数列提升：数列恒成立问题、数列最值问题、数列新定义问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过表格梳理数列恒成立、最值、新定义三大核心考点，分步骤解析关键方法，如恒成立问题的“审题-转化-验证-结论”四步流程，最值问题的六种求解方法，新定义问题的类比与边界测试技巧，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于精选多地区阶段练习例题，如“可拆数列”“二阶等差数列”等新定义题型，结合分离参数、构造新数列等技巧，培养数学思维与创新意识。分层变式训练适配不同学生，课后提升题强化综合应用，助力教师精准教学与学生自主复习。

数列提升：数列恒成立问题、数列最值问题、数列新定义问题讲义 数列提升：数列恒成立问题、数列最值问题、数列新定义问题讲义 考点目录 数列恒成立问题 数列最值问题 数列新定义问题 考点一 数列恒成立问题 【知识点解析】 1.审题：明确数列类型（通项 / 递推 / 和式）、恒成立条件（）、参数位置. 2.转化： （1）通项型：分离参数→构造新数列→求新数列最值. （2）递推型：求通项或相邻项差→利用单调性条件→分离参数. （3）和式 / 积式型：求和 / 积→分析单调性→求最值或极限. 3.验证：确认时最值是否能取到，或是否存在边界. 4.结论：写出参数的取值范围. 【例题分析】 例1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）（1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 例2．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知对于任意的，数列都满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 例3．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知正项数列满足，，数列满足，（且）． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 例4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知在数列中，，，为等比数列，． (1)求实数和数列，的通项公式； (2)令，数列的前项和为，求证：对任意，都有． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川达州·阶段练习）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 变式2．（24-25高二下·辽宁·月考）如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点构成一系列正三角形，记为（为坐标原点）．设的边长为，点． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，记的前项和为，求证：． 变式3．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列满足．记（）． (1)计算，并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 变式4．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记的前项和为，求证：. 考点二 数列最值问题 【知识点解析】 1.求数列最值的方法 （1）二次函数法 （2）基本不等式法 （3）三角函数法 （4）判别式法 （5）分离常数法 （6）函数单调性法（求单调性的方法有导数法、作差法、作商法、换元法） 2.把数列视为函数，利用函数单调性法求函数最值时，需要注意定义域为正整数！ 【例题分析】 例1．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）数列各项均为正数，其前项和为，且满足 (1)求证：是等差数列，求及； (2)设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 例2．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 例3．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知正项数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，． ①求； ②设，若不等式恒成立，求正整数的最小值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 变式2．（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 变式4．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 考点三 数列新定义问题 【知识点解析】 1.新定义问题的方法和技巧： （1）解决新定义问题的基本方法 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求 （2）实用技巧 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义 【例题分析】 例1．（2025·安徽·模拟预测）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 例2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高三上·河北·月考）对于数列，记，，称数列为数列的差分数列. (1)已知，证明：的差分数列为等差数列； (2)已知的差分数列为，，求的通项公式. 例4．（24-25高二下·上海·阶段练习）定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. (1)若 ，证明:数列 是 数列； (2)设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； (3)设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·上海普陀·期末）定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. (1)若，试举反例说明数列不是数列； (2)若，证明:数列是数列； (3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 变式2．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 变式3．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习）对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质） (1)求，，的值； (2)已知数列满足，求的前项和； (3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 变式4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得． (1)求； (2)求证：是等比数列； (3)求证：． 课后提升训练 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）在数列中，对于任意的，都有（，为非零常数），则称数列为“－数列”．已知数列是“－数列”，且，． (1)证明：数列是常数列． (2)若数列是“－数列”，且，． （i）求数列的前项的和． （ii）若，是否存在非零常数，，使得数列为“－数列”？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 2．（2025·河南·一模）数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的公比，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记， （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 4．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）已知数列是公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设表示不大于x的最大整数，求数列的前100项和； (3)设，数列的前n项和为，证明：且. 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的各项互不相同，且 ， 若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意， 都有则称数列A具有性质T. (1)若，写出所有具有性质T的数列A； (2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T； (3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列. 6．（25-26高二上·福建宁德·期中）数学教材人教A版选择性必修第二册第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，.其中“互素”是指两个或多个整数的最大公因数为1，即这些整数除了1之外没有其他公因数. (1)求的值. (2)已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列提升：数列恒成立问题、数列最值问题、数列新定义问题讲义 数列提升：数列恒成立问题、数列最值问题、数列新定义问题讲义 考点目录 数列恒成立问题 数列最值问题 数列新定义问题 考点一 数列恒成立问题 【知识点解析】 1.审题：明确数列类型（通项 / 递推 / 和式）、恒成立条件（）、参数位置. 2.转化： （1）通项型：分离参数→构造新数列→求新数列最值. （2）递推型：求通项或相邻项差→利用单调性条件→分离参数. （3）和式 / 积式型：求和 / 积→分析单调性→求最值或极限. 3.验证：确认时最值是否能取到，或是否存在边界. 4.结论：写出参数的取值范围. 【例题分析】 例1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）（1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以 ． （2）因为， 则， ． （3）因为，则， ． 例2．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知对于任意的，数列都满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题设有①， 当时，②， ①－②得，所以. 又当时，由得，不符合上式， 综上，数列的通项公式为. （2）由（1）可知：当时，， 所以， 所以当时，. 例3．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知正项数列满足，，数列满足，（且）． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得， 所以，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． （2）由，得， 由，得， 得，即， 因为，，，则, 由（1）知， 所以 ． 例4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知在数列中，，，为等比数列，． (1)求实数和数列，的通项公式； (2)令，数列的前项和为，求证：对任意，都有． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析； 【详解】（1）设的公比为，则， ， 即， 整理得， 解得，． 因为， 所以，得； （2） ， ． 因为，所以得证． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川达州·阶段练习）记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项的和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时， 而时，满足，. （2）因为， 所以 因为，所以，. 变式2．（24-25高二下·辽宁·月考）如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点构成一系列正三角形，记为（为坐标原点）．设的边长为，点． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列，记的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设，因为为正三角形，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立得， 因为，所以，故，即， 所以，故. 因为为正三角形，且，所以， 因为点在曲线上，所以， 整理得，解得， 所以． （2）由，得的横坐标为，纵坐标为， 因为在曲线上， 所以，即，故， 两式作差得，， 因为，所以，即， 由可得，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以． （3）由（2）得，， 因为，所以，故， 当时，， 当时， ． 变式3．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列满足．记（）． (1)计算，并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设， ， ，且， 数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知，则， ． . 变式4．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，令，则有，则， 由可得， 当时， 两式作差可得，且，则， 则，即， 可得， 故是以1为首项，1为公差的等差数列，则. （2）由于， 那么 ， 因，则， 设，则，则，故， 故， 所以. 综上可得，. 考点二 数列最值问题 【知识点解析】 1.求数列最值的方法 （1）二次函数法 （2）基本不等式法 （3）三角函数法 （4）判别式法 （5）分离常数法 （6）函数单调性法（求单调性的方法有导数法、作差法、作商法、换元法） 2.把数列视为函数，利用函数单调性法求函数最值时，需要注意定义域为正整数！ 【例题分析】 例1．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）数列各项均为正数，其前项和为，且满足 (1)求证：是等差数列，求及； (2)设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 【答案】(1)证明见解析，， (2)，正整数的最大值为 【详解】（1），当时，， 整理得，，又， 数列为首项和公差都是的等差数列. ，又，， 时，， 又适合此式， 数列的通项公式为. （2）， ， 随着逐渐增大，逐渐增大， ，依题意有，，即，解得， 故所求最大正整数的值为. 例2．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为，所以①， 当时，②， 则得，， 整理得， 又数列为正项数列，即， 所以，即，即公差； 当时，有，又，则，解得. 综上，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，其通项公式为. （2）证明：由（1）可知，则， 所以， 综上，. （3）由（1）可知，令， 则， 所以 ， 所以，即在上递减， 所以， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 例3．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知正项数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，． ①求； ②设，若不等式恒成立，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)① ；②3 【详解】（1）当时，，即， ，， ，当时，， 两式作差可得， 即，， ，， 是以为首项，1为公差的等差数列， ． （2）①由（1）可知，，， ， 当时，，即， ． ②易知， 记，， 则， 且， ， ， 不等式等价于，即， （方法一）令，则，由， 解得，或（舍去），易知， 使得成立的正整数的最小值为3， 使得不等式恒成立的正整数的最小值亦为3． （方法二）由，可得， 令函数，易知在区间上单调递增， 显然，使得不等式成立的正整数的最小值为3， 使得不等式恒成立的正整数的最小值亦为3． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得，解得． 所以． （2）因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 变式2．（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. （2）由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 变式3．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； （2）由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述. 变式4．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列. （2）又（1）可得，， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以 （3）由（1）可得，， 所以，即， 记， 因为， 所以时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 考点三 数列新定义问题 【知识点解析】 1.新定义问题的方法和技巧： （1）解决新定义问题的基本方法 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求 （2）实用技巧 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义 【例题分析】 例1．（2025·安徽·模拟预测）若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 【答案】(1)数列是“可拆数列”，理由见解析； (2)或 (3)的最小值为，最大值为 【详解】（1）数列是“可拆数列”. 理由如下：假设数列是“可拆数列”. 设，当，取， 则， 即存在，使得， 则数列是“可拆数列”. （2）设等比数列的公比为，则，因为是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 于是即， 又，所以， 解得或， 当或时，，即， 于是对任意，总存在， 使得， 所以数列的通项公式为或 （3）因为数列是“可拆数列”，则对任意， 当时， 当或时，因为数列为递增数列，所以 综上，对任意，都有 又，所以，， ，，， ，， ，. 又，又数列为递增数列，所以， 当以上格式等号同时成立时，故 因为数列是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 而，所以对任意的，必存在，使得， 又数列为递增数列，， 则， 解得，由，得， 当时取等号，故 综上所述，使成立的的最小值为，最大值为. 例2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）等差数列是“”数列，， ，存在，. （2）正项数列是“”数列，， ，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， . （3）由“”数列定义知：，又，， 令，则，故，且，且， ，； 若，则恒成立，则， 若，则 ， 因为存在三个不同的数列为“”数列， 故有解，故有解且解不为1， 由双勾函数的单调性可得， ，即实数的取值范围为. 例3．（25-26高三上·河北·月考）对于数列，记，，称数列为数列的差分数列. (1)已知，证明：的差分数列为等差数列； (2)已知的差分数列为，，求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以. 所以是等差数列. （2）由， 得. 又因为， 所以当时， ， 当时，也满足上式， 所以. 例4．（24-25高二下·上海·阶段练习）定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. (1)若 ，证明:数列 是 数列； (2)设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； (3)设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)数列是数列，理由见解析 【详解】（1）解：（1）由得， 所以数列满足． 单调递减， 所以当时，取得最大值0，即． 所以，数列是T数列． （2）由， 得， 当，即时，，此时数列单调递增； 而当时，，此时数列单调递减； 因此数列中的最大项是， 所以的取值范围是． （3）假设数列是数列，依题意有： ， 因为，所以当且仅当小于的最小值时， 对任意恒成立， 即可得． 又当时，，，故， 综上所述：当且时，数列是数列． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·上海普陀·期末）定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. (1)若，试举反例说明数列不是数列； (2)若，证明:数列是数列； (3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 【答案】(1)说明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）数列，当时，，所以不存在使，所以数列不是数列； （2）由，得 所以数列满足. 又，当或5时，取得最大值，即. 综上，数列是数列. （3）因为， 所以当即时，，此时数列单调递增 当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是， 所以，的取值范围是 变式2．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，21，31….为“二阶等差数列”. (1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由； (2)若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求； 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【详解】（1）因，则， 故， 是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”. （2）由题意是“一阶等差数列”， 又首项为1，公差为3，故， 则 ， 又满足上式，故. 则 “二阶等差数列”的通项公式为. 变式3．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习）对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，2，4，5，7，8与9互质） (1)求，，的值； (2)已知数列满足，求的前项和； (3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以， 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即， （2）由（1）可知， 两式相减得 （3）由（2）可知 ， 得 恒成立， 令 ， 则 ， 可得 ， 当 时，，当时，， 所以的最大值为， 故 变式4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得． (1)求； (2)求证：是等比数列； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）时，显然；时，“2元全错位数列”只能是2，1，所以． （2）当时，为了得到“n元全错位数列”，我们分两步来完成正整数1，2，3，…，n的排列： ①将正整数n放到第m（）个位置，有种排法； ②考虑正整数m，有两种放法． 若放到第n个位置，则余下个正整数放到余下个位置，有种排法； 若不放到第n个位置，这时对于这个正整数，共有种排法． 所以， 所以， 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）知， 等式两边同除得， 由累加法得， 则， 即， 则． 课后提升训练 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）在数列中，对于任意的，都有（，为非零常数），则称数列为“－数列”．已知数列是“－数列”，且，． (1)证明：数列是常数列． (2)若数列是“－数列”，且，． （i）求数列的前项的和． （ii）若，是否存在非零常数，，使得数列为“－数列”？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析. 【详解】（1）由数列是“－数列”，得当时，， 整理得在，而，，即， 因此，所以数列是常数列. （2）（i）由数列是“－数列”，得当时，， 即，又，因此是首项为1，公差为2的等差数列， 则，令， 于是， 所以. （ii）由（1）知，而，则数列是首项为1，公比为3的等比数列，， ，即， 则， 两式相减，得 ，因此， 假设存在非零常数，使得数列为“－数列”，即当时，， 即，恒成立， 则，且对恒成立， 即，恒成立，于是，而此方程组无解， 所以不存在非零常数，使得数列为“－数列”. 2．（2025·河南·一模）数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）设数列，则 ， 由，得， 所以， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 因此，解得，所以满足题意的最小正整数. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的公比，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记， （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1），，又，， 解得：或，，， ，解得：，. （2）由（1）知：； （i），， ， . （ii）令， ， 当时，；当时，； ， 若不等式恒成立，则， 即实数的取值范围为. 4．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）已知数列是公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设表示不大于x的最大整数，求数列的前100项和； (3)设，数列的前n项和为，证明：且. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由条件可知，， 所以数列是公差为2，首项为3的等差数列， 则，所以； （2）因为，所以，所以， 所以数列的前100项和为； （3）， ， ， ，即证. 5．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的各项互不相同，且 ， 若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意， 都有则称数列A具有性质T. (1)若，写出所有具有性质T的数列A； (2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T； (3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）所有具有性质的数列有 （2）证明：因为数列具有性质，所以对任意都有 所以即 由的任意性可得，是的单调递增排列， 所以数列即为，此时， 所以对任意的，都有所以数列具有性质. （3）（i）假设， 由已知，所以， 又因为，所以， 依此类推，若，则 ①若，则满足条件的数列为，只有一个； ②若，则，所以， 此时满足条件的数列为，只有一个； ③若，只要是的满足条件的一个数列，就可以相应得到满足条件的一个数列， 此时满足条件的数列有个 . （ii）假设，只要是的满足条件的排列，此时满足条件的数列有个. 综上，， 又因为时，， 上面两式相减得，时，. 所以对任意，都有，所以数列是等比数列. 6．（25-26高二上·福建宁德·期中）数学教材人教A版选择性必修第二册第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，.其中“互素”是指两个或多个整数的最大公因数为1，即这些整数除了1之外没有其他公因数. (1)求的值. (2)已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)①；②. 【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以， 因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有，所以； （2）①所有不超过正整数的正整数有个， 其中与不互素的正整数有，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为， 即， 所以， 所以， ， 两式相减得， 所以； ②由①可知，所以， 所以由不等式得恒成立， 令，则， 所以可得， 当时，，即， 所以的最大值为， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $