奇偶数列问题、数列插项问题、取整数列问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学数列提升复习讲义通过表格梳理考点目录，系统构建奇偶数列、插项、取整数列三大模块知识体系。各考点以“知识点解析+例题分析+变式训练”分层呈现，如奇偶数列问题明确分类讨论与并项求和两种思路，用框架图归纳常见等差等比模型，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养培养，例题选自多地期中、模拟题，如取整数列问题结合高斯函数性质，引导学生用数学思维分析递推关系，变式训练覆盖基础与提升题型。课后提升训练整合综合应用，帮助不同层次学生掌握分类讨论、模型构建等方法，助力教师实施精准复习教学。

数列提升：奇偶数列问题、数列插项问题、取整数列问题讲义 数列提升：奇偶数列问题、数列插项问题、取整数列问题讲义 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 取整数列问题 考点一 奇偶数列问题 【知识点解析】 1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为. 思路一：分类讨论 (1) (2)若为偶数，则 (3)若为奇数，则 思路二：并项求和 (1)记 (2) (3)若为偶数，则 (4)若为奇数，则 2.常见奇偶数列模型 (1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 例2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)求的前2n项和； (3)求满足不等式的正整数n的取值集合. 例3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列满足求数列的前项和． 变式2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 变式3．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 变式4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 考点二 数列插项问题 【知识点解析】 1.数列插项问题 （1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型. （2）常见插项问题 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列， 记这个等差数列的公差为，则，整理的. ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列， 记这个等比数列的公比为，则，整理的. ③在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·吉林延边·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求，； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值. (3)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列满足，，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）； (3)求使不等式对一切均成立的最大实数． 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知等比数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 变式2．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 变式3．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列. (1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式； (2)记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 变式4．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值． 考点三 取整数列问题 【知识点解析】 取整函数的定义及性质 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最早由高斯引人，故得名)因为任意实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,故，这里为的整数部分，而为x的小数部分，通常记作. 由和的定义,我们可以分别画出、的图象(此处略),结合它们的图象，容易证明取整函数具有下列基本性质： 性质1：的定义域是，值域是;的定义域是，值域是. 性质2：是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；是以1为周期的周期函数，且的充要条件是，的充要条件是. 性质3：. 性质4：若，则. 性质5： 性质6：若，则有. 性质7：，若，则，. 性质8：设，为整数，，若,则，. 性质9：设，为正整数，则在不超过的正整数中, 的倍数共有个 性质10：若，则 【例题分析】 例1．（2025·江西·二模）数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，． (1)分别求函数和的值域； (2)若，求函数的值； (3)若数列满足：是数列的前项和，求的值． 例2．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列．设，用[x]表示不超过的最大整数，例如，函数被称为高斯函数． (1)若，求的值； (2)若，请写出数列的一个通项公式并说明理由（请用高斯函数表示）； (3)已知，求的值． 例3．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数.设的递归函数为. (1)若，证明：为递减数列； (2)若，且的前n项和记为. ①求； ②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如，，求. 例4．（2025·河北保定·三模）我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数称为高斯函数，又称取整函数，现定义，例如，.设无穷数列满足：，其中，. (1)若，求，，； (2)若，且无穷数列是常数列，求满足要求的的个数； (3)对任意给定的有理数，求证：，使得. 【变式训练】 变式1．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 变式2．（2024·河南新乡·三模）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． (1)求的值； (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 变式3．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）设数列的前项和为，对于任意的恒成立，且． (1)求的通项公式； (2)若，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，求数列的前200项和． 课后提升训练 1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，. (1)求. (2)证明：数列是等比数列. (3)求的个位数. 2．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 3．（24-25高三上·天津·期中）已知等差数列，等比数列 (1)求的通项公式. (2)，求. (3)任意，在和之间插入个相同的数构成一个新数列，若给定一个，这个新数列项数满足（）.求这个新数列前项的和（用表示） 4．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知为等差数列，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)记的前n项和为，求证：（）； (3)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列提升：奇偶数列问题、数列插项问题、取整数列问题讲义 数列提升：奇偶数列问题、数列插项问题、取整数列问题讲义 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 取整数列问题 考点一 奇偶数列问题 【知识点解析】 1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为. 思路一：分类讨论 (1) (2)若为偶数，则 (3)若为奇数，则 思路二：并项求和 (1)记 (2) (3)若为偶数，则 (4)若为奇数，则 2.常见奇偶数列模型 (1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列公差为， 由题意， 所以， 所以； （2）当时， ， 当时， ， 综上； （3）由题意：公比， 所以， 则， 记， 所以 . 例2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)求的前2n项和； (3)求满足不等式的正整数n的取值集合. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）依题意，，即有，而， 因此数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则有. （2）因为， 所以 . （3）由（2）知，，， 由，得，即，设， 则， 显然， 当时，，即， 即数列从第3项起是递减的， 因为，则当时，有， 所以正整数的取值集合为. 例3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为数列满足，且，则， 所以， 故，且， 因此数列是等比数列. （2）当为偶数时，设，则， 由（1）可知，则， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，设，则，， 此时 ， 当为奇数时，设，则， 此时 ， 综上所述，. （3）由（2）可知， 假设数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列， 且有，不妨设，则， 所以， 整理可得， 等式两边同时除以，得， 因为为偶数，为奇数，等式不成立， 故数列中不存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列. 例4．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），当时，, 当时， 两式相减得，得， 因为，所以， ， 为等差数列，； （2） 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列满足求数列的前项和． 【答案】 【详解】若为奇数， 则 ； 若为偶数， 则． 所以 变式2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2）当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 变式3．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则， 因为，， 所以，解得或（舍去） 所以，； （2）， . 变式4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)10170. 【详解】（1）由，，得， 则，而， 所以数列是等比数列. （2）由（1）得，，所以数列的通项公式. （3）由（2）得，， . 考点二 数列插项问题 【知识点解析】 1.数列插项问题 （1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型. （2）常见插项问题 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列， 记这个等差数列的公差为，则，整理的. ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列， 记这个等比数列的公比为，则，整理的. ③在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·吉林延边·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求，； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值. (3)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)6 (3)存在，的最小值为4 【详解】（1）当时，且，解得， 当时，， ∴， 即，则， ∵，则，所以， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 设数列的公比为，则， 即，解得：，所以； （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1； 在5和6之间插入个1， 因为，且， 故中； （3）， 故， 由于，故对于恒成立，则， 当，2，3时， , 而当时，单调递增，且， 故当正整数满足时，恒成立，故正整数的最小值为4. 例2．（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意，当时，有；当时， 联立方程，解得或（舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程，解得， 所以数列的通项公式． 综上，，. （2）因为， 所以...①， ①×3得，...②， ①-②得，， ， 化简得：. （3）由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 例3．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列满足，，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）； (3)求使不等式对一切均成立的最大实数． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1），，（非0常数） 是以4为首项，2为公比的等比数列， ， ①   ②，， ：，（） 令，成立，． （2）           … 1个   3个   5个   7个   个 2      4     6       8    第个共个数，则 ， 当时， ． （3）令， 则由对一切均成立， 可得对一切均成立， 令（）， 所以 又，  所以单调递增， ，，． 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）设数列的公比为. 因为成等差数列，所以， 即， 因此，而，所以. 又，所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， 所以， 所以. （3）由题意知， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 . 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去. 综上所述，满足题意的正整数仅有. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知等比数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【详解】（1）设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. （2）不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 变式2．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 【答案】(1) (2)14337 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以，. 当时，上式亦成立， 所以：. （2）由. 所以新数列前55项中包含数列的前10项，还包含，，，，，，，，. 且，，， . 所以 . 设 则， 所以. 故：. 所以. 变式3．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列. (1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式； (2)记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数， 所以有，又， 所以 . （2）由，得， 两式相减得，则， 因为为等比数列，则公比为， 当时，，解得， ，则， ，， ， ， 则， 两式相减，得 ， . 变式4．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值． 【答案】(1)， (2)55 【详解】（1）由题意，得， 又时，，符合题意，所以. 设数列的公比为，又，， 即，解得，所以. （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1； 在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1； 在4和5之间插入个1， 此时刚好有45项，则. 所以的值为55. 考点三 取整数列问题 【知识点解析】 取整函数的定义及性质 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最早由高斯引人，故得名)因为任意实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,故，这里为的整数部分，而为x的小数部分，通常记作. 由和的定义,我们可以分别画出、的图象(此处略),结合它们的图象，容易证明取整函数具有下列基本性质： 性质1：的定义域是，值域是;的定义域是，值域是. 性质2：是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；是以1为周期的周期函数，且的充要条件是，的充要条件是. 性质3：. 性质4：若，则. 性质5： 性质6：若，则有. 性质7：，若，则，. 性质8：设，为整数，，若,则，. 性质9：设，为正整数，则在不超过的正整数中, 的倍数共有个 性质10：若，则 【例题分析】 例1．（2025·江西·二模）数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，． (1)分别求函数和的值域； (2)若，求函数的值； (3)若数列满足：是数列的前项和，求的值． 【答案】(1)，的值域为整数集 (2) (3) 【详解】（1）由于，所以， 由于函数的值域为，所以的值域为整数集； （2）令，则，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，又，， 所以当时，，当时，． 由于恒成立，并且当时，，当时，． 故当且时，，当时，． 所以 （3）令，则在上单调递减，且， ，所以 依次可得：， 令，则在上恒成立． 所以在上单调递增， 故，又， 所以当为偶数时， 即， 故； 当为大于1的奇数时， 即，故． 所以 例2．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列．设，用[x]表示不超过的最大整数，例如，函数被称为高斯函数． (1)若，求的值； (2)若，请写出数列的一个通项公式并说明理由（请用高斯函数表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)（为常数，且），理由见解析 (3) 【详解】（1）由数列的定义可知，在数列的前29项中去掉与数列相同的项1，2，4，8，16， 可得，因为，所以的值为4. （2）当时，数列为， 当时，， 由，得为常数，且， 其中（为常数，且）， 因此为常数，且， 所以数列的通项公式为（为常数，且）． （3）因为对任意且，都有， 则 ， 所以，即数列单调递减，则． 又因为， 所以对任意的，都有． 由数列单调递减，且，可得， 则当时，，即，当时，，即． 故 例3．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数.设的递归函数为. (1)若，证明：为递减数列； (2)若，且的前n项和记为. ①求； ②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如，，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）若，显然， 又，所以，…， 所以，因为， 所以， 所以，所以是递减数列； （2）①由题意得， 又，所以，所以， 所以是以为首项，6为公比的等比数列， 则； ②由①得所以， 当时，，所以； 当时，， 所以当时，， 所以当时，， 又，所以， 所以，所以， 所以. 例4．（2025·河北保定·三模）我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数称为高斯函数，又称取整函数，现定义，例如，.设无穷数列满足：，其中，. (1)若，求，，； (2)若，且无穷数列是常数列，求满足要求的的个数； (3)对任意给定的有理数，求证：，使得. 【答案】(1)， ， (2)4 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得，， ； （2）若无穷数列是常数列，则，所以； 若，则，，，所以无穷数列是常数列. 由，得.当，即时，，即，解得或，又，所以； 当，即时，， 即，解得或，又，所以； 当，即时，， 即，解得或，又，所以； 当，即时，， 即，解得或，又，所以. 综上所述，满足要求的的个数是4； （3）因为是有理数，所以是有理数，且， 又，所以也是有理数，且， 所以对任意，是有理数，且， 若，则，使得，结论得证； 若，可设，其中，，且互质，由，得， 由可设，其中，，，所以，由，得， 又，所以，所以， 当时，，所以，使得. 当时，，又因为，，且，互质，所以. 所以数列单调递减. 因为是给定的有理数，所以是定值，又，，，且，互质，所以是定值且为正整数， 设，若，，，都不等于0，则， 所以，，，，是互不相等的个正整数，且都不大于，但不大于的正整数只有个，矛盾. 所以，，，中必然有等于0的项，即，且，使得，结论得证. 综上所述，，使得. 【变式训练】 变式1．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，将两式相减，得：， 所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列. 当为奇数时，，，……，且， 则， 当为偶数时，则， 所以. （2）设的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 变式2．（2024·河南新乡·三模）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． (1)求的值； (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 【答案】(1)，； (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）由，得，则， 所以； 由，得，则， 所以. （2）①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而，则当时，，设， 此时，即； 当时，，设， 此时，即， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以. ②由，得，则为递增数列，， 当时，， 则 ， 所以对任意的，都有. 变式3．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）设数列的前项和为，对于任意的恒成立，且． (1)求的通项公式； (2)若，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，求数列的前200项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得对于任意的，数列均满足， 即可得数列是公差为的等差数列， 设数列的首项为， 由可得，解得； 所以可得， 即的通项公式为 （2）易知； ，； ，，； ，，； ，，； ，，； 所以数列的前200项和. 课后提升训练 1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，. (1)求. (2)证明：数列是等比数列. (3)求的个位数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）将代入， 得. （2）由题可得为正整数，则， 所以数列为递增数列， 当时，. 当时，，即， 所以，即. 由. 结合，均为正整数，可得，其中， 而，故，其中. 所以，由，得， 所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可得，， ， 因为为10的倍数， 所以，故的个位数为4. 2．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）当时，， 当时，，即. 又 所以数列是1为首项，2为公比的等比数列，所以； （2）（i）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则为新数列的第1项，为新数列的第项， 即，即； （ii）①， ②， ①一②得，， ， ， 所以. 3．（24-25高三上·天津·期中）已知等差数列，等比数列 (1)求的通项公式. (2)，求. (3)任意，在和之间插入个相同的数构成一个新数列，若给定一个，这个新数列项数满足（）.求这个新数列前项的和（用表示） 【答案】(1)；. (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，解得， 所以，则； 由，得， 则，解得，则. 故的通项公式为；的通项公式为. （2）当为奇数时， ； 当为偶数时， . 则 ； 设， 则， 两式相减得， ， 则， . 故. （3）设新数列中是第项， 由题意，在之前插入依次插入个数， 再加上原数列共项， 可得， 则新数列中是第项，是第项.. 由， 故第项在之间插入的数中，即， 即新数列前项中，从第项到这一项共项， 则与之间还有项， 则新数列前项中原等比数列的各项之和为 . 新数列前项中所有插入项之和为 . 下面先求数列的前项和. ①当为偶数时，则，都为奇数， 因为， 则 ， 所以新数列前项中所有插入项之和为 ； 所以这个新数列前项的和； ②当为奇数时，则为偶数，为奇数， 则数列前项和即为前项之和减去第项， 则 ， 所以新数列前项中所有插入项之和为 ； 所以这个新数列前项的和； 综上所述，这个新数列前项的和. 4．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知为等差数列，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)记的前n项和为，求证：（）； (3)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和． 【答案】(1)； (2)证明过程见详解 (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，解得， 故等差数列的通项公式为， 又，，，解得， 故等比数列的通项公式为. （2）由（1）可得，故， ， ， （3）由题意得，当为奇数时， 当为偶数时，对任意的正整数，有，   ①， 由①得   ②， 由①②错位相减可得， 从而得，. 数列的前2n项和为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $