解答题01 三角函数、三角恒等变换与解三角形（专项训练，6大题型+高分必刷）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题01 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形是高中数学的重要内容。高考主要考查三角函数的图象及应用、三角函数的性质及应用、三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查,多以选择题和填空题的形式出现，难度中等。解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档. 题型一： 三角恒等变换与三角函数 【例1】（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)若，求的值； (2)若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1.（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 2．（2025·北京东城·二模）已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 【例2】（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．（2025·辽宁朝阳二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长. 2．（2025·北京大兴二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 题型三：三角形的面积 【例3】（2025·北京房山·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 正弦定理与外接圆半径的关系可通过构造三角形外接圆并利用圆周角定理进行推导‌ 其核心推导过程为：在任意三角形△ABC的外接圆中，作直径AD并连接DB，通过圆周角定理和三角函数关系，最终得出a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。‌ ‌构造辅助图形‌：以△ABC的外接圆圆心O为中心，作直径AD并连接DB。此时△ABD为直角三角形（直径所对的圆周角为直角），且∠D与∠C对应同一段弧AB，因此∠D = ∠C；‌ ‌建立三角函数关系‌：在Rt△ABD中，sinD = AB/AD = c/(2R)，而∠D = ∠C，故sinC = c/(2R)，整理得c/sinC = 2R； ‌推广至各边角‌：同理可证a/sinA = 2R、b/sinB = 2R，从而得到正弦定理的一般形式a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。‌ 1．（2025·四川攀枝花·一模）的内角所对的边分别为,且满足. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积. 2.（2025·北京海淀·模拟预测）在中，，，______. 从①，②，③，这三个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答： (1)求； (2)求c以及的值. 题型四：解三角形中边长或周长最值范围 【例4】（2025北京西城·模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 1.余弦定理结合不等式:首先，利用余弦定理构造方程，然后通过基本不等式(如均值不等式)求解。例如，余弦定理公式为 C=a+b-2abcos C。结合三角形三边关系 a+b>c,b+c> a，a+c> b，可以进一步推导周长的取值范围。 2.正弦定理结合三角函数:步骤:利用正弦定理将边长转化为角度的正弦值，然后利用正弦函数的值域求解。正弦定理公式为=。=通过将边长表示为角度的正弦函数，可以利用正弦函数的值域来求解周长的取值范围。 技巧: 均值不等式:在求解过程中，均值不等式 a+b≥2ab是常用的不等式工具，可以帮助简化计算和推导。 极限思想:在处理边界情况时，极限思想可以帮助理解周长取值的极限情况，例如当一边无限接近0时，周长可以无限接近但无法达到某个特定值‌ 1.（2025·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 2．（2025·天津·开学考试）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 题型五：解三角形中面积最值问题 【例5】（2025·北京房山预测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值． 方法一:余弦定理+基本不等式a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取=) 方法二:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式‌ 1.（2025·北京石景山·一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图象可由的图象平移得到； ③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值． 2．（2025·山东菏泽二模）已知△ABC的内角A、B、C满足. (1)求角A； (2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值. 题型六：三角形的角平分线、中线、垂线 【例6】（2025·北京延庆·模拟预测）在中，，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：边上的中线； 条件③：的周长为． 1.利用高线的性质: 在直角三角形中，高线就是直角边，可以直接利用勾股定理计算边长。在非直角三角形中，高线常用于计算面积和利用直角三角形的性质进行计算。 2.利用中线的性质: ·中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，常用于通过已知条件求出未知边的长度。 三条中线交于一点(重心)，可以利用重心性质简化计算。 3.利用角平分线的性质: ·角平分线上的点到角的两边的距离相等，常用于证明两线段相等或构造全等三角形。在等腰三角形中，角平分线、中线和高线重合，可以利用这一性质简化计算。 1.利用高线计算面积:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过高线计算面积:S=absinC 2.利用中线求边长:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过中线求第三边长:c2=a2+b2-2abcos C. 3.利用角平分线证明全等:在△ABC和ADEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB = DE则可以通过角平分线的性质证明△ABC≌ADEF‌ 1．（2025·北京西城·一模）在中，角的对边分别为. (1)求的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 2.（2025·北京顺义·一模）在中，． (1)求b； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：； 条件②：边上中线的长为； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 1.（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：是的一个零点． 2．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 4．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 5．（2025·北京延庆·一模）在中，，. (1)求b； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积. 条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 6．（2025·北京海淀·期末）在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 7．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 8．（2025·北京西城·一模）在中，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 9．（2025·北京·模拟预测）在△ABC中，． (1)求B的值； (2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i）求的值； （ii）求∠ABC的角平分线BD的长． 10．（2025·北京密云·一模）在中，，，分别是角，，的对边，并且． （Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答． （Ⅱ）求的最大值． 1．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 2．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 5．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题01 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形是高中数学的重要内容。高考主要考查三角函数的图象及应用、三角函数的性质及应用、三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查,多以选择题和填空题的形式出现，难度中等。解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档. 题型一： 三角恒等变换与三角函数 【例1】（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)若，求的值； (2)若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 【解题指导】（1）代入求出的值. （2）利用表格中数据求出对称轴及可能对称中心，进而求出，再利用正弦函数单调性求出增区间. 【规范答题】（1）由，得，而， 所以. （2）函数， 由表格中数据知，是函数图象的对称轴，对称中心可能为或， 又所给取值在函数的一个周期内，则周期，， 则或，解得或， 则或，而，因此，， 由，得，又，则， 所以的解析式是； 由，得， 所以的单调递增区间是. 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1.（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【解题指导】（1）借助二倍角公式化简，根据不成立说明不能选择条件①.若选条件②或③，结合函数的对称性及特殊点的函数值可得结果. （2）结合正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【解】（1）由题意得， . 若选条件①：因为是图象的对称轴，所以，不可能满足， 所以不能选择条件①； 若选条件②：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，当时，取到最小值， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. 若选条件③：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. （2）由（1）知，， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故实数m的最大值为 2．（2025·北京东城·二模）已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解题指导】（1）根据三角恒等变换将解析式变形为，根据三角函数的性质可得最小值，即可求解； （2）由，即可求解，可得；若选择条件①：由已知可得，，求解函数的对称轴，将和代入可知函数存在且不唯一；若选择条件②：根据单调区间可得，将点代入，可得，根据的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解；若选择条件③：由可知，再根据可知或，结合的范围即可求解，根据的范围结合三角函数的图象与性质即可求解. 【解】（1） ， 因为的最小值为，所以，所以； （2）因为，所以，解得， 所以， 若选择条件①：函数的图象的对称轴为， 所以，所以，， 因为，所以，， 所以，即， 因为，故，且，对应的满足题意， 所以函数存在且不唯一； 若选择条件②：因为在区间上单调，所以， 所以，又，所以， 因为的图象关于点对称，所以， 所以，所以， 所以，解得，因为，所以，即， 所以，此时当时，， 故在上单调减，故符合题设要求. 因为，所以， 所以，所以； 若选择条件③：因为的最小正周期，所以， 所以，又，所以， 因为，所以， 所以或， 所以或， 当时，，因为，所以，此时， 当时，，因为，所以不存在满足不等式的，此时无解，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以. 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 【例2】（2025·北京朝阳·一模）在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解题指导】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值； （2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长. 【规范答题】（1）由正弦定理及 得． 所以． 所以． 又因为，所以． 所以． （2）选条件①：因为，且， 所以． 因为，所以．所以． 又因为，所以． 所以． 又，所以． 所以的周长为． 选条件②：因为边上的高为，所以． 又因为，所以． 所以． 因为，所以． （1）当时，由，得． 又，所以． 所以． 所以的周长为． （2）当时，由，得． 又，所以，不符合题意． 综上，的周长为． 选条件③： 由余弦定理，可得，即。 解得或，此时不唯一，不符合要求. 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．（2025·辽宁朝阳二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长. 【解题指导】（1）利用正弦定理结合两角差的余弦公式化简可得出，结合角的取值范围可求得结果； （2）由三角形面积公式可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，进而可得的周长. 【规范答题】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得 ，，， 所以可化为， 因为，所以，又， 所以， 所以，又，所以， 所以，所以； （2）由题意可得，则， 因为，所以 ，又，所以， 联立，，解得， 由余弦定理可得，得， 所以的周长为. 2．（2025·北京大兴二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【解题指导】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案； （2）由正弦定理可求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理即可得出答案. 【规范答题】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 题型三：三角形的面积 【例3】（2025·北京房山·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解题指导】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出余弦值进而得出角； （2）选择条件①三角形不存在；选择条件②应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理及余弦定理计算求出边长，最后应用面积公式计算；选择条件③先应用正弦定理得出，再应用余弦定理得出，最后应用面积公式计算. 【详解】（1）由正弦定理， 得. 所以. 所以. 因为，所以. 所以.所以. （2）选条件①：，， 由余弦定理，得. ，不存在； 选条件②：. 由，可得. 由正弦定理，得. 由余弦定理，得 ，整理得. 解得，或（舍）. 所以的面积. 条件③：. 因为，且，所以. 由余弦定理，得. 解得，或（舍） 所以的面积. 正弦定理与外接圆半径的关系可通过构造三角形外接圆并利用圆周角定理进行推导‌ 其核心推导过程为：在任意三角形△ABC的外接圆中，作直径AD并连接DB，通过圆周角定理和三角函数关系，最终得出a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。‌ ‌构造辅助图形‌：以△ABC的外接圆圆心O为中心，作直径AD并连接DB。此时△ABD为直角三角形（直径所对的圆周角为直角），且∠D与∠C对应同一段弧AB，因此∠D = ∠C；‌ ‌建立三角函数关系‌：在Rt△ABD中，sinD = AB/AD = c/(2R)，而∠D = ∠C，故sinC = c/(2R)，整理得c/sinC = 2R； ‌推广至各边角‌：同理可证a/sinA = 2R、b/sinB = 2R，从而得到正弦定理的一般形式a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。‌ 1．（2025·四川攀枝花·一模）的内角所对的边分别为,且满足. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积. 【解题指导】（1）由及正弦定理得 从而 ,利用诱导公式结合,可求出的值；（Ⅱ）由正弦定理得 ，再由余弦定理及，配方化简可得，由三角形面积公式可得结果. 【规范答题】（Ⅰ）由及正弦定理得 从而  即 又中,    ∴. （Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得 再由余弦定理,及 得∴的面积. 2.（2025·北京海淀·模拟预测）在中，，，______. 从①，②，③，这三个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答： (1)求； (2)求c以及的值. 【解题指导】（1）选择①，由，得，矛盾；选择②，由正弦定理化边为角求出，即可求出；选择③，由化简可求出. （2）选择②，由余弦定理求出，再结合面积公式即可求解；选择③，求出，由正弦定理求出，再结合面积公式即可求解. 【规范答题】（1）选择①，在中，由，得，而，则，矛盾， 所以这样的不存在. 选择②，由及正弦定理得， 则，于是，解得， 所以. 选择③，，而， 则，即， 又，所以， 故. （2）选择②，由余弦定理得， 即，而，解得， 所以. 选择③，， 由正弦定理，则， 所以. 题型四：解三角形中边长或周长最值范围 【例4】（2025北京西城·模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 【解题指导】（1）利用正弦的两角和公式化简得，可得，即可得解； （2）利用余弦定理结合已知条件计算可得，再利用三角形面积公式计算即可. （3）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解. 【规范答题】（1）根据， 可得， 所以，因为，所以； （2）由（1）可知，，根据余弦定理， 因为，则，即， 又因为，所以，解得， 所以的面积； （3）因为，所以， 所以，， 所以的周长 ， 因为，所以，所以， 所以. 1.余弦定理结合不等式:首先，利用余弦定理构造方程，然后通过基本不等式(如均值不等式)求解。例如，余弦定理公式为 C=a+b-2abcos C。结合三角形三边关系 a+b>c,b+c> a，a+c> b，可以进一步推导周长的取值范围。 2.正弦定理结合三角函数:步骤:利用正弦定理将边长转化为角度的正弦值，然后利用正弦函数的值域求解。正弦定理公式为=。=通过将边长表示为角度的正弦函数，可以利用正弦函数的值域来求解周长的取值范围。 技巧: 均值不等式:在求解过程中，均值不等式 a+b≥2ab是常用的不等式工具，可以帮助简化计算和推导。 极限思想:在处理边界情况时，极限思想可以帮助理解周长取值的极限情况，例如当一边无限接近0时，周长可以无限接近但无法达到某个特定值‌ 1.（2025·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 【解题指导】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换得出，根据为锐角三角形可求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【规范答题】（1）因为，即， 因为为锐角，故，所以， 由余弦定理可得，故. （2）因为，由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 2．（2025·天津·开学考试）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 【解题指导】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【规范答题】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. （3）由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 题型五：解三角形中面积最值问题 【例5】（2025·北京房山预测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若D为AB中点，且，求面积的最大值． 【解题指导】（1）利用正弦定理及可求出，利用诱导公式可求； （2）利用余弦定理和基本不等式求出，即可求出面积的最大值. 【规范答题】（1）在中，对于， 利用正弦定理得： ∵，∴. ∵，且 ∴， ∴. （2）由（1）.在中， ∴ ∴（当且仅当时取等号，此时，）. ∴ ∴. 方法一:余弦定理+基本不等式a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取=) 方法二:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式‌ 1.（2025·北京石景山·一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图象可由的图象平移得到； ③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值． 【解题指导】（1）分析条件中的矛盾之处，判断后求解 （2）先求出的值，再由余弦定理与面积公式，利用基本不等式求最值 【规范答题】（1）（1）分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③， 由③知，则 故 （2），由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立 又，故面积最大值为 2．（2025·山东菏泽二模）已知△ABC的内角A、B、C满足. (1)求角A； (2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值. 【解题指导】（1）将，转化为，再由余弦定理求解； （2）根据△ABC的外接圆半径为1，得到，再利用余弦定理结合基本不等式求得，再由求解. 【规范答题】（1）解：因为， 所以， 即， 所以， 因为， 所以； （2）因为△ABC的外接圆半径为1， 所以， 由余弦定理得， ， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 故△ABC的面积S的最大值是. 题型六：三角形的角平分线、中线、垂线 【例6】（2025·北京延庆·模拟预测）在中，，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：边上的中线； 条件③：的周长为． 【解题指导】（1）由正弦定理化边为角，得出关系，从而求得角； （2）由（1）得，又， 选①，无解； 选②，利用余弦定理求出后可得三角形面积； 选③，由已知求得与的关系，然后由周长得三边长，从而得三角形面积． 【规范答题】（1）因为， 由正弦定理可得．        所以，或． 因为，所以不满足题意舍去， 所以，所以．   所以． （2）选条件①：，由（1），，但，矛盾，三角形无解； 选条件②：因为边上的中线．    由（1）可知，，． 所以   由余弦定理可得 ． 解得 ． 所以． 选条件③：的周长为．                   由（1）可知，，． 所以 , ， 所以.                               解得.                                                 所以． 1.利用高线的性质: 在直角三角形中，高线就是直角边，可以直接利用勾股定理计算边长。在非直角三角形中，高线常用于计算面积和利用直角三角形的性质进行计算。 2.利用中线的性质: ·中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，常用于通过已知条件求出未知边的长度。 三条中线交于一点(重心)，可以利用重心性质简化计算。 3.利用角平分线的性质: ·角平分线上的点到角的两边的距离相等，常用于证明两线段相等或构造全等三角形。在等腰三角形中，角平分线、中线和高线重合，可以利用这一性质简化计算。 1.利用高线计算面积:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过高线计算面积:S=absinC 2.利用中线求边长:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过中线求第三边长:c2=a2+b2-2abcos C. 3.利用角平分线证明全等:在△ABC和ADEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB = DE则可以通过角平分线的性质证明△ABC≌ADEF‌ 1．（2025·北京西城·一模）在中，角的对边分别为. (1)求的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 【解题指导】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可. （2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得有两解，不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可. 【规范答题】（1）在中因为， 由正弦定理得， 所以，即， 又因为，，所以，. （2）设边上的高为， 条件①：因为，所以 ，， 所以，根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一确定. 所以， 则，解得，即边上的高为. 条件②：由余弦定理得，即， 解得，此时满足条件的的三角形有两个，条件②不符合题意. 条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定， 由余弦定理得，即，解得， 则，解得，即边上的高为. 2.（2025·北京顺义·一模）在中，． (1)求b； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：； 条件②：边上中线的长为； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解题指导】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）根据题目要求可知只能选择条件②或③，根据余弦定理求解，即可根据三角函数的性质求解正弦，进而由面积公式即可求解. 【规范答题】（1）因为， 在△中，由正弦定理，可得：， 又因为， 所以. （2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件① 选择条件② 设边上的中线为，则，， 在△中，由余弦定理得： ， 因为，，所以， 所以△的面积为. 选择条件③ 方法1： 由题设，因为，所以， 因为，所以 因为，所以，所以， 由余弦定理可得：， 整理得，解得（舍）， 因为，，所以， 所以△的面积为. 方法2：由题设，因为，所以， 因为，所以 在△中，因为，所以，即，所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以△的面积为. 方法3：因为且， 所以或， 因为，所以， 又因为， 所以即， 所以△为等腰三角形，设边上的高为，则， 由勾股定理， 所以△的面积为. 1.（2025·北京海淀·二模）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：是的一个零点． 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式化简，再代入的值，即可得到函数解析式，再由正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再根据所选条件，得到方程，求出的取值（集合），即可得到函数解析式，从而求出函数的最小正周期. 【详解】（1）因为 ， 当时，，则， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得； 若选①：，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上， 则，所以，解得， 又，所以， 则，所以的最小正周期为； 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值， 则，所以，解得， 又，所以， 则，所以的最小正周期为； 若选③：是的一个零点， 则，所以，解得， 又，所以或， 当时，，所以的最小正周期为； 当时，，所以的最小正周期为； 则函数唯一，不符合题意. 2．（2025·北京海淀·三模）在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）法一：由正弦定理及已知可得，再由三角形内角的性质、诱导公式、和角正弦公式并整理得，进而求角的大小；法二：由余弦边角关系及已知得，再由余弦定理求角的大小； （2）根据所选条件，综合运用正余弦定理、三角形面积公式求边上中线的长． 【详解】（1）法一：由正弦定理及，得， 因为， 所以，整理得． 因为，所以，所以，又，所以． 法二：由余弦定理，，代入得：． 整理得：，所以，又，所以． （2）选条件①：取的中点，连接， 由正弦定理及，得， 因为，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件③：取的中点，连接，由正弦定理及，得， 因为的面积为，所以，即， 又，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件②：由，知， 在中，由余弦定理知，， 若，则，该等式恒成立， 即不唯一，不符合题意． 3．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解； （2）由正弦定理求得，再结合余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得． 由，得，故， 所以． （2）由正弦定理得，，即． 由余弦定理得，， 即，解得或（舍）． 所以， 故． 4．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. （2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 5．（2025·北京延庆·一模）在中，，. (1)求b； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积. 条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解； （2）若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同角三角函数关系，以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，因为， 再由 可得. 所以，即， 所以. 因为，所以. （2）选择条件①：，，， 由余弦定理得，， 因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形； 选择条件②： 在中，设点为的中点，则，， 中，根据余弦定理 解得，所以，所以， 因为，所以为锐角三角形， 所以， 在中，. 选择条件③：在中，为锐角三角形， 因为，所以， 所以，，，所以， 所以，所以，解得或舍. 所以，所以为锐角三角形， 所以， 在中，. 6．（2025·北京海淀·期末）在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【分析】（1）选条件①时，直接利用余弦定理的应用求出a的值；选条件②时，利用正弦定理的应用求出a的值；选条件③时，由于出现与已知条件中三角形有一解相矛盾，故舍去. （2）选条件①时，利用勾股定理证明为直角三角形，可求出三角形的面积； 选条件②时，利用三角函数的关系式求出，应用三角形面积公式的求出结果． 【详解】（1）（1）选择条件①， ，由于，， 所以，解得； 选择条件②， ，由于，， 由正弦定理，. 选择条件③， ，由正弦定理，得， 此时或，三角形不唯一，不合题意． （2）选择条件①， ，由，则，满足， 故为直角三角形，所以； 选择条件②， ，在中，， 所以. 7．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解； （2）根据三角形面积可得，再根据等面积法可得角分线长度. 【详解】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 8．（2025·北京西城·一模）在中，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值； （2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件①，不符合要求； 选择条件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求出边上的高； 选择条件③；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得出边上的高为，求解即可； 【详解】（1）由正弦定理，且， 得，即． 由，得．所以． 由，得，所以． （2）选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减， 故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立. 选择条件②：由，且，得． 由余弦定理，得， 解得或（舍）． 设边上的高为，则三角形面积， 所以． 选择条件③：由，且，得． 由，且，得． 所以． 由正弦定理，得，所以边上的高． 9．（2025·北京·模拟预测）在△ABC中，． (1)求B的值； (2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i）求的值； （ii）求∠ABC的角平分线BD的长． 【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值； （2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求； （ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长． 【详解】（1）由题设， 而， 所以，故； （2）若①②正确，则，得或， 所以①②有一个错误条件，则③是正确条件， 若②③正确，则，可得，即②为错误条件， 综上，正确条件为①③， （i）由，则，即， 又，可得， 所以，可得，则， 故； （ii）因为且，得， 由平分得， 在中，， 在中，由，得． 10．（2025·北京密云·一模）在中，，，分别是角，，的对边，并且． （Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答． （Ⅱ）求的最大值． 【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出，若选择①，②，根据余弦定理求出，然后根据面积公式可求得结果；若选择①，③，根据正弦定理和余弦定理求出及与的关系，根据面积公式可求得结果；若选择②，③，根据正弦定理求出，再根据面积公式可求得结果； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，通过三角函数恒等变换化简得，利用正弦函数的单调性即可求解. 【详解】（Ⅰ）， 由余弦定理知，， ，． 选择①②： ， ，即，解得或（舍负）， 则的面积； 选择①③： 由正弦定理知，， ，， ， ， 由构成的方程组，解得，， 则的面积． 选择②③： 由正弦定理知，， ，， 则的面积． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ， ， ， ，， ，， 故的最大值为1． 1．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 2．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 3．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 4．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 5．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1），则由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得， 设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， ， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为： . 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $