5.1直角三角形的性质定理 同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《5.1直角三角形的性质定理》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一个等腰三角形，顶角是，腰长是6厘米，则这个等腰三角形的面积等于（   ） A．36 B．18 C．9 D．4 3．如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 4．如图．在中，，，交的延长线于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，在中，，点在BA的延长线上，点在BC边上，连接ED，EC，且，过点作于点，若，则BD的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 7．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在，上滑动，且，若点M、N分别是的中点，连接，则的长度最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 二、填空题 8．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 9．如图，在中，，是的中点，若，则的长是 ． 10．如图，已知，点P、Q在边上，．若，则的长是 ． 11．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 12．如图，在中，．为边上的高，为边上的中线．若的面积为，，则的长度为 ． 13．如图，中，，，于，若，则 . 14．如图，已知与中，，，，为中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写序号）． 三、解答题 15．如图，已知中，是的平分线，是高，，，求，的度数． 16．如图，在中，，点是的中点，且，若，求的长． 17．已知：如图，在中，，交线段BC点于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 18．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 19．在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． (1)如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； (2)如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：______． 20．小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形两锐角互余的性质求解，熟练掌握直角三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数为， 故选：C． 2．C 【分析】通过作腰上的高构造直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半求出高，进而计算三角形的面积即可； 本题主要考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质，作腰上的高构造含角的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图， 等腰中，，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．C 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质．根据直角三角形中，所对边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图： 米， 在中，， ∴（米）， ∴这棵树在折断前的高度为（米）， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，由，得，根据三角形外角性质可得，最后通过所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 5．B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等，根据等角的余角相等得到，再证明得到即可求解，利用全等三角形的性质求解线段长是解题的关键． 【详解】解： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【详解】解： ， ， 在中，，则，， ∵ ， ， ， ， 又 ，即，而， ，同时，即， 将代入，可得， ． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图所示，连接，， 在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ， 当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：， 的最小值为：2． 故选B． 8．直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 9．4 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：中，，是的中点，若， ∴， 故答案为：4． 10．2 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质．过点A作于点D，则，，得到，由等腰三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：过点A作于点D，则，    ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：2． 11．10 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点F，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，则. ∵， ， 又∵ ∴， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积．由直角三角形斜边中线的性质，求出，由三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：，为边上的中线， ， ， ， 的面积为， ， ． 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．①③/③① 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，连接，由直角三角形的性质得到，，证明，进而证明，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵为中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵，与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定平行，故④错误； 综上，正确的结论有①③． 故答案为：①③． 15．，的度数分别为， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解直角三角形．根据三角形内角和定理及角平分线定义求出和的度数，再利用解直角三角形得出的度数，最后利用角的等量关系求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，． 16． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，熟练掌握构造全等三角形的方法是解题的关键．通过延长构造全等三角形，利用全等三角形的性质和直角三角形的性质来求解的长度． 【详解】解：延长到，使，连接． ∵点是的中点， ∴． 在和中， , ∴（）． ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在中，，， ∴． 又∵， ∴． 17．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角的性质，以及三角形的外角和定理，解决本题的关键是使用等量代换转换角的关系并熟练掌握全等三角形的判定． （1）根据垂直可得，再根据等量代换可得，由此可证； （2）构造辅助线，证明和全等，可得，，再根据边的关系可得，根据三角形外角和定理可得，由此可证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． 【详解】（1）证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2）证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 19．(1)证明见解析；证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，直角三角形的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明即可； 由，得，，然后通过线段和差即可求证； （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明，再由全等三角形性质，线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴； （2）解：，理由， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20．（1），或；（2）不变，；（3）面积相等，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式，分和两种情况进行讨论进行求解即可； （2）证明，得到，对顶角得到，结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）过点作，过点作，证明，得到，进而根据同底等高的两个三角形的面积相等，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意，得：， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当时，则：， ∴，即，解得； ②当时，则：， ∴，即，解得； 综上：当或时，是直角三角形； （2）不变，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （3）和的面积相等，理由如下： 过点作，过点作，则：， ∵， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $