第二章直角三角形的边角关系同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学九年级上册

第二章直角三角形的边角关系同步练习 一、单选题 1.已知sim∠A= 2 ,则∠A=() A.30° B.450 C.60° D.90° 2.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为() T 1 A. B. 3 C. D.2 3.人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB、AC的长都为2m,当a=65°时，人字梯顶端离地面的高度约 是 m,(结果精确到0.1m,参考依据：sin65≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14() A.2.1 B.1.9 C.1.8 D.1.6 4.如图，在ABC中，AB=8V2,BC=14,∠B=45°，D是线段BC上的动点（不含端点B、C).若线段AD长 为正整数，则点D的个数共有() B D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.如图，一艘客船A从码头点O出发，沿北偏东30°方向航行，速度为20海里/时，2小时后一艘快艇B也从 同一码头出发，向正北方向航行2小时后，此时客船在快艇的正东方向，则快艇航行的速度为() 试卷第1页，共3页 北 B A.20海里/时 B.405海里/时C.205海里/时D.40海里/时 3 6.为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎.如图，点O为跷跷板AB 中点，支柱0C垂直于地面，垂足为C,跷跷板的一端A落到地面时与地面的夹角∠O4C=a,且AC=1.5m, 则点B与地面的距离是() B 地面mm氚 1.5 A. 一m B.1.5tanam C.3 一m D.3tanam sina cosa 7.如图所示，将矩形ABCD(BC>2AB)绕其顶点B顺时针方向旋转得到矩形A'BCD',A'D'与BC交于F,若 A'F=√3A'B,则旋转角的度数为() A A F D A.30 B.40° C.50° D.60° 8.如图，在ABC中，三边AC,BC,AB满足AC:BC:AB=3:4:5,则cosB等于() B A B.3 c D. 9.如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为6,8)，且OP与x轴正半轴的夹角为α，则 ∠a的正弦值是() 试卷第1页，共3页 -P(6,8) a A3 c D. 1O.如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC,过F作FH⊥BE,交AB于G, 过H作HM⊥AB于M,若AB=9,AE=3,则下列结论中：①LBGF=LCFB;②√2DH=EH+FH;③ BH=31 2:④M_3 AE=5,其中结论正确的是（) D E GM A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 11.计算-1+tan60°+√2sin45°-2cos30°+π0结果是 12.如图.在64BC中，∠4CB=90,sm8CD是商：若40=2，剥BD-— B 1B.如图，在RBAD中，延K斜边BD到点C,使DCBD,造接4C,若amB-则 tan∠CAD= D 14.如图，水平地面上护林员与树根的距离AC=30m,护林员的眼睛与地面距离BA=1.6m,在此处观测到树 梢点D的仰角为30°，则树高CD=m, 试卷第1页，共3页 D R130° 5,如图，在平面直角坐标系中，点45,0，以0A为边作菱形0A8C,且am∠A0C连接对角线0B, P是OB上一点，若将线段BP绕点P顺时针旋转90°，点B恰好落在x轴上的点D处，则点P的坐标为 VA 三、解答题 16.计算： (1)tan45°+6cos45°-3tan230 (2)√2，sin45°-cos30°+sin60°+tan260° 17.如图1、图2均为8×6的方格纸（每个小正方形的边长均为1），在方格纸中各有一条线段AB,其中点A、 B均在小正方形的顶点上，请按要求画图： 图1 图2 ()在图1中面一个直角ABC,使得m∠B4C=,点C在小正方形的顶点上： (2)如图2中画一个平行四边形ABEF,使得平行四边形ABEF的面积为图1中ABC面积的4倍，点E、F在小 正方形的顶点上： (3)图2中连接AE,直接写出AE的长度. 18.如图，某校数学兴趣小组为了测得学校旗杆的高度AB,在点D处用高为1.2米的测角仪CD,测得旗杆顶 端A的仰角为22°，又测得BD=30米，求这根旗杆的高度AB. 试卷第1页，共3页 A C1229 D (已知：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040，结果精确到0.1米.) 19.A4纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸.A4纸的几何特征为：①矩形纸张 ABCD短边AB长度为2Icm;②取长边AD、BC的中点M、N，沿直线MN折叠，所得矩形ABNM与原矩形 ABCD相似. M A D F B B N E (1)A4纸长边AD= cm: (2)用一张A4纸作如下操作：在BC边上有一动点E,连接AE,将△ABE沿AE翻折得△AEF. ①当sin∠DAF=号时，求BE的长： ②以点E为圆心，EF为半径作OE,若点A、B、C、D中只有一个点在OE内，则BE长的取值范围是 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,E为AC边上一动点（不与点A重合），过点E作 ED⊥AB于D,以DE为边向右作正方形DEFG, E D G B (1)c0sA= (2)当AD=1时，求CE的长； (3)当F落在BC上时，求AD的长： (4)当F到BC的距离等于G到BC的距离的一半时，直接写出AD的长 试卷第1页，共3页 《第二章直角三角形的边角关系同步练习2025-2026学年鲁教版（五四制）(2012)数学 九年级上册》参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C C D A C C B 1.C 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键， 根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】解：：sin60°=V 2 ,sin∠4=5 .∠A=60°. 故选C 2.A 【分析】本题主要考查了正切的定义，在网格中构造直角三角形是解题的关键。 先在网格中构造直角三角形，易得AD=2,CD=6,再根据正切的定义求解即可. 【详解】解：如图：由方格可知：AD=2,CD=6,则an∠ACB=4D-2={ DC-63· 故选A. 3.C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.通 过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得 出答案 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D, 0入 D :AB=AC=2m,AD⊥BC, 答案第1页，共2页 △ADC是直角三角形，∠ADC=90°. 在RtAADC中，AC=2m,∠C=a=65°， sina=AD AD=AC.sina=2×sin65°≈2×0.91=1.82≈1.8(m. 故选：C. 4.C 【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短求出AD的取值范围是解 题关键， 过点A作AE⊥BC,求出AD的取值范围即可解答. 【详解】解：过点A作AE⊥BC,如图： D E .∠B=450,∠AEB=90°， .∠B=∠EAB=45°， .AE BE 在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2, :24E2=AB2=(82, 解得：AE=BE=8, .EC=BC-BE=14-8=6, AC=VAE2+EC2=V82+62=10, 8≤AD<8√2， :线段AD长为正整数， AD为8或9或10或11，共4个数； 当AD为8时，点D与E重合，只有一条线段： 当AD为9时，可在E点的左右两边，有两条线段； 当AD为10时，在E点的左边，只有一条线段； 答案第1页，共2页 当AD为11时，在E点的左边，只有一条线段； .一共有5条线段： 故选：C. 5.c 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，连接AB,由题意可得∠AB0=90° ,∠A0B=30°，0A=20×4=80海里，即得0B=0ACos30°=40√3海里，进而即可求解，理 解题意是解题的关键。 【详解】解：如图，连接AB, 北 B----A 由题意可得，∠AB0=90°，∠A0B=30°，0A=20×4=80海里， :0B=04C0s30=80×y5=405海里， 2 .快艇航行的速度为40√3÷2=20√3海里/时， 故选：C. 6.D 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判 定与性质，解直角三角形等知识.求出OC=AC tan Z0AC=1.5tana(m),过点B作BD垂 直底面于点D,判断出OC是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等 于第三边的一半可得BD=20C,即可得到答案 【详解】解：由题意可得，0C1AC,AC=1.5m, 在RtaA0C中，OC=AC tan∠OAC=1.5 tana(m), 如图，过点B作BD垂直底面于点D, B :BD⊥AD,OC⊥AD, 地面 A BD∥OC, 答案第1页，共2页 .△A0Cn△ABD, .40_Ac AB AD :点O为跷跷板AB的中点， :.AC=AD, 2 :OC是△ABD的中位线， :BD 20C =3tan am, 故选：D 7.A 【分析】本题考查了根据正切值求角度。 根据an∠A'BF=4F=万求出∠4'BP=60,可知∠4B4=30°，即旋转角的度数为30. A'B 【详解】解：A'F=√3AB ·tan Z4'BF=A'F_ √5， AB .LA'BF=60°， .∠A'BA=30°， 即旋转角的度数为30. 故选：A. 8.C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数， 先判断三角形的形状，再根据cosB=BC ，求解即可 AB 【详解】解：：AC:BC:AB=3:4:5, :AC=3x,BC =4x,AB=5x, AC2+BC2=9x2+16x2=25x2,AB2=25x2, .AC2+BC2 AB2, .ABC是直角三角形， ∴CosB 4x4 5x5 故选：C 9.C 答案第1页，共2页