 x1=0，y1=1或 x2=，y2=． ∴交点坐标为(0，1)或()； 题型剖析 题型八、二次函数与一次函数的综合应用 【例题1】已知一次函数y=−x+m2+1与二次函数y=−(x−m)2+m2+1（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围． 解析：（2）由 y=−x+m2+1，y=−（x−m）2+m2+1， 得 x2−（2m+）x+m2=0． ∵两个函数图象没有交点， ∴ Δ=（2m+）2−4m2<0， 得 m<−． 题型剖析 题型八、二次函数与一次函数的综合应用 【例题1】已知一次函数y=−x+m2+1与二次函数y=−(x−m)2+m2+1（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (3)如图，当 m=−1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点． ①当PQ∥y轴时，求PQ 的最小值； 解析：（3）当 m=−1时，一次函数为y=−x+2，二次函数为y=−(x+1)2+2， ①∵PQ∥y轴设P（a，−a+2） ，Q(a，−（a+1）2+2)， ∴PQ=−a+2−（−（a+1）2+2）=a2+a+1=（a+2+． ∴当 a=−时， PQ最小值=． 题型剖析 题型八、二次函数与一次函数的综合应用 【例题1】已知一次函数y=−x+m2+1与二次函数y=−(x−m)2+m2+1（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (3)如图，当 m=−1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点． ②当PQ∥x轴时，求 PQ的最小值． 解析：（3）当 m=−1时，一次函数为y=−x+2，二次函数为y=−(x+1)2+2， ②设 P（a，−a+2），Q(b，−（b+1）2+2)，∵PQ∥x轴，∴−a+2=−（b+1）2+2． ∴a=2b²+4b+2．∴PQ=a−b=(2b²+4b+2)−b=2b2+3b+2=2(b+)2+． ∴当 b=−时， PQ最小值=． 题型剖析 【例题1】已知：抛物线y=x2+m与直线y=x有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为a、b，若n=ab−2b2+2b+1，则n的取值范围_________. n<1.75 题型九、抛物线与直线交点的问题 解析：令x2+m=x，∴x2−x+m=0，∵抛物线y=x2+m与直线y=x有两个不同的交点， ∴Δ=（−1）2−4×1×m>0，∴m<1，∵两个交点的横坐标是分别为a、b， ∴a+b=1，ab=m，∴a=1−b， ∴n=ab−2b2+2b+1=3b（1−b）+1=3ab+1=m+1，∴3m=4n−4，∴m=， ∴m=<1， ∴n<1.75． 题型剖析 【练习1】如图，抛物线y=x2−7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是(　　) A．−<m<− B．−<m<− C．−<m<− D．−<m<− 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC=2，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线y=ax2−3x+2a≠0与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是_______． C 题型九、抛物线与直线交点的问题 3≤a<4或a≤-5 题型剖析 题型十、利用二次函数解决最大利润问题 【例题1】为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w（元）．据销售记录知： ①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤； ②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元， (1)当11≤x≤30时，写出y与x的关系式； 解析： （1）解：∵前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元， ∴当11≤x≤30时，y=500−10x−10=−10x+600， ∴当11≤x≤30时，写出y与x的关系式为：y=−10x+60011≤x≤30； 题型剖析 题型十、利用二次函数解决最大利润问题 【例题1】为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w（元）．据销售记录知： ①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤； ②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元， (2)当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？ 解析：（2）由题意得，销售量为：42+2x−1=2x+40， 当1≤x≤10时，w=5002x+40=1000x+20000，∵1000>0， ∴当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000， 当10＜x≤30时，w=y（2x+40）=（−10x+600）（2x+40）=−20（x−20）2+32000， ∵−20<0， ∴当x=20时，w取最大值为32000. 题型剖析 题型十、利用二次函数解决最大利润问题 【例题1】为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w（元）．据销售记录知： ①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤； ②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元， (3)若日销售额不低于31680元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款m元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求m的最小整数值． 解析：当10<x≤30时，w=−10x+6002x+40=−20（x−20）2+32000，当x=20时，w取最大值为32000，得：31680<32000，当−20（x−20）2+32000=31680时，解得：x=16或x=24，∴当w≥31680时，16≤x≤24，∴获得较大利润天数为9天，∴9m≥10800， 解得：m≥1200，∵m为整数，∴m的最小值为1200元． 题型剖析 题型十一、实际问题与反比例函数 【练习1】榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．（总利润=总销售额﹣总进价） (1)直接写出t、p、q的值； 解析：（1）解：∵当售价为15元时，销售量为200kg， ∴q=200×15=3000，∴此时进价为p=10×200=2000（元）， ∴p=2000；当总进价为2500元时，y1=y2，即利润为0，此时进价=售价， ∴t=10； 题型剖析 题型十一、实际问题与反比例函数 【练习1】榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．（总利润=总销售额﹣总进价） (2)分别求出y1，y2与x的关系式； 解析：（2）解：设y1=kx+b，把（10，2500），（15，2000）代入得，10k+b=2500，15k+b=2000，解得：k=−100，b=3500， ∴y1=−100x+3500；设y2=mx2+nx，把（10，2500），（15，3000）代入得：100m+10n=2500，225m+12n=3500，解得：m=−10，n=350， ∴y2=−10x2+350x； 题型剖析 题型十一、实际问题与反比例函数 【练习1】榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．（总利润=总销售额﹣总进价） (3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？ 最大利润是？ （3）解：设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元， 依题意得，w=y2−y1=−10x2+350x−（−100x+3500）=−10（x−22.5）2+1562.5， ∵−10<0，∴当x=22.5时，w有最大值，∴当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5． 题型剖析 题型十二、利用二次函数解决抛物线形的实际问题 【例题1】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽AB为20m，顶点M距水面8m（即MO=8m ），小孔顶点N距水面6m（即NC=6m），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； （1）解：由题意可得，A（−10，0）， M（0，8），设大孔抛物线的解析式为y=ax2+8， 把点A（−10，0）代入解析式得，100a+8=0， 解得a=−, ∴大孔抛物线的解析式为y=−x2+8； 题型剖析 题型十二、利用二次函数解决抛物线形的实际问题 【例题1】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽AB为20m，顶点M距水面8m（即MO=8m ），小孔顶点N距水面6m（即NC=6m），建立如图所示的平面直角坐标系． (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽6m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 把x=3代入y=−x2+8得，y=−×32+8=7.28>2+3， ∴该巡逻船能安全通过大孔； 题型剖析 题型十二、利用二次函数解决抛物线形的实际问题 【例题1】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽AB为20m，顶点M距水面8m（即MO=8m ），小孔顶点N距水面6m（即NC=6m），建立如图所示的平面直角坐标系． (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度EF= m． （3）解：∵NC=6，∴点F的纵坐标为6， ∴当y=6时，−x2+8=6，解得x1=−5，x2=5， ∴由抛物线对称性可得E（−5，6），F（5，6）， ∴EF=5−（−5）=10m， 答：大孔的水面宽度EF为10m． 题型剖析 题型十三、利用二次函数解决最大面积问题 【例题1】如图，用长为45m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2)． (1)求S与x的函数关系式及x的取值范围； (2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大 的花圃？ 解析：（1）根据题目数量关系得S=（45−3x）x=−3x2+45x， 根据题意0<45−3x，45−3x≤20，解得：≤x<15， ∴S=−3x2+45x(≤x<15)； 题型剖析 题型十三、利用二次函数解决最大面积问题 【例题1】如图，用长为45m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2)． (2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大 的花圃？ 解析：（2）由（1）得：S=−3x2+45x(≤x<15)， ∴S=−3（x2−15x+7.52）+， =−3（x−7.5）2+， ∵当x>7.5时，S随x的增大而减小，≤x<15， ∴当x=时，S有最大值为−3×（）2+45×=m2． 题型剖析 题型十三、利用二次函数解决最大面积问题 【练习1】问题情境:有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．特例分析: （1）当a=12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是多少m2；若按图②的方案设计， 则该方案中养鸡场的最大面积是多少m2． 解析：解：（1）如图①,设矩形的长为x米,则矩形的宽为（30-12x）米,面积为S,依题意得：S=x·（30-x）=-x2+30x=-(x−30)2+450,(x≤12) ∴当x=12时,矩形有最大值为288m2 .如图②, 设矩形的长为x米, 则矩形的宽为（36-x）米,依题意得：S=x·（36-x）=-(x−18)2+324, ∴当x=18时,矩形有最大值为324m2 题型剖析 题型十三、利用二次函数解决最大面积问题 【练习1】问题情境:有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．特例分析: （2）当a=20时，解决“问题情境”中的问题． 解析：（2）如图①，设AB=xm，则BC=（60−2x）m． S矩形ABCD=x（60−2x）=−2（x−15）2+450． 根据题意，得20≤x<30．因为−2<0，所以当20≤x<30时，S矩形ABCD随x的增大而减小．即当x=20时，S矩形ABCD有最大值，最大值是400（m2）. ②，设AB=xm，则BC=40−xm．S矩形ABCD=x（40−x）=−2（x−20）2+400． 所以当x=20时，S矩形ABCD有最大值，最大值是400m2. 题型剖析 1.当m=________时，函数y=(m2+m)xm2−2m−1是关于x的二次函数． 2.二次函数y=(k−1)x2−k的图象开口向________． 3. 已知y=（m+2）x|m|+4x+3m+1是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A．±2 B．2 C．−2 D．0 4. 若二次函数y=kxk2−2k−1+1有最小值，则k=________． 已知二次函数y=ax2−2ax（a≠0）的图象上有两点A（m，y1），B（2m，y2），若y1>y2>0，则当m<x<2m时，函数（     ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 3 下 B 3 B 针对训练 5.二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，图象过点−1,0，对称轴为直线x=2，抛物线与y轴交点在A（0，1）和B（0，2）之间（不与AB重合）．下列结论：①abc>0；②9a+c>3b；③4a+b=0；④当y>0时，−1<x<5；⑤a的取值范围为−0.4<x<−0.2．其中正确结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：根据抛物线的开口方向、与y轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线x=2，即可判断③；由抛物线与x轴有两个交点，且对称轴为直线x=2，即可判断④．由抛物线与y轴交点在A0,1和B0,2之间（不与AB重合）．判断⑤； B 针对训练 6.如图，二次函数y1=ax2+bx+ca≠0的图象与一次函数y2=kx+mk≠0的图象相交两点，则二次函数y=（k−b）x2+ax+c−m的图象可能为（     ） A． B． C． D． A 针对训练 7.如图，已知抛物线y=ax2−6x+c（a、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B(−1,0)两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线y=x+1交于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有得合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． A 解析：（1）∵点B的坐标为(−1,0)，AB=4，点A在点B左侧，∴点A的坐标为(−5,0)， 将A(−5,0)，B(−1,0)代入y=ax2−6x+c． 25a+30+c=0，a+6+c=0，解得：a=−1，c=−5， ∴抛物线的函数表达式为y=−x2−6x−5； 针对训练 7.如图，已知抛物线y=ax2−6x+c（a、c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B(−1,0)两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线y=x+1交于点E． (2)在抛物线上是否存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有得合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． A （2）解：在抛物线上存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形． 由y=−x2−6x−5=−（x+3）2+4得抛物线的对称轴为直线x=−3，∴D（−3，0），∵抛物线的对称轴与经过点B的直线y=x+1交于点E，∴当x=−3时，y=−2，∴点E的坐标为(−3,−2)，则DE=BD=2，∴∠ABE=∠BED=45°. 当∠EBP=90°时，则∠ABP=45°，过点P作PQ⊥OA于点Q， 点P的坐标为(−4,3)；点P的坐标为(0,−5)或(−5,0)． 针对训练 8.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC=2，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线y=ax2−3x+2a≠0与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______________． ∵∠ACB=90°，AC=BC=2，且AC在x轴上，O为AC的中点， ∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°， ∴直线AB与y轴的交点为（0，1），设直线AB的解析式为y=kx+1，∴-k+1=0，解得k=1，∴直线AB的解析式为y=x+1， ∵抛物线y=ax2−3x+2a≠0与线段AB有两个不同的交点， ∴x+1=ax2−3x+2有两个不相等实数根，∴ax2−4x+1=0有两个不相等实数根， ∴(−4)2−4a＞0，解得a＜4；当a＞0时，a−3+2≥2a+3+2≥0， ∴a≥3，∴3≤a＜4，当a＜0时，a−3+2≤2a+3+2≤0， ∴a≤-5，∴3≤a＜4或a≤-5，故答案为：3≤a＜4或a≤-5． 3≤a＜4或a≤-5 针对训练 9.某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润； 解析：（1）解：设y=kx+b， 由题意知，图象过（30，120），（45，75）两点， ∴120=30k+b，75=45k+b，解得k=−3，b=210， ∴y=−3x+210， 当y=78时，−3x+210=78，解得x=44， 利润为：78×44−15=2262（元）， ∴当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润2262元； 针对训练 9.某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示． (2)每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 解析：（2）解：由题意得，−3x+210≥18，解得x≤64， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得，W=（x−15）（−3x+210）=−3x2+255x−3150 =−3（x−42.5）2 +2268.75， ∵−3<0，∴当x=42.5时，W取最大值，最大值为2268.75， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是42.5元，最大利润为2268.75元； 针对训练 9.某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示． (3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于45元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（1≤n≤7），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 解析：（3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元）， 依题意得，Q=（x−15−n）（−3x+210）=−3x2+（255+3n）x−3150−210n， ∵抛物线的对称轴为直线x=42.5+0.5n，−3<0， ∴当x≤42.5+0.5n时，Q随x的增大而增大． ∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于45元， ∴42.5+0.5n≥45，解得n≥5，又∵1≤n≤7，∴5≤n≤7． 针对训练 10.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长x（米），总占地面积为y（米2）． （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． 解析：（1）由题意可知y=⋅x=−x2+x． ∵>0，∴x<46 ∴自变量x的取值范围为0<x<46． 针对训练 10.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长x（米），总占地面积为y（米2）． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．①求总占地面积最大为多少米2？ 解析：（2）①由题意可知y=⋅x=−x2+16x=−(x−24)2+192 ∴当x=24米时，y有最大值，最大值为192米2． 针对训练 10.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长x（米），总占地面积为y（米2）． （2）②如图3所示，离墙10米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？ 解析：②由题意可知≤10，解得x≥18，由①可知x=24米时，饲养室面积最大，且满足x≥18，∴当x=24时，=8， ∴饲养室的门口与小路的间隔为10−8=2米. 针对训练 二次函数 图象画法 抛物线的开口方向 抛物线的顶点坐标和对称轴 二次函数的性质 抛物线的平移 最值 确定 表达式 应用 课堂总结 感谢聆听! $