9.1随机抽样专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十单元　随机抽样 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025全国二卷]样本数据2,8,14,16,20的平均数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.8 B.9 C.12 D.18 2.[2025复旦附中期末]在以下调查中,适合用普查的是(　　) A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的寿命 C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况 3.[2025绵阳中学期末]①在一次满分为100分的测试中,有12人的成绩在90分以上,30人的成绩在60~80分,12人的成绩低于60分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②一顾客抽奖,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为(　　) A.①分层随机抽样,②简单随机抽样 B.①简单随机抽样,②简单随机抽样 C.①简单随机抽样,②分层随机抽样 D.①分层随机抽样,②分层随机抽样 4.[2025哈师大附中高一期末]某地区有1 000家商铺,其中大型商铺50家,中型商铺100家,其余为小型商铺,为调查营业情况,现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本,则应抽取大型商铺(　　) A.33家 B.20家 C.5家 D.10家 5.[2024云南师大附中高一月考]总体由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成,从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下,则选出来的第5个个体的编号为(　　) 66　06　58　61　54　35　02　42　35 48　96　21　14　32　52　41　52　48 A.54 B.21 C.14 D.32 6.[2025佛山一中高一期末]为调查学生的体育达标情况,用简单随机抽样的方法,了解全校2 506名学生的体育达标情况,抽取100名学生作为样本,第i名(i=1,2,3,…,100)学生的体育达标情况记为变量值xi=则xi表示的含义为(　　) A.全校学生体育达标的人数 B.全校学生体育达标率的估计值 C.全校学生体育达标率 D.样本学生体育达标的人数 7.[2025南昌十中高一月考]某中学选派270名学生参加市广播体操比赛,其中高一108人,高二、高三各81人,现要在比赛前抽取10人检验训练熟练度,考虑选用简单随机抽样、分层随机抽样两种方法,将学生按高一、高二、高三依次统一编号为1,2,…,270.如果抽到的号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 则不可能为分层随机抽样的是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 8.[2025烟台一中期中改编]某市在启用智能系统DeepSeek后,为评估DeepSeek的使用效果,随机抽取了200名用户进行满意度调查及满意度评分(满分为10分),并按用户年龄分为四组,得到如下数据,则下列说法正确的是(　　)  年龄分组 18~30岁 31~45岁 46~60岁 61岁及以上 样本人数 80 60 40 20 满意度评分平均数 8.5 7.5 6.5 5.5 A.样本中年龄在18~45岁的用户满意度评分的平均数约为9 B.样本中年龄在31岁及以上的用户满意度评分的平均数约为6.5 C.全体样本的满意度评分的平均数为7 D.若增加61岁及以上组的样本人数(满意度评分平均数不变),其他组数据不变,则全体样本的满意度评分平均数会降低 多项选择题 9.某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2 500人,中部地区的学生有1 500人,西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作为样本调查饮食习惯,为保证调查结果相对准确,下列说法正确的有(　　) A.用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 B.用分层随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 C.样本容量是100 D.这次抽样中,西部地区学生小刘被选中的可能性比中部地区学生小张被选中的可能性大 10.[2025陕西省商洛市高一期末]某学校调查学生对学校食堂意见情况,该学校分高一、高二、高三三个年级,统计可得这三个年级的人数之比为4∶3∶3.现用比例分配的分层随机抽样的方法从这些学生中抽取n名学生进行调研,若高一年级抽到80人,则(　　) A.高二年级抽到60人 B.高三年级抽到90人 C.n=200 D.抽到的高二与高三人数之和比高一人数多40 11.[2025绵阳中学期末]新高一学生会对物理、历史2门课程进行选科,每位学生从中选择1门课程进行学习.现对该校2 000名学生的选科情况进行了统计,如图1,并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取5%的学生对所选课程进行了满意率调查,如图2. 则下列说法正确的是(　　) A.满意率调查中抽取的学生人数为2 000 B.该校学生中对物理课程满意的人数约为720 C.若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32,则a=80 D.抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数 填空题 12.[2025西安一中高一月考]某班有55名学生,按男、女生比例进行分层随机抽样,从男、女生中分别抽取了6人和5人,则这个班男生比女生多　　　　人.  13.[2025芜湖一中高一期末]数据x1,x2,…,xn的平均数为1,则数据5x1+1,5x2+1,…,5xn+1的平均数为　　　　.  14.[2024南通中学阶段测试]采用按性别比例分配的分层随机抽样方法对某校共600名高三年级学生的身高(单位:cm)进行调查,估计得到该年级男生、女生和全体学生的平均身高分别为170.0 cm,160.4 cm,165.6 cm,则该年级的男生人数约为　　　　.  解答题 15.(13分)[2024上饶中学高一期末]为了评估某校的教学水平,将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察.为了全面反映实际情况,采取以下两种抽样方式(已知该校高三年级共有10个教学班,400名学生,并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号,假定每班人数都相同): 方式1:从全年级10个班中任意抽取一个班,考察他们的成绩; 方式2:把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别(若按成绩分,该校高三学生中优秀学生有60名,良好学生有180名,普通学生有160名),从中按比例抽取40名学生进行考察. 根据上面的叙述,试回答下列问题: (1)上面两种抽取方式中,其总体、个体、考察的变量分别是什么?每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分别是多少? (2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤. 16.(15分)[2024安阳一中高一期末改编]某英语老师负责甲、乙两个班的英语课,其中甲班有60名学生,乙班有48名学生,为分析他们的英语成绩,该老师计划用人数比例分配的分层随机抽样的方法抽取部分学生,统计他们英语考试的成绩,若乙班抽取了8人. (1)求计划抽取的学生人数; (2)该老师在甲班采用随机数表法抽取所需要的学生,为此将甲班学生随机编号为01~60,按照以下随机数表,以第2行第21列的数字4为起点,从左到右依次读取数据,每次读取两位随机数,重复的跳过,一行读完之后接下一行左端.求抽出的甲班学生的编号. 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 17.(15分)[2025云南省昭通一中教研联盟高一期末]A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的课外读书情况,通过比例分配的分层随机抽样获得了部分学生一周的课外读书时间,数据如下表(单位:小时): A班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 B班 6 6.5 7 7.5 8       C班 6 7 8 9 10 11 12   (1)求A班的学生人数; (2)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周课外读书的时间分别是8.25,7,9(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,求μ0和μ1,并比较μ0和μ1的大小. 18.(17分)[2025武汉外国语学校期末改编]某市环卫局在A,B两个小区分别随机抽取6户进行生活垃圾分类调研工作,依据住户情况对近期一周(7天)进行生活垃圾分类占用时间(单位:分)统计如下表: 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区 220 185 220 225 205 235 B小区 205 195 245 235 225 215 (1)分别计算A,B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值,以及A,B两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值. (2)如果两个小区住户均按照1 000户计算,小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运,市环卫局与两个小区物业及住户协商,初步实施下列方案: ①A小区方案:号召住户生活垃圾分类“从我做起”,每200户住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类,每位工作人员月工资按照3 000元(按照28天计算标准)计算,则每户住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少? ②B小区方案:为了方便住户,住户只需要将垃圾堆放在垃圾点,物业让专职人员进行生活垃圾分类,一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果,每位专职工作人员(每天工作8小时)月工资按照4 000元(按照28天计算标准)计算,则每户住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费用是多少? (3)市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月,根据实施情况,试分析哪个方案惠民力度大,值得进行推广? 19.(17分)[2024清华附中阶段测试改编]某大学A学院共有学生千余人,该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,按性别比例分层随机抽样,已知A学院男生与女生人数之比为16∶9,从该学院所有学生中抽取若干人作为样本,对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计,得到下表.  跑步里程s/km 0≤s<30 30≤s<60 60≤s<90 s≥90 男生人数 a 9 10 6 女生人数 6 6 4 2 (1)求a的值; (2)若已知A学院男生比女生多350人,求A学院学生人数; 参考答案 1.C　(2+8+14+16+20)=12. 2.D　普查是指对每一个调查对象都进行调查的方法,据此分析.A选项,每个批次生产的汽车的数量非常多,且调查汽车抗撞击能力具有破坏性,不适合使用普查,应使用抽样调查;B选项,调查一批LED灯的寿命具有破坏性,不宜使用普查,应使用抽样调查; C选项,某城市居民数量非常多,不适合使用全面普查,应使用抽样调查;D选项,调查一个班级学生的身高情况,一个班级学生人数较少,适合用普查. 3.A　对于①:考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当;对于②:总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当. 4.C　依题意,分层随机抽样的抽样比为=,所以应抽取大型商铺×50=5(家). 5.C　生成的随机数中落在编号01,02,…,39,40内的依次有06,35,02,35(重复),21,14,32,故选出来的第5个个体的编号为14. 6.B　由题意,xi表示样本中体育达标的人数,所以xi表示全校学生体育达标率的估计值. 7.D　设在高一、高二、高三分别抽取x,y,z人,则由分层随机抽样可知===,解得x=4,y=z=3,由题意可知,需要从高一编号1到108里抽取4个,从高二编号109到189里抽取3个,从高三编号190到270里抽取3个,所以④不符合题意. 8.D　A(✕)样本中年龄在18~45岁的用户满意度评分的平均数为≈8.07. B(✕)样本中年龄在31岁及以上的用户满意度评分的平均数为≈6.83. C(✕)全体样本的满意度评分的平均数为=7.5. D(√)由表格中的数据可知61岁及以上的满意度评分平均数较低,若增加该组人数,则低分的权重会增大,则全体样本的满意度评分平均数会降低. 9.BC　A(✕)B(√)因为各地区的饮食习惯各不相同,差异较大,所以用分层随机抽样更合适. C(√)从中选取100人作为样本,故样本容量是100. D(✕)采取分层随机抽样,每个学生被抽取的可能性均为=,故各地区学生被选中的可能性是相等的. 10.ACD　A(√)根据题意,已知高一、高二、高三人数之比为4∶3∶3,设抽取的高一、高二、高三人数分别为4x,3x,3x.因为高一抽到80人,即4x=80,解得x=20,所以高二抽到的人数为3x=3×20=60. B(✕)高三抽到的人数为3x=3×20=60. C(√)n=4x+3x+3x=10x=10×20=200. D(√)抽到的高二与高三人数之和为60+60=120,比高一人数多120-80=40. 11.BC　根据题意及题图1可知:该校2 000名学生中,选择物理的有2 000×60%=1 20(人),选择历史的有2 000×40%=80(人). A(✕)满意率调查中抽取的学生人数为2 000×5%=100. B(√)该校学生中对物理课程满意的人数约为1 200×60%=720. C(√)按比例分配进行分层随机抽样时,抽取的学生中,选择物理的有100×60%=6(人),选择历史的有100×40%=4(人),若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32,则a=×100=80. D(✕)因为a≤100,所以抽取的学生中对历史课程满意的人数为40×a%≤40,又因为抽取的学生中对物理课程满意的人数为60×60%=36,所以抽取的学生中对物理课程满意的人数与对历史课程满意的人数无法比较. 12.5　依题意,男、女生人数比为6∶5,所以这个班男生比女生多55×(-)=5(人). 13.6　依题意,x1+x2+…+xn=n,则5x1+1+5x2+1+…+5xn+1=5(x1+x2+…+xn)+n=6n,所以数据5x1+1,5x2+1,…,5xn+1的平均数为==6. 14.325　设该年级的男生人数约为x,则女生人数约为600-x,则·170.0+·160.4=165.6,即170x+600×160.4-160.4x=165.6×600,即9.6x=600×(165.6-160.4)=600×5.2,所以x==325. 15.【解析】 (1)两种抽取方式中,其总体都是高三全体学生,(1分) 个体都是高三年级每个学生,考察的变量是学生本学年的考试成绩.(3分) 第一种抽取方式中,抽取了一个班中40名学生本学年的考试成绩,样本容量为40;(4分) 第二种抽取方式中,分层并按比例抽取了40名学生本学年的考试成绩,样本容量为40.(5分) (2)方式1抽样的步骤如下: 第一步:将全年级10个班编号,编号为1,2,3,…,10. 第二步:将10个号码分别写在纸条上,并揉成团,制成号签. 第三步:将得到的号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀. 第四步:从容器中抽取1个号签,并记录上面的号码,对应上面的号码的班级就是抽取的班级.(7分) 方式2抽样的步骤如下: 第一步:确定优秀、良好、普通三个层次抽取的人数.因为样本容量与总体人数的比值为=, 所以每层抽取的人数依次为60×=6,180×=18,160×=16. 第二步:按层分别抽取样本,在优秀学生中用简单随机抽样法抽取6人,在良好学生中用简单随机抽样法抽取18人,在普通学生中用简单随机抽样法抽取16人. 第三步:将所抽取的学生组合在一起构成样本.(13分) 16.【解析】 (1)因为乙班48人抽取了8人,所以抽样比为=.(3分) 甲、乙两班共有60+48=108(人),所以计划抽取的学生人数为108×=18.(7分) (2)根据分层随机抽样的方法,需要在甲班抽取的人数为18×=1( 由(1)可得需要在甲班抽取的人数为18-8=10).(11分) 在随机数表中依次读取的编号为48,38,29,34,13,28,41,42,24,19,即为抽出的甲班学生的编号.(15分) 17.【解析】 (1)由题意知,抽出的2(由题表,8+5+7=20)名学生中,来自A班的学生有8名, 根据比例分配的分层随机抽样方法,可得A班的学生人数为100×=40.(5分) (2)抽出的样本中A班学生该周的课外阅读时间的平均数为=8.25,(7分) B班学生该周的课外阅读时间的平均数为=7,(8分) C班学生该周的课外阅读时间的平均数为=9,(9分) μ0=×8.25+×7+×9=8.2,(11分) μ1=×8.25+×7+×9=≈8.18,(14分) 所以μ0>μ1.(15分) 18.【解析】 (1)=(220+185+220+225+205+235)=215(分),(1分) =(205+195+245+235+225+215)=22(分),(2分) 总体的平均值==217.5(分), 即A,B两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值为217.5分.(4分) (2)①按照A小区方案,A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类,其费用是5×3 000=15 00(元), 每户住户每月需要承担的生活垃圾分类费用为=15(元);(6分) ②由(1)知,B小区平均每户住户每周需要220分钟进行垃圾分类,一月需要220×4=88(分),又880×1 000=880 00(分), ∴B小区一月平均需要880 000分钟的时间用于生活垃圾分类.(8分) ∵一位专职工作人员一天的工作时间按照8小时作为计算标准,每月按照28天作为计算标准,且一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类的效果, ∴B小区一月需要专职工作人员至少≈13(名), 则每户住户每月需要承担的生活垃圾分类费用为=52(元).(12分) (3)根据上述计算可知,按照每户住户每月需要承担的生活垃圾分类费用来说,选择A小区方案惠民力度大,但需要住户平时做好生活垃圾分类事项; 如果对于高档小区的居民来说,可以选择B小区方案,但这只是方便个别高收入住户. 综上,选择A小区方案推广,惠民力度大.(17分) (3)该大学B学院男生与女生人数之比为λ∶1,B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,也按性别比例进行分层随机抽样,已知A学院和B学院的样本数据整理如下表. 5月份累计跑步里程平均值(单位:km 性别 学院 A B 男生 50 59 女生 40 45 设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为,B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为,是否存在λ,使得≥?如果存在,求λ的最大值;如果不存在,说明理由. 19.【解析】 (1)根据题干信息确定抽样比,建立方程求解即可.依题意=,解得a=7.(4分) (2)由已知,设A学院学生总人数为m,则男生人数为,女生人数为,则==350,解得m=1 250, 即A学院学生人数为1 250.(9分)  (3)设B学院女生有x人,则男生有λx人, =×50+×40=, ==.(13分) 依题意≥,即≥, 显然λ>0,解得0<λ≤,所以存在λ,使得≥,λ的最大值为.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $