第5章直角三角形 单元同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《第5章直角三角形》单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B．，， C．， D． 2．在直角三角形中，两条直角边长分别为和，则斜边上的高为(　　) A． B． C． D． 3．如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（  ） A．15 B．30 C．20 D．10 4．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为6，8，24，则正方形的面积是（    ） A．8 B．10 C．6 D．9 5．如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放进门，刚好能放进去，则竿的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．2米 6．如图，在Rt中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为（　　） A．6 B．12 C．6或12 D．6或12或18或24 7．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．在中，，，则的度数为 ． 9．若的三边长为、、，并且满足，则的形状是 ． 10．如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 11．如图，是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长，底边上的高，则底边 ． 12．如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则 ° 13．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，则线段 ． 14．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是 ． 三、解答题 15．消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 16．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 17．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．    (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 18．如图，四边形中，，，于点F，交于点E，连接，． (1)求证：平分； (2)求证： 19．已知：和都是等腰直角三角形，，，． (1)如图1，连接，，相交于点，求证：； (2)如图2，连接，，分别是，的中点，判断与的位置关系，并说明理由． 20．已知是等边三角形． (1)如图，在射线上取一点，以边作等边，连接，，相交于点． 求证：； 连接，求证：平分； (2)如图，点在的外部，，连接，，平分交于点，交于点．求的大小 ，并探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理 ． 根据勾股定理逆定理和角度关系逐项判断是否为直角三角形 ． 【详解】解：选项A：由 变形得 ， 满足勾股定理逆定理，能判断是直角三角形； 选项B：当 ，， 时，计算得 ， 满足勾股定理逆定理，能判断是直角三角形； 选项C：设 ，则 ，， 由三角形内角和得 ，解得 ， 因此 ，，，能判断是直角三角形； 选项D：由 ，总份数为 ，每份为 ， 对应角度为 、、，均为锐角，无直角，不能判断是直角三角形 ． 故选：D ． 2．B 【分析】根据勾股定理求出斜边，然后由面积法，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，由勾股定理，得： 直角三角形的斜边为：， ∵， ∴直角三角形斜边上的高为：. 故选B. 【点睛】本题考查了勾股定理，以及面积法求三角形斜边上的高，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质进行解题. 3．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算即可； 【详解】过点作， 平分，， ， ， ． 故选． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故选：B 5．C 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先设竿的长度为米，再用表示出门宽，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设竿的长度为米， ∵将竿横放则比门宽长1米， ∴门宽为米， ∴， 解得：， 故选：C 6．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析动点在运动过程中三角形的变化进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行计算，一是，二是点与点重合，分别求解即可； 【详解】当时， 在与中， ， ； 当点运动到与点点重合时，， 在和中， ； 综上所述：长为或． 故选． 7．C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 故选：C． 8．/60度 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余得到，结合已知条件，不难求得的度数． 【详解】解：在中，，因此， 又， 将两式相加，得：， 即， 所以， 故答案为：． 9．直角三角形 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出的值． 根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意得， 所以， 因为， 所以， ∴为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 10． 【分析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高也是底边的中线）将底边分成两段相等的线段，再通过勾股定理求出其中一段的长度，进而得到底边总长． 【详解】解：，是的高，且， ， 在中，． 故答案为： 12． 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，，，则，，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 13．5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5 14． 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键 根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度，把立体几何中的问题转化为平面几何中的问题即可． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中，， 蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是． 故答案为：． 15．云梯底部需要向楼房靠近 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理以及梯长保持不变是解题的关键． 利用云梯的长度不变和勾股定理分别求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，则． 在中，， 由勾股定理可得． 在中，， 由勾股定理可得． 所以． 答：云梯底部需要向楼房靠近． 16．(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 17．(1)15米 (2)购买运动型塑胶地板的总费用为22800元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）由勾股定理即可求出的长度； （2）先由勾股定理的逆定理，得出为直角三角形，再根据结合三角形的面积公式求出四边形的面积，然后由运动型塑胶地板单价即可得出结果． 【详解】（1）解：米，米， 米； 答：的长度为米； （2）解：，， ， 为直角三角形，， （米）， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）， 答：购买运动型塑胶地板的总费用为22800元． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用证明全等三角形成为解题的关键． （1）通过证明可得即可证明结论； （2）先证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：在和中， ， ∴， ∴． 19．(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】考查等腰直角三角形性质、全等三角形判定（）、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形三线合一．解题关键是通过角的和差证角相等，结合已知条件证全等；利用直角三角形斜边中线性质得线段相等，再用三线合一证垂直．易错点是忽略角的和差转化，或混淆直角三角形斜边中线的应用条件． （1）由等腰直角三角形得，结合、，用证，得；通过对顶角相等，将转化为，证． （2）连接、，由等腰直角三角形斜边中线性质得，由得，故；结合H是中点，用等腰三角形三线合一证． 【详解】（1）证明：交于I， 和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，， ∵是等腰直角三角形，G是的中点， ∴，， 由(1)可知， ∴， ∵ G是的中点， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴． 20．(1)证明见解析；证明见解析； (2)，，理由见解析． 【分析】（）由，是等边三角形，得，，，从而可得，根据全等三角形性质得； 过作于点，作于点，由（）得，；则，通过等面积求出，再由角平分线判定即可求证； （）设，由为等边三角形，得，又，则，，通过角度和差求出，连接，在上取点，使得，连接，证明为等边三角形，得，，再证明，可得，由直角三角形旋转可得，最后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 如图，过作于点，作于点， 由（）得，； ∴， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分； （2）解：，理由如下， 设， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 如图，连接，在上取点，使得，连接， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $