第四章 数列中的分奇偶问题讲义- 2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义聚焦数列中的分奇偶问题，通过框架梳理构建知识体系，明确四类常见题型，包括连续两项和积问题、分奇偶通项、含(-1)ⁿ及三角函数结合型，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与分类讨论方法指导，如题型一通过aₙ＋aₙ₊₁＝4n-3分奇偶项求和，培养学生逻辑推理与数学抽象素养。例题与精练结合，基础生掌握方法，优秀生深化思维，助力教师实施精准教学。

4.6 数列中的分奇偶问题 【知识储备】 数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)通项公式分奇、偶项有不同表达式； (3)含有(－1)n的类型； (4)已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题． 【题型精讲】 【题型一　an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)型 】 例1　（an·an＋1＝f(n)）在数列中，已知，，记为的前n项和，，． (1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列的通项公式． 例2　（an＋an＋1＝f(n)）已知数列满足. （1）若数列是等差数列，求的值； （2）当时，求数列的前项和； （3）若对任意，都有成立，求的取值范围. 【题型精练】 1．数列中，，，其中为常数. （1）若成等比数列，求的值； （2）若，求数列的前项和． 2．已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式． 3．已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. (1)证明：； (2)若，求； (3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 【题型二　 an＝类型 】 例1　等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前项和. 例2　已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 　 【题型精练】 1．已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 2．已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． (1)求与的通项公式； (2)数列的前n项和，求及的最小值和最大值； (3)设，求． 3．已知数列,. (1)求证:数列为等差数列; (2)若,数列,记数列的前2n项和为,求. 4．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．已知等差数列与等比数列满足，，. (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和.求 6．已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，． (1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和，并证明． 8．已知数列满足 ． 记 ， (1)计算,并证明数列为等比数列； (2)求数列的前项和 ； (3)设，且数列的前项和为，求证： ． 9．已知数列满足记. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)设，记数列的前项和为，求证：. 10．在数列中，,对任意正整数 (1)记,证明：为等比数列； (2)求的通项公式及其前项和． 【题型三　含有(－1)n的类型 】 例1　（含有(－1)n型）已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 例2　（结合裂项相消）已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 例3　（给递推关系）已知数列的前项和为，，则 . 【题型精练】 1．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 2．已知在数列中，． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 3．已知数列满足，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明为等差数列； (3)若，求数列的前n项和. 4．在数列中，，，且，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 5．数列满足，前16项和为668，则 . 【题型四　三角函数结合分奇偶型 】 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋2)(an－1)，n∈N*. (1)证明：数列为常数列，并求an； (2)令，求数列{bn}的前n项和Tn. 【题型精练】 1．已知数列{an}的通项公式是＝sin，则＝(　　) A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和为，， ，数列 的前n项和为，若对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是 ． 4.6 数列中的分奇偶问题 【知识储备】 数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)通项公式分奇、偶项有不同表达式； (3)含有(－1)n的类型； (4)已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题． 【题型精讲】 【题型一　an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)型 】 例1　（an·an＋1＝f(n)）在数列中，已知，，记为的前n项和，，． (1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是等比数列， (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，公比为的等比数列， 所以. 例2　（an＋an＋1＝f(n)）已知数列满足. （1）若数列是等差数列，求的值； （2）当时，求数列的前项和； （3）若对任意，都有成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）若数列是等差数列，则＝＋(n－1)d，＝＋nd． 由＋＝4n－3，得(＋nd)＋[＋(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，－d＝－3， 解得d＝2，＝． （2）由＋＝4n－3(n∈)，得＋＝4n＋1(n∈)． 两式相减，得－＝4． 所以数列是首项为，公差为4的等差数列． 数列是首项为，公差为4的等差数列． 由＋＝1，＝2，得＝－1． 所以． ①当n为奇数时，＝2n，＝2n－3． ＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋ ＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝． ②当n为偶数时，＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝． 所以． （3）由（2）知，． ①当n为奇数时，＝2n－2＋，＝2n－1－． 由≥5，得－≥＋16n－10． 令＝＋16n－10＝＋6． 当n＝1或n＝3时，＝2，所以－≥2． 解得≥2或≤－1． ②当n为偶数时，＝2n－3－，＝2n＋． 由≥5，得＋≥＋16n－12． 令＝＋16n－12＝＋4． 当n＝2时，＝4，所以＋≥4． 解得≥1或≤－4． 综上所述，的取值范围是． 【题型精练】 1．数列中，，，其中为常数. （1）若成等比数列，求的值； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由可得 所以，， 又成等比数列， 所以，即，又，故. （2）时， 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 2．已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式． 【答案】(1). 【详解】（1），，， ∴当为奇数时，； 当为偶数时，． ∴数列的通项公式为 3．已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. (1)证明：； (2)若，求； (3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）数列的各项均为正数，，则， 两式相减，整理得，而， 所以. （2）解法1：当时，由（1）得， 则，， 于是，数列是公差为6的等差数列， 由，，得，则， . 解法2：由，，得， 当时，由（1）得， 因此数列的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列， 偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列， . （3）由，，得， 由（1）知：，则， 假设存在使得数列为等差数列， 则，即，解得， 下面证明：当时，数列为等差数列. 由，，， 得数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， 因此，， 所以存在使得数列为等差数列，. 【题型二　 an＝类型 】 例1　等差数列的前项和为，等比数列中，. (1)求和. (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为，设等比数列的公比为， 所以. 公差. . ，公比. （2）易知，， 则 例2　已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【题型精练】 1．已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得， 解得或，又，所以舍去， 所以，. （2）由（1）得，，所以， 所以， 即， ， 两式相减得， 则 整理得. （3）由，，得， 所以， 设， 则 设， 则 所以． 2．已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． (1)求与的通项公式； (2)数列的前n项和，求及的最小值和最大值； (3)设，求． 【答案】(1)， (2)，最小值为，最大值为 (3) 【详解】（1）由，则， 故，即， 当时，，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； ，则数列的公差为，故； （2）， 则， 当为偶数时，，随的增大而增大， 当为奇数时，，随的增大而减小， 故当时，有最小值， 当时，有最大值； （3）由， 则 ， 则， 则， 故 ， 则. 3．已知数列,. (1)求证:数列为等差数列; (2)若,数列,记数列的前2n项和为,求. 【答案】(1)见解析过程 (2) 【详解】（1）由①,得②, ②①得:, 即, 数列为等差数列. （2）设数列的公差为, 当时,,又,且数列为等差数列, , , , 则 . 4．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）对数列，因为数列为等差数列，可设公差为， 由题意：，所以， 所以； 对数列，因为 ， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以 . （2）因为 . ， 所以 . 5．已知等差数列与等比数列满足，，. (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和.求 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）记公差为，公比为， 则，， 故， 则 即， 故，解得，故，. （2）由， 当为偶数时， ， 而， 两式相减，可得到 ， 故此时； 当为奇数时， ， 于是. 6．已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意，，A选项正确. ，所以B选项错误. 当为偶数时，， 所以，而，所以， 所以 ，所以C选项正确. 当为奇数时，， 所以，而，所以， 所以 ， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD 7．已知数列满足，． (1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和，并证明． 【答案】(1)证明见解析；. (2)；证明见解析. 【详解】（1）证明：由题意可知，， 所以数列是首项，公比为6的等比数列. 于是. （2）由题意可知，，所以 . 又， 令， ， 所以数列单调递增，故，即. 8．已知数列满足 ． 记 ， (1)计算,并证明数列为等比数列； (2)求数列的前项和 ； (3)设，且数列的前项和为，求证： ． 【答案】(1)，证明见解析； (2) ； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题可得 ， ， 又 ， 所以，数列为以为首项，为公比的等比数列． （2）由( 1 )可知 ，又 ， ． 设， 则 设 ， ， 故 ． （3） ， 成立. 故 成立. 9．已知数列满足记. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)设，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）证明：因为， 所以， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2） （3） 10．在数列中，,对任意正整数 (1)记,证明：为等比数列； (2)求的通项公式及其前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）因为，且， 则， 可得， 且，可知， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得,所以， 所以， 又以为，则， 所以， 则， 所以 ． 【题型三　含有(－1)n的类型 】 例1　已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，当时，可得； 因为当时，有， 所以，整理得， 所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以， 因为数列的各项均为正数，所以. （2）由（1）知，当时，． 当时，成立，所以． 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 例2　（结合裂项相消）已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵等差数列为递增数列，∴， ∵，即，∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∴， ∴数列的前n项和 . 例3　（给递推关系）已知数列的前项和为，，则 . 【答案】210 【详解】由， 当为奇数时，为偶数， 则，， 两式相减得； 当为偶数时，为奇数， 则，， 两式相加得. 则 . 故答案为：210. 【题型精练】 1．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 2．已知在数列中，． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为，由题意知， 所以，即， 故数列是以为公差的等差数列． 又，所以， 所以，即． （2）， 则， ． 3．已知数列满足，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明为等差数列； (3)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【详解】（1）由，可得，，且， 则当时， . 又时也满足上式，故. （2）∵，∴， ∴是公差为1，首项为1的等差数列. （3）由（2）得，即. 当时， 数列的前n项和 . 当时， 数列的前n项和 . 所以，. 4．在数列中，，，且，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当n为偶数时，可得； 当n为奇数时，可得，即数列的偶数项成公比为3的等比数列，奇数项都为1， 由求和公式可得， 故选：C 5．数列满足，前16项和为668，则 . 【答案】 【详解】由， 当为奇数时，有， 可得， ， 累加可得； 当为偶数时，， 可得，，，， 可得，, ， ，即． 故答案为：． 【题型四　三角函数结合分奇偶型 】 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋2)(an－1)，n∈N*. (1)证明：数列为常数列，并求an； (2)令，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】(1)证明见解析，an＝2n＋1； (2)Tn＝ 【详解】（1）因为2Sn＝(n＋2)(an－1)①， 所以当n≥2时，2Sn－1＝(n＋1)(an－1－1)②， ①－②，得2an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1－1，即nan－(n＋1)an－1＝1. 等式两边同除n(n＋1)，得， 整理得＝，所以数列为常数列. 又，所以， 则＝＝2，所以an＝2n＋1. （2）由（1）可得， 所以， 则, ①当n＝2k，k∈N*时， Tn＝(－22－1)＋(23＋1)－(24＋1)＋…＋(－2n－1)＋(2n＋1＋1) ＝－22＋23－24＋25＋…－2n＋2n＋1 ＝22＋24＋…＋2n＝(2n－1)； ②当n＝2k－1，k∈N*时， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(2n＋1－1)－(2n＋2＋1)＝－. 综上所述，Tn＝. 【题型精练】 1．已知数列{an}的通项公式是＝sin，则＝(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】= ,选B. 2．已知数列的前n项和为，， ，数列 的前n项和为，若对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】(－∞，－5] 【详解】当n＝1时，a1＝3．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]＝2n+1．检验 n＝1时也成立，∴an＝2n+1． ∴bn＝anan+1cos（n+1）π＝（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π， 当n为奇数时，cos（n+1）π＝1；n为偶数时，cos（n+1）π＝﹣1． 所以当n为奇数时，Tn＝3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+（2n+1）（2n+3）＝3×5+4×（7+11+…+2n+1）＝15+4×＝2n2+6n+7．Tn≥tn2对n∈N*恒成立， ∴2n2+6n+7≥tn2，∴t≤＋＋2＝7＋，∴t<2. 当n为偶数时，Tn＝3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣（2n+1）（2n+3）＝﹣4×（5+9+11+…+2n+1）＝﹣2n2﹣6n．∴Tn≥tn2对n∈N*恒成立，∴﹣2n2﹣6n≥tn2，∴t≤－2－，∴t≤－5. 综上可得：t≤﹣5． 故答案为（﹣∞，﹣5]． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $