第三章二次函数同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

第三章 二次函数 同步练习 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 2．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．0 3．如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．将抛物线向右平移个单位长度，在平移的过程中抛物线与y轴的交点也会随之变化，设平移后的抛物线与y轴的交点为Q，则在抛物线平移的过程中，点Q的纵坐标的最大值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（    ） A． B． C． D． 7．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 8．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 10．长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的函数解析式为 ． 12．已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为 ． 13．如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升 米． 14．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为 ． 15．如图，抛物线（a，b，c为常数，且）的图象关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为，下列结论中：①；②关于x的一元二次方程的解是，；③；④．其中，正确的有 ．（填序号） 三、解答题 16．已知抛物线经过点和． (1)求，的值； (2)判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 17．【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 18．已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 19．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于42元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ (3)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 二次函数 同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A C A B A D 1．B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，先整理抛物线，即可得出顶点坐标是． 【详解】解：依题意，抛物线， ∴的顶点坐标是， 故选：B 2．C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的单调性规律． 先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合单调性的条件，分析对称轴与的位置关系，从而求出的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴， ∴． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，抛物线对称性，理解抛物线是轴对称图形是解题的关键．根据抛物线是轴对称图形，利用抛物线上对称的点到对称轴的距离相等得出方程的解． 【详解】解：与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线， 个到对称轴的距离是2， 抛物线与x轴另一交点到对称轴的距离也是2，所以交点坐标是 一元二次方程的解为， 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点式顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是． 故选：D 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值， 依据题意，由抛物线为，即，从而向右平移个单位长度可得新抛物线为，又令，则，可得点Q的纵坐标为，最后结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为，即， ∴向右平移个单位长度可得新抛物线为， ∴令，则． ∴点Q的纵坐标为． ∵，， ∴当时，点Q的纵坐标的最大值为12． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数化为顶点式，进而作答即可． 【详解】解：， ∵无论为何值，函数值恒为正， ∴， 即． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题关键． 先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先向右平移2个单位，替换为；再向下平移个单位，整体减． 【详解】解：原抛物线解析式为 ． 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解利润由每盒利润与销售量乘积决定是解答本题的关键． 每盒利润为售价减成本，即元；销售量随售价下降而增加，基于基准售价99元时200盒，每降1元增2盒，故售价x元时销售量为盒． 【详解】解：∵每盒利润：元， 售价下降：元， 销售量增加：盒， ∴销售量：盒， ∴． 故选D． 11． 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据二次函数图象平移的规律，“左加右减”针对自变量x，“上加下减”针对函数值y，依次进行平移变换． 【详解】解：原抛物线为， 先向左平移2个单位，根据“左加右减”，将x替换为，得， 再向上平移3个单位，根据“上加下减”，将函数值整体加3，得． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小． 【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上， 函数值有最小值． 当时，； 当时，； 当时，； 结合图象，可得当时，的取值范围是． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面上升了多少． 【详解】解：以拱桥的最高点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意，点在抛物线上，代入解析式，得，解得， ∴； 当水面宽度减少1米时，此时水面宽度变为米； ∴当时，， ∴水面上升了米； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可． 【详解】解： 将代入抛物线解析式， ． 故答案为：． 15．①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题等，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 利用抛物线的对称轴、开口方向则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对②进行判断；由对称轴方程得到，当时，，则可对③进行判断；当时，，且是抛物线的最大值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线（a，b，c为常数，且）关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解是，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ， 当时，，即， ∴， ∴，故③正确； 当时，，且是抛物线的最大值， 当时，，即 当时，， ∴， 综上所述：，故④不正确； ∴①②③是正确的， 故答案为：①②③． 16．(1) (2)点不在这个抛物线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式， 对于（1），将点代入关系式得出二元一次方程组，求出解； 对于（2），将点的坐标代入关系式即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：由（1）得抛物线的关系式为， 当时，， ∴抛物线经过点， 则点不在该抛物线上． 17．(1)见解析 (2)； (3)米，见解析 【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可知水柱最高点距离湖面的高度为米，即，设函数表达式为，先由图1得到函数顶点为，再将代入计算即可； （3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可. 【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）解：由图1，可得函数顶点为， 水柱最高点距离湖面的高度为米， ， 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； 故答案为：，； （3）解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∵已知游船顶棚宽度为3米，抛物线对称轴为直线， ∴顶棚交抛物线轴于， ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米， ∴此时纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节米， （米）， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约米才能符合要求． 18．(1)，，； (2)点D坐标为 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令可求得点C坐标，令可求得点A、B坐标； （2）设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：当时，， 令，由解得，， ∴，，； （2）解：设， 由（1）知，，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 此时，， ∴点D坐标为． 19．(1) (2)每件商品的销售价应定为30元 (3)售价定40元/件时，每天最大利润为800元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法即可求解； （2）根据等量关系得，解方程即可求解； （3）根据题意得，进而可得抛物线的对称轴为，且开口向下，则当时，随x的增大而增大，当时，w有最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：或（舍去）， 答：每件商品的销售价应定为30元． （3）解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为，且开口向下， ∴当时，随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴售价定40元/件时，每天最大利润为800元． 20．(1)直线的解析式是；抛物线的解析式是 (2)线段最大值为 (3)P点的横坐标是或 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数及一次函数表达式、二次函数综合题， （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把分别代入与，得到两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是，则，用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到的长，然后根据二次函数的最值得到结论即可； （3）根据，则当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，再分情况：当P在第一象限或当P在第四象限或当P在第三象限，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得 ，解得 ， 所以抛物线的解析式是． 设直线的解析式是， 把代入， 得 ，解得， 所以直线的解析式是； （2）解：设点P的坐标是，则， 因为点P在第四象限， 所以， ， 所以当时，线段最大值为； （3）存在，理由如下： ∵轴，轴， ， ， ， ∴当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，如下图： 当P在第四象限时：，最长时只有， 所以不可能有，即此种情况不存在； 当P在第一象限时：，则， 解得（不合题意，舍去）， 所以P点的横坐标是； 当P在第三象限：，则， 解得（舍去），， 所以P点的横坐标是， 综上所述可知所以P点的横坐标是或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $