3.3二次函数y=ax的图象与性质同步训练2025-2026学年（鲁教版五四制）数学九年级上册

3.3 二次函数y=ax²的图象与性质 同步训练 一、单选题 1．下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（） A． B． C． D． 3．下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 4．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．经过点 9．已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点在抛物线上，则的值为 ． 12．抛物线经过点，，则 ． 13．已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则 ． 14．当时，二次函数的最大值为8，则 ． 15．在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有 ．（将正确结论的序号全部写在横线上） ①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点． 三、解答题 16．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 17．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 18．在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 19．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 20．已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：A、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； B、的顶点坐标为，故本选项符合题意； C、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； D、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数和二次函数的性质，逐项判断各函数在时的增减性即可． 【详解】解：A．是一次函数，，∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意； B．是二次函数，二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为，∴当时，随增大而减小，故此选项符合题意； C．是二次函数，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意； D．是一次函数，，∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由图象可得，该图象的解析式经过点，再逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该图象的解析式经过点， A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 6．D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，直接计算抛物线上各点的纵坐标，比较,,的大小关系． 【详解】∵， 对于点，有； 对于点，有； 对于点，有． ∴,,， ∴． 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可知二次函数开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，要求当时随增大而增大，故需对称轴在直线右侧或重合，即． 【详解】解： 二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为，对称轴为，故B选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，则当时，随的增大而增大，故A选项正确，不符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．通过计算点和点的纵坐标表达式，比较大小关系，结合抛物线的性质进行判断即可． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， 选项A：当时， ， ， ，选项A正确； 选项B：当时， 即， ， ， ， ，选项B正确； 选项C：当时， ， ，选项C正确； 选项D：当时， 即， ， 但选项D要求，而不一定满足（例如时但）， 选项D错误； 故选：D． 10．C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可． 【详解】解：∵直线分别交抛物线，于点， ∴的纵坐标均为2， 当时，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， 解得； 故选C． 11．18 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将点的横坐标代入抛物线解析式求解． 【详解】解：将代入抛物线， 得：． 故答案为：18． 12．2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，理解题意是解此题的关键． 将和进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴ 或， 解得（不成立，舍去）, 解得， 故答案为：2． 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数a的符号决定，开口大小由决定，要求开口大小相同、方向相反，故a取相反数． 【详解】解：对于二次函数，其二次项系数为2，因此图象开口向上，且开口大小由决定， 要使的图象与的图象开口大小相同，则；方向相反，则， 故， 因此． 故答案为：（答案不唯一）． 14．或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 15．② 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过分析每个二次函数的顶点、对称轴、开口方向及与x轴交点情况，判断各结论是否正确． 【详解】对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交； 对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点； 结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误； 结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确； 结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误； 结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误； 故答案为：②． 16．(1)4 (2)16 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入解析式即可求出的值； （2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∵点在这个图象上， ． 17．(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 18．(1)， (2)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，二次函数的性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据点关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可； （2）根据二次函数的对称性描点画图即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点分别关于y轴的对称点为，，，， ∴，； （2）解：∵抛物线以O为顶点并过A和B两点， ∴该抛物线关于y轴对称，并经过，两点， 在平面直角坐标系中描点、连线可得抛物线，如图所示： 19．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 20．(1) (2)1，2， (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了的图象与性质； （1）根据的性质求解即可； （2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解； （3）根据的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $