4.1函数随堂同步练习 2025-2026学年 北师大版数学八年级上册

4.1函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（　　） ①图（）中长； ②图（）中的长是； ③图（）中点表示4秒时的值为； ④图（）中的点表示12秒时值为． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3．已知抛物线过，，且它与x轴只有一个公共点，则n的值是（    ） A．4 B． C．6 D．16 4．如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．如图是汽车行驶速度（千米时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为（    ） （）汽车行驶时间为分钟；（）表示汽车匀速行驶；（）在第分钟时，汽车的速度是千米时 A．个 B．个 C．个 D．个 6．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 8．当时，的函数值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．“二十四节气”是中国传统历法中指导农事和生活的特定节令．如图是某地部分节气对应的白昼时长关系图，下列节气中白昼时长未超过12个小时的是（   ） A．惊蛰 B．小满 C．秋分 D．冬至 10．下列图象中，能反映出投篮时篮球的离地高度与投出后的时间之间关系的是（    ） A． B． C． D． 11．如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（   ） A．4 B． C． D．8 12．函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 13．已知变量与的关系式是，则当时， ． 14．对于，当时， ． 15．在一个变化过程中，数值发生变化的量为 ． 在一个变化过程中，数值始终不变的量为 ． 在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生 和始终不变． 16．已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 17．“五一”假期，淘气一家自驾游去外地，按计划准点到达目的地，他们选择早上出发，匀速行驶一段时间后，因途中出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，他们加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达，如果他们的行驶路程与所用时间的部分关系如图所示，则他们原计划准点到达的时刻是 ． 三、解答题 18．阅读下面材料，再回答问题． 一般地，如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫偶函数．如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫奇函数． 例如： 当取任意实数时， 是偶函数． 又如：． 当取任意实数时， 是奇函数． (1)下列函数中：①；②；③；④；⑤ 是奇函数的有________；是偶函数的有________．（填序号） (2)仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数（选择其中之一）． 19．已知某一函数的图象所示，根据图象回答下列问题 （1）求当y＝0，x的值是多少？ （2）当﹣2≤x≤1.5时，y随x的增大而怎么样变化？ 20．如左图：三角形的一边，将其固定不变，当顶点A在的垂直平分线l上运动时，三角形的面积也随之发生变化，图表示了这种变化规律．根据下面两个图回答问题： (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是___________； (2)图中P点表示的意义是：___________； (3)等腰中，底边___________； (4)写出的面积随边上的高变化的关系式___________； (5)当的面积是时，边上的高等于___________． 21．地壳的厚度约为8到，在地表以下不太深的地方，温度可按计算，其中x是深度，t是地球表面温度，y是所达深度的温度． (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)如果地表温度为，计算当x为时地壳的温度． 22．已知y与成正比例，当时，．试求： (1)y与x的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 23．小芳从甲地出发沿一条笔直的公路匀速骑行前往乙地，她与乙地之间的距离（）与出发时间（）之间的函数关系式如图1中的线段所示.在小芳出发的同时，小亮从乙地沿同一公路匀速骑行前往甲地，两人之间的距离（）与出发时间（）之间的函数关系式如图中折线段所示． （1）小芳骑行的速度为______，小亮骑行的速度为______； （2）求线段所表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人出发后两人之间的距离． 24．如图，某种型号的自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． (1)观察图形并补全下表： 链条节数/节 3 4 6 链条长度/cm (2)如果n节链条的总长度是ycm，写出y与n之间的关系式． 《4.1函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B C C C B D C 题号 11 12 答案 C D 1．D 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定惟一的一个值，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量，根据函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、由图象可得，每一个的值都有唯一确定的值，故是的函数，不符合题意； B、由图象可得，每一个的值都有唯一确定的值，故是的函数，不符合题意； C、由图象可得，每一个的值都有唯一确定的值，故是的函数，不符合题意； D、由图象可得，每一个的值不都是有唯一确定的值，故不是的函数，符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了动点函数问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点在上运动，则， 点是中点， ， 故①不合题意； 由图象可得：4～7秒，点在上运动，则， 故②符合题意； 第7秒时，点在处，， 故③不符合题意； 由图象可得：当第12秒时，点在处， ， ， ， ， 故④不符合题意， 正确的是②， 故选：D． 3．A 【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x=m-2．根据抛物线与x轴只有一个公共点可设抛物线解析式为y=（x-m+2）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值． 【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A（m，n）、B（m-4，n）， ∴对称轴是x=m-2． 又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴顶点为（m-2，0）， ∴设抛物线解析式为y=（x-m+2）2 把A（m，n）代入，得n=（m-m+2）2=4，即n=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式． 4．B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 5．C 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，根据函数图象获取信息即可求解，读懂题意，从函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：（）∵由横坐标时间可看出汽车的行驶时间， ∴汽车行驶时间为分钟，故（）正确； （）∵由图可知段速度千米时， ∴表示汽车匀速行驶，故（）正确． （）由图可知第分钟时，汽车的速度是千米时，故（）错误； 综上可知：（）（）正确，共个， 故选：． 6．C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，据此解答即可． 【详解】解：根据题意， ， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图像可直接进行求解． 【详解】解：A、从早上6时开始气温逐渐下降，至9时以后才逐渐升高，该选项错误，不符合题意； B、当日温度为的时间点有3个，该选项错误，不符合题意； C、当日气温均在以上，该选项正确，符合题意； D、当日气温在以下的时长约为个小时，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了根据自变量的值求二次函数的值，解题关键是掌握根据自变量的值求二次函数的值的方法． 将代入函数表达式中，求出函数值． 【详解】解：当时， ， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查函数图象，从函数图象获取信息，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，惊蛰，小满，秋分的白昼时长均超过12小时，冬至的白昼时长小于12小时； 故选D． 10．C 【分析】根据题意，篮球离地高度与投出时间的关系的图象为抛物线，然后选择即可． 【详解】投篮时篮球的离地高度与投出后的时间之间关系的函数图象为抛物线， 能够反映出投篮时篮球的离地高度与投出后的时间之间关系的是选项的图象． 故选：． 【点睛】本题考查了函数图象，主要是对抛物线的理解与抛物线图象的认识，是基础题． 11．C 【分析】本题考查了动点与函数图形的综合，熟练掌握三角形面积公式，函数图象的增减性，是解题的关键． 根据题意可得点点P在边上时，的面积为0，由函数图象得，当点P在边上由B到C时，的面积由0增大到24，由函数图象得，由三角形面积公式求得A到的距离为． 【详解】解：∵点P从的点A处出发，沿边匀速运动， 当点P在边上时， 的面积为0， 由图2看出， 当点P在边上由B到C时， 的面积由0增大到24， 由图2看出， 则A到的距离为． 故选：C． 12．D 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 13． 【分析】本题考查函数值的问题，将自变量的值代入函数解析式求值即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 14． 【分析】根据函数值的计算方法解答即可． 本题考查了函数值的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 15． 变量 常量 变化 【解析】略 16． 200 【分析】本题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，难点是根据题意得到相应的数量的代数式． 根据某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件，即可得到月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣价格x（元）之间的关系式． 【详解】解：根据题意得：， 即该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为； 当时，， 解得：， 即某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为200元． 故答案为：；200 17． 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，理解图示，分别算出故障前的速度，故障后的速度，根据行程的数量关系列方程即可求解． 【详解】解：故障前的速度为：，故障后的速度为， 设行程为， ∴， 解得，， ∴行程为， ∴， ∴ ∴原计划准点到达的时刻是， 故答案为： ． 18．(1)奇函数，②④；偶函数，①⑤ (2)证明见解析 【分析】本题考查了奇函数与偶函数的定义，熟练掌握新定义，互为相反数的乘方运算，是解题的关键． （1）根据题目信息，求出的表达式，如果，则是偶函数，如果，则是奇函数； （2）同（1）的思路进行计算即可证明． 【详解】（1）解：①， ∴①是偶函数； ②， ∴②是奇函数； ③， ∴③既不是奇函数，也不是偶函数； ④， ∴④是奇函数； ⑤， ∴⑤是偶函数， 故答案为：奇函数有②④；偶函数有①⑤； （2）证明：④∵当时，， ∴是奇函数， ⑤∵， ∴是偶函数． 19．（1）-3、-1或4；（2）y随x的增大而增大． 【分析】（1）根据函数图像与x轴交点坐标可得； （2）观察图像可得增减性． 【详解】解：（1）由图示知，当y=0时，x=-3、-1或4． （2）由图示知， 当-2≤x≤1.5时，y随x的增大而增大． 【点睛】此题主要考查了函数的图象，利用图象得出正确信息是解题关键． 20．(1)边上的高，三角形的面积 (2)边上的高是时，三角形的面积是 (3)10 (4) (5)24 【分析】（1）根据自变量和因变量的概念进行求解即可； （2）结合图形的横坐标和纵坐标，表述出其意义即可； （3）借助（2），根据三角形的面积公式，列出方程求解即可； （4）借助（3），根据三角形的面积公式，列出解析式即可； （5）借助（4），求根据函数值，求自变量的值即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是BC边上的高，因变量是三角形的面积， 故答案为：BC边上的高，三角形的面积； （2）解：图中P点表示的意义是：边上的高是时，三角形的面积是， 故答案为：边上的高是时，三角形的面积是； （3）解：由（2）得，， 解得， 即， 故答案为：10； （4）解：由（3）得， ∴ 故答案为：； （5）解：由（4）得，， 当时，， 解得， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了函数的相关概念，函数的图象和性质，求函数的解析式，根据函数解析式求自变量的值等，解题的关键是掌握以上概念和数形结合的思想． 21．(1)自变量是地表以下的深度x，因变量是所达深度的温度y； (2)此时地壳的温度是． 【分析】本题考查了函数的定义，求函数值； （1）因为温度可按计算，其中x是深度，t是地球表面温度，y是所达深度的温度，所以自变量是x，因变量是y； （2）令，，代入函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：自变量是地表以下的深度x，因变量是所达深度的温度y； （2）解：当，时， ； 所以此时地壳的温度是． 22．(1) (2)0 (3) 【分析】此题考查了求函数解析式，求函数值和自变量的值等知识，利用待定系数法求出函数解析式是关键． （1）根据题意可设，利用待定系数法求出的值即可； （2）把自变量的值代入计算即可； （3）把函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，可设， 把，代入，得，解得， 所以， 所以y与x的函数关系式为； （2）当时，； （3）当时，，解得 23．（1）16，20；（2）线段DE所表示的函数关系式为：s=36t-36()；（3）两人出发后1.5h两人之间的距离是18km． 【分析】（1）由点A，点B，点D表示的实际意义，可求解； （2）理解点E表示的实际意义，则点E的横坐标为小亮从甲地到乙地的时间，点E纵坐标为小芳这个时间段走的路程，根据D，E的坐标即可求解； （3）根据1≤1.5≤1.8以及（2）中求得的函数关系式即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得：小芳速度， 设小亮速度为xkm/h， 由题意得：1×(16+x)=36， ∴x=20， 答：小亮的速度为20km/h，小芳的速度为16km/h； 故答案为：16，20； （2）由图象可得：点E表示小亮到了甲地，此时小芳没到， ∴点E的横坐标， 点E的纵坐标， ∴点， 设线段DE所表示的函数关系式为：s=kt+b， 将D（1，0），代入得： ，解得：， ∴线段DE所表示的函数关系式为：s=36t-36， ∵小亮速度较快， ∴相遇后小亮前往甲地的时间为：， ∴自变量的取值范围为：； （3）∵t=1.5，， ∴t=1.5时，s=36×1.5-36=18（km）， 答：两人出发后1.5h两人之间的距离是18km． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型． 24．(1)5.9，7.6，19 (2)y=1.7n+0.8 【分析】（1）根据图形找出规律计算链条的长度即可； （2）由（1）写出表示链条节数的一般式． 【详解】（1）解：根据图形可得出： 3节链条的长度为：2.5×3-0.8×2=5.9（厘米）， 4节链条的长度为：2.5×4-0.8×3=7.6（厘米）， 6节链条的长度为：2.5×6-0.8×5=19（厘米）， 故答案为：5.9，7.6，19； （2）由（1）可得n节链条长为：y=2.5n-0.8（n-1）=1.7n+0.8； ∴y与n之间的关系式为：y=1.7n+0.8． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出n节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $