数列前n项和的求解方法总结讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学数列前n项和求解方法复习讲义，通过考点目录表格系统构建知识体系，将公式法、裂项相消法等五种求和方法按“知识点解析-例题分析-变式训练”分层梳理，用表格归纳裂项模型、错位相减步骤等核心要点，清晰呈现各方法的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“方法-例题-变式”的三阶训练设计，如裂项相消法结合等差数列证明求和不等式，错位相减法通过步骤分解降低运算难度，培养数学思维与运算能力。基础题巩固公式应用，综合题提升逻辑推理，支持学生自主复习，助力教师实施分层精准教学。

数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 考点目录 公式法求数列前项和 裂项相消法求数列前项和 错位相减法求数列前项和 分组与并项求和法求数列前项和 倒序相加法求数列前项和 考点一 公式法求数列前项和 【知识点解析】 1. 已知数列为等差数列，公差为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 2. 已知数列为等比数列，公比为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 【例题分析】 例1．（25-26高三上·四川内江·阶段练习）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，若，求n的值． 【答案】(1)； (2)15 【详解】（1）由题意得，， 又因为， 则，又 解得，可得， 因此，. （2）由（1）得，， 由，得，即，解得． 例2．（25-26高二上·甘肃陇南·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【详解】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 例3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 【变式训练】 变式1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知等差数列的公差为，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使得的的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于， 故解得 所以. （2）由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以. 由，得， 即， 则，或， 又因为，所以的最小值为4. 变式2．（25-26高三上·上海松江·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)若，求的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，，成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由， 当时，， 则，即，而， 所以. （2）由，则，① 当时，，② ①②，得， 即， 即，所以数列是以1为公差的等差数列. （3）由（2）知，等差数列的公差， 因为，，成等比数列， 所以，则， 即，解得， 所以，函数开口向上，对称轴为, 而，所以或12时，取得最小值. 考点二 裂项相消法求数列前项和 【知识点解析】 1. 裂项相消法的基本原理 对于数列，若能将其通项公式拆分为（或）的性质， 则前项和. 2. 裂项的基本模型 （1）等差型：，其中. （2）无理型：，其中. （3）指数型： 3. 常见的裂项公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【例题分析】 例1．（25-26高三上·天津·期中）已知等差数列中，为其前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. （2）由（1）可得， 故. 例2．（2025·浙江宁波·一模）记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. （2）由题可得， 所以，又， 所以， 又也满足上式， 所以， 例3．（25-26高三上·河南·期中）已知等差数列满足，（为常数）. (1)求的值，并求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设的公差为，则. 所以， 所以，解得. 所以的通项公式为. （2）由（1）可得. 所以， 则 . 例4．（25-26高三上·山东德州·期中）已知数列是递增的等比数列，为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为，首项为，则，所以， 又因为数列是递增的等比数列，所以或（舍）， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 所以， 所以 ， 由于，所以，因此可得：， 所以，即. 例5．（25-26高三·广东深圳·阶段练习）记分别为数列的前项和，已知，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为①， 当时，，解得． 当时，②， 由 ①－②得， 即，所以． 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，所以． （2）由（1）可知， 从而， 因为，单调递增，则． 例6．（2025·四川泸州·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，当时，有， 用减去，根据， 可得：，即， 当时，， 又，所以，此时，满足， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，即， （2）由（1）可得， 又，所以，化简可得， 则， 所以． 所以数列的前项和为： ． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以. （2）由，得， 所以. 变式2．（25-26高三上·山东·期中）已知为数列的前n项和，且满足 (1)证明：数列为等比数列； (2)设数列 的前n项和为 ，证明： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由可知， 作差得，整理得， 当时，，可知， 即， 所以数列为以6为首项，2为公比的等比数列； （2）由上可知， 则， 所以， 即 易知单调递减，且， 所以，证毕. 变式3．（25-26高三上·四川泸州·阶段练习）已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题知数列是等差数列，则， ，，，， 由可得：，，， ，解得：. （2）由（1）知：，，， 则等差数列公差为， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； （3）证明：由（1）、（2）知 ， ，，. 变式4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）， 所以. 变式5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得时，， 解得， 时，，又， 两式相减可得， 即有， 数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以； （2）数列满足， 所以． 变式6．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用，，成等比数列列出关于公差的方程，再利用等差数列的通项公式即可； （2）利用（1）中的通项公式，利用分母有理化化简，最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列， 所以，解得：或 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（）， 则， 所以 . 考点三 错位相减法求数列前项和 【知识点解析】 1.错位相减法 错位相减法是数列求和的核心方法之一，专门用于解决「等差数列 × 等比数列」形式的数列求和问题（即 “差比数列” 求和）.其核心逻辑是通过 “乘以公比、错位对齐、相减消项”，将复杂的求和转化为等比数列求和，最终简化计算. 2.错位相减法的处理步骤 若数列且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为. （1）① （2）② （3）①-②得 （4）求和得 （5）化简得最终答案. （6）若已知,则，其中，.（不建议直接用） 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 例2．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的满足，. (1)求数列的通项公式. (2)设数列，前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以. （2）因为， 所以， 故， 两式相减得：， 所以. 例3．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 例4．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. （2）因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. （3）由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 【变式训练】 变式1．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1）由题设，则，整理得， 又， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则. （2）由，则， 所以， 所以， 所以. 变式2．（24-25高二下·湖南邵阳·阶段练习）已知数列满足，（），记. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和为. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，即， 得，即， 又，得， 故数列中任意一项不为0，有， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，则. （2）由（1）可知，，则， 所以，， 两式作差得， ， 所以. 变式3．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知是正项等比数列，且和是方程的两个不等实根． (1)求的通项公式； (2)若是递增数列，设，求数列的前项和． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1），解得或9， 故或， 设的公比为， 当时，，，解得， 所以； 当时，，，解得， 所以； （2）是递增数列，故， ， 所以①，②， 式子①-②得， 故. 变式4．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. （2）由（1），得， ∴数列的前项和 ∴   ∴ 所以 考点四 分组与并项求和法求数列前项和 【知识点解析】 1. 分组求和法： （1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为. （2）分别求与. （3）. 2. 并项求和法：对于数列，若其项满足相邻几项的和具有规律性（如和为常数、成等差或等比数列），则可将这些项两两（或三三）合并为一组，转化为对新数列的求和. （1）观察项的规律：分析数列项的符号、数值或周期特征，判断是否可合并（如正负交替、周期重复）。 （2）确定并项方式：根据规律选择两两并项、三三并项或按周期并项（如每 2 项、每 3 项一组）。 （3）处理奇偶项差异：若数列项数的奇偶性影响并项结果（如正负交替型），需分情况讨论。 （4）转化为新数列求和：将合并后的项视为新数列，利用等差、等比数列求和公式或其他方法计算。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·北京·月考）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. （2）. 所以 例2．（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故 . 例3．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）依题意，，当 时， ，当时， ， 则，，而，则， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式 （2）由（1）知， ，则 ， ， 所以 . 例4．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列的通项公式为，数列的前项和为. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） . 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 则，即，解得 ， 所以. 则 数列的通项公式为： （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 所以数列的前项和为 变式2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，， 由，得，又等差数列的公差是-2，则， 所以和的通项公式分别为，. （2）记和的前项和分别为，，则． 而，， 所以. 变式3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为， 所以，所以，所以，所以， 所以. （2）n是奇数时，；n是偶数时， ∴， 所以 变式4．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）等差数列的前和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前的和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得， 又，所以， ，因此数列的通项公式. （2）由得 所以数列的前的和． 考点五 倒序相加法求数列前项和 【知识点解析】 1. 倒序相加法 倒序相加法是数列求和的经典方法，核心灵感源于等差数列求和公式的推导，专门用于解决「首末两项之和为定值」的数列求和问题（即 “对称和相等” 的数列）.其本质是通过 “正序排列 + 倒序排列”，将数列各项两两配对，利用配对和为常数的特点快速求和. 2. 倒序相加法的处理步骤 （1）写出正序：. （2）写出倒序：. （3）两式相加： （4）若数列在满足的情况下，则. （5）所以 【例题分析】 例1．（25-26高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 例2．（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【详解】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 例3．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 故 故答案为： 例4．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，则 ． 【答案】158 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为：158 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 【答案】D 【详解】因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设， 则， 则， 则. 故选：D. 变式2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 变式3．（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【答案】1012 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 变式4．（24-25高二下·辽宁锦州·阶段练习）已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 ． 【答案】 【详解】解：已知，则： ， ， 所以， 则， 已知数列， ，， 数列的前2023项的和， 且， 两式相加，得， 故答案为：； 课后提升训练 1．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，. (1)证明：是等差数列，是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，， 则， 故，又，故， 有， 故数列是等差数列； ， 则，又， 故数列是以为公比，为首项的等比数列； （2）由数列是以为公比，为首项的等比数列，则， 又，则， 则. 2．（2025·广东清远·一模）设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由题，， 当时，， ，又， 所以， 所以是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1），， 则. 设数列，且，其前n项和为， 则， ， 两式相减可得， ， 则； 再设数列，且，其前n项和为， 则， 从而. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1），当时， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 由得， 整理得①，② ②-①得，即 即数列是等差数列，，，， （2） ， ， 两式相减， 即数列的前项和. 4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为.成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的通项公式，数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 当时，， ，， ，，成等比数列，，，解得， ，即符合的情况， . （2），①， 则②， ①②得：， . 5．（25-26高三上·山西太原·期中）已知数列满足． (1)求证：是等比数列； (2)设求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由数列满足 可得，即， 又由，可得，所以数列是以为首项公比的等比数列. （2）解：由（1）得，即，可得， 当为偶数时， ； 当为奇数时，， 综上可得，数列的前项和为. 6．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有． (1)求数列的通项公式 (2)记，数列前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，即：① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①-②得： 整理得， 由累乘法得：， 代入比值： 当时，，符合条件． 所以数列的通项公式为 （2）由，得， 所以前项和：． 因为，所以，，所以． 7．（25-26高三上·天津·期中）已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和为， (3)设，求数列的前项和为 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，，， 所以，，         ，， （2），              （3） 两式相减得      令              2 学科网（北京）股份有限公司 $数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 数列提升：数列前n项和的求解方法总结讲义 考点目录 公式法求数列前项和 裂项相消法求数列前项和 错位相减法求数列前项和 分组与并项求和法求数列前项和 倒序相加法求数列前项和 考点一 公式法求数列前项和 【知识点解析】 1.已知数列an}为等差数列，公差为d. (1)通项公式：an=a,+n-1d=am+(n-md. (2)前n项和：Sn=n·a +nn-ld-na+a】 2 2 2.己知数列an}为等比数列，公比为g· (1)通项公式：a。=a,g”=amg”-m。 a(1-g） (2)前n项和：Sn=了1-g 2,9≠1 na1,9=1 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 【例题分析】 例1.(25-26高三上四川内江阶段练习)己知{an}是公差为2的等差数列，{b}是公比为2的等比数列，满足 b2=a1-1,b3=a2-1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式： (2)记{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若Sn=Tg,求n的值. 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 例2.(25-26高二上甘肃陇南月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a=-7,S,=-9. (I)求{an}的通项公式； (②)求Sn,并求Sn的最小值. 例3.(25-26高二上甘肃兰州阶段练习)己知等比数列{an}的各项均为正数，4，=2，Sn为其前n项和，且 S1+2S2=S, (1)求数列{a}的通项公式： (2)若Sn=254,求n的值， 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 【变式训练】 变式1.(2025·浙江嘉兴.一模)已知等差数列an}的公差为d,前n项和为Sn,且S1。=310,So=1220 (I)求{an}的通项公式 ②设工为数列S 3 的前n项和，求使得T,>。an的n的最小值 n 2 变式2.(2526高三上上海松江·期中)记S,为数列a,的前n项和，已知2S+n=2a,+1. n (1)若a=1,求a2的值： (2)证明：数列{an}是等差数列； (3)若4，a,成等比数列，求Sn的最小值. 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 考点二 裂项相消法求数列前项和 【知识点解析】 1.裂项相消法的基本原理 对于数列{a},若能将其通项公式a,拆分为a,=bn1-b。(或an=b。-bn+1)的性质， 则前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an=(b2-b)+(b3-b2)+(b4-b)+.+(bn+1-bn)=bn+1-b 2.裂项的基本模型 m m1-,1）,其中2>4 (①)等差型：a,hn+元km+四元-um+uk+入 m (2)无理型：a.=m+元+√m+μ元-“ =m（m+元-√+)，其中元>“. m·a" m11 3)指数型：a,=(a+元a°+刀)a-a”+元a+元) 3.常见的裂项公式 111 (1) n(n+1)nn+1 (2) oa点】 1 (3) =Vn+1-/n √n+l+√n （4)2m+1+2n2 三=2m+i-2m-可) 2” 11 (5) (2”+1)(2m+1+1)2”+12++1 3” 111）】 (6) (3”+1)(3++1)23”+13+1 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 【例题分析】 例1.(25-26高三上·天津期中)已知等差数列an}中，Sn为其前n项和，a2=2,S,=28 (I)求数列{an}的通项公式： (2)证明： 1+1+1++1<1 aa,aa3 a;a anan+ 例2.(2025浙江宁波·一模)记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知4S。=a.+2a。-3 (1)求数列{an}的通项公式； ②若数列6满足么=1，么=品，求证：么+6+么+…+6< an+2 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 例3.(25-26高三上河南期中)己知等差数列an}满足41=1，aa=4n2+1（1为常数) (I)求1的值，并求{an}的通项公式； (2)求数列 1 的前n项和Sn antian 例4.(25-26高三上山东德州期中)己知数列{an}是递增的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a=8, S3=14. (I)求数列{an}的通项公式： ②设点产a2记数别6的前项相为工，求正：。红<号 a 1 6 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 例5.(25-26高三广东深圳阶段练习)记Sn,T,分别为数列{an},b.}的前n项和，已知9S,=12a,-4+1+4,且 2” bn= 2a,+Va· (1)求{an}的通项公式： (2)证明：2Tn≥√2-1. 例6.(2025·四川泸州一模)己知数列a}的前n项和为Sn,a,=2,且an1=2Sn+2n∈N. (I)求{an}的通项公式： 1 ②设61og,3,+11og,S+1,求数列，的前”项和7. 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三上·青海西宁·期中)已知等比数列an}的前n项和为Sn,且a,=4a4,S=42. (I)求数列{an}的通项公式： 1 (②)若b.=1og,a。10g2 一，求数列{bn}的前n项和T,. 变式2.(25-26高三上山东期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an-2n-2n∈N) (1)证明：数列{an+2为等比数列； 2” (2)设数列 的前n项和为工，证明：T,< anan+I) 12 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 变式3.(2526高三上四川沙州阶段练习)已知数列a,满足4=，1-a,a=},设=4，+a若对于任意 21,1 neN且n22,都有.b,b (1)求0的值； (2)求数列{bn}的通项公式bn. ③)求证：+++8u<n+ a az an 变式4.(2025广东佛山模拟预测)已知函数f(x=a-1(a>0且a≠1)的图象经过点(1,1，记数列an}的前n项和 为Sn,且S.=f(n. (1)求数列{an}的通项公式： 2-1 ②设。a,+川a+数列6的前”项和为工，求证：了<分 9 数列提升：数列前项和的求解方法总结讲义 变式5.(24-25高二下.黑龙江哈尔滨期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+3-3a,=0,n∈N (I)求{an}的通项公式： 3” ②诺ba,+a+求数列a的前”项和Z。 变式6.(24-25高二下·江西南昌期中)己知等差数列an}满足：a,=2,且a,a2,a4成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式： 1 2若等差数列a,}的公差不为零，且数列6，}满足：么，= 1 ,1。，求数列{b}的前99项和T o