2.1～2.2 简谐运动＆简谐运动的描述（专题训练） -【5大题型】2025-2026学年高二上学期物理同步知识点解读与专题训练（人教版选择性必修第一册）

2.1~2.2 简谐运动＆简谐运动的描述（专题训练） 【考点1 弹簧振子】 1 【考点2 弹簧振子的位移—时间图像】 2 【考点3 简谐运动的定义及特征】 4 【考点4 简谐运动的图像】 7 【考点5 弹簧振子模型】 10 【考点1 弹簧振子】 1．下列说法中正确的是（　　） A．弹簧振子的运动是简谐运动 B．简谐运动就是指弹簧振子的运动 C．简谐运动是匀变速运动 D．手拍乒乓球的运动是简谐运动 2．弹簧振子在做简谐运动时（　　） A．加速度大小和位移大小成正比，方向相反 B．加速度大小和位移大小成正比，方向相同 C．速度和位移大小成正比，方向相同 D．速度和位移大小成正比，方向相反 3．如图所示，光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，取向左为正方向，则振子从O点运动到B点的过程中（　　）    A．位移不断减小 B．加速度不断减小 C．位移方向与加速度方向始终相同 D．速度减小，弹性势能增大 4．（多选）如图，一个弹簧振子在水平方向上做简谐运动，当某一时刻的位移为负方向时，下列说法正确的是（　　） A．速度一定为负方向 B．速度一定为正方向 C．加速度一定为正方向 D．回复力一定为正方向 5．（多选）关于在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，下列说法正确的是（　　） A．振子通过同一位置时，速度一定相同 B．振子通过同一位置时，加速度一定相同 C．振子在水平方向受到弹力和回复力作用 D．振子在运动过程中，回复力的方向始终指向平衡位置 【考点2 弹簧振子的位移—时间图像】 6．如图甲所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，规定向右为正方向，图乙是从某位置开始计时的振动图像。则下列说法中正确的是（　　） A．振子的振幅为 B．时刻，振子在B点 C．时间内振子由O向C运动 D．与时振子加速度方向相反 7．简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子是一种典型的简谐运动。如图甲所示是一个以O点为平衡位置的水平方向的弹簧振子，在M、N两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法中正确的是（　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 8．将一轻弹簧与小球组成弹簧振子竖直悬挂，上端装有记录弹力的拉力传感器，当振子在竖直方向上下振动时，弹力随时间的变化规律如图所示。已知重力加速度大小，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg，振动的周期为4s B．内，小球受弹力的冲量大小为 C．内和内，小球受弹力的冲量方向相反 D．内，小球受回复力的冲量大小为 9．（多选）如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，乙图为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在t=0.2s时，弹簧振子的加速度为负向最大 B．在t=0.4s与t=0.8s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．在0~0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在t=0.6s时，弹簧振子有最小的位移 10．（多选）如图1所示，弹簧振子以点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移随时间的变化关系如图2所示，下列说法正确的是（　　） A．时，振子经过点向左运动 B．时，振子在点右侧处 C．和时，振子的速度相同 D．时，振子的加速度最大 11．下图是弹簧振子的振动图像，请回答下列问题。 (1)振子的振幅、周期、频率分别为多少？ (2)根据振动图像写出该简谐运动的表达式。 (3)求振子在内通过的路程。 12．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在光滑水平地面上的、C点间做简谐运动，振子的质量，弹簧的劲度系数，振子的振动图像如图乙所示。求： (1)内振子通过的路程； (2)时刻振子的加速度大小。 【考点3 简谐运动的定义及特征】 13．如图所示，一匀质鱼漂竖直浮在水面上，当鱼漂静止时，水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按，使水位到达M点，松手后，鱼漂会上下运动，在M、N两点之间来回移动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（　　） A．鱼漂在水面上下浮沉的运动是匀变速运动 B．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大 C．水位在O点时，鱼漂的加速度最大 D．水位到达N点时，鱼漂具有向下的加速度 14．关于做简谐振动的质点，下列说法正确的是（　　） A．只要质点所受的力与位移成正比，则质点的运动一定是简谐振动 B．做简谐振动的质点经过同一位置的速度、加速度均相等 C．做简谐振动的质点背离平衡位置运动时的速度方向与位移方向相反 D．做简谐振动的质点位移减小时，加速度减小，速度增大 15．如图所示，水平面上一小车以的速度向右做匀速运动，小车的上表面光滑且水平，A、B为固定在小车两侧的挡板，滑块与挡板A、B分别用两相同的轻质弹簧连接，小车匀速时，滑块相对小车静止，滑块视为质点，两弹簧恰好处于原长。已知滑块的质量，弹簧劲度系数（弹簧始终在弹性限度内）。某时刻，小车与右侧一障碍物发生碰撞，小车立即停下并锁定。则滑块做简谐运动的（当弹簧形变量为时，其弹性势能为）（    ） A．振幅为cm B．周期小于s C．最大加速度为100m/s2 D．半个周期内，两弹簧对滑块冲量的矢量和为零 16．（多选）如图所示，直立轻质弹簧一端固定在水平地面，另一端与物块a拴接，物块b放在物块a上，处于静止状态。物块b、c用不可伸长的轻质细线绕过轻质定滑轮连接，将物块c放置于倾角为的足够长的固定斜面上，细线与斜面平行。托住物块c，当物块b、c之间的细线伸直且恰无作用力时，将物块c由静止释放。此后a、b一起运动到最高点时恰好未分离。已知物块a、b的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，弹簧的弹性势能（x为形变量），不计空气阻力及一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．物块c的质量为2m B．释放物块c瞬间，物块a、b间的弹力大小为 C．从释放物块c到物块a、b到达最高点的过程，弹簧弹性势能的减少量为 D．物块c的最大速率为 17．（多选）如图所示，一木杆竖直漂浮在水中，当木杆静止时点恰好过水面，现用手将木杆下压至点后放手，木杆沿竖直方向做简谐运动。若木杆所受浮力的最大值为、最小值为，水的密度为，木杆横截面积为，重力加速度为，是关于的对称点，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．木杆回复力与位移之比为 B．木杆回复力与位移之比为 C．木杆的振幅为 D．木杆的振幅为 18．水中浮标上下浮动，其运动可视为竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为4.0s。若t=0时，浮标处于平衡位置且开始向上运动，以向上为正方向。求 (1)浮标在9s内运动的路程； (2)浮标振动的位移随时间的变化关系。 19．2024年巴黎奥运会上，滑板运动分为街式和碗池两个小项，碗池比赛在类似碗形的赛道上进行，赛道包含几种不同的元素，比如斜坡、U形池和泵道。如图所示为室内碗池比赛训练时的简化示意图，一根轻质弹簧左端固定，右端与静置在光滑水平面上K点的小球B相连，弹簧处于原长。小球B的右侧静置着一滑块C，其上表面是半径为R的光滑圆弧轨道，滑块C的最低点恰与K点重合。现将一质量为m的小球A从圆弧最高点由静止释放，小球A沿轨道滑下后，在水平面上与小球B发生弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。已知小球B为2m、滑块C的质量为4m，小球A、B均可视为质点，重力加速度为g，求： (1)小球A下滑到圆弧轨道最低点时，小球A的速度v1、滑块C的速度v2的大小； (2)弹簧弹性势能的最大值； (3)若当小球B再一次回到K点时，小球A恰好第一次返回滑块C的最低点，求B做简谐运动的周期。 【考点4 简谐运动的图像】 20．如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，则P运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A． B． C．D． 21．如图甲所示，弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，平衡位置为O点，取向右为正方向，以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点，振子的位移x随时间t变化的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0.4s时，振子的速度方向向右 B．t=0.4s时，振子的回复力最大 C．t=0.8s到t=1.2s的时间内，振子的加速度逐渐增大 D．t=1.2s到t=1.6s的时间内，振子的动能逐渐增大 22．如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两摆的振幅之比为 B．时，甲摆的弹性势能最小，乙摆的动能为零 C．甲、乙两摆的摆长之比为 D．甲、乙两摆摆球在最低点时的向心加速度大小一定相等 23．简谐运动的振动图像可用下述方法得到：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，小球振动时，让一条纸带沿垂直于小球振动方向上做匀速运动，绘图笔在纸带上留下痕迹。取水平向右的方向为小球离开平衡位置位移的正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图像如图乙所示。不计阻力，下列说法正确的有（　　） A．时小球的加速度方向朝左 B．弹簧振子的周期为 C．弹簧振子的振幅为 D．若增大弹簧振子的振幅，其振动的周期也增大 24．（多选）两个简谐振动的图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．两个振动周期相同 B．两个振动振幅相同 C．两个振动的表达式相同 D．两个振动初相相同 25．（多选）如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐振动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为0.8kg，振动的周期为4s B．0—2s内，小球受回复力的冲量大小为0 C．3s—4s和4s—5s内，小球受弹力的冲量相同 D．1s—3s内，小球受弹力的冲量大小为16N·s，方向向上 26．（多选）甲、乙两弹簧振子的振动图像如图所示，则可知（　　） A．两弹簧振子完全相同 B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲:F乙=2:1 C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D．两振子的振动频率之比f甲:f乙=1:2 27．如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端连接一物块，物块沿竖直方向做简谐运动的部分图像如图乙所示，以竖直向上为正方向。t=0时刻，一小球从某处由静止释放；t=0.5s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)t=0.5s时小球的速度大小和物块的加速度方向； (2)小球释放位置到物块平衡位置的竖直距离d。 28．如图所示，一倾角（）的光滑固定斜面上，一质量为的滑块与劲度系数为的轻弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在斜面顶端，开始时滑块处于静止状态。质量为的泥团以的速度沿斜面从滑块下方与滑块发生碰撞并立即与滑块粘合在一起，两者一起在斜面上向上运动至最高点，之后继续沿斜面做简谐运动。重力加速度g取。 求： (1)碰撞后泥团与滑块组合体的最大加速度； (2)组合体做简谐运动的振幅A； (3)碰撞之前泥团的初速度的大小。 【考点5 弹簧振子模型】 29．如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量为。对物体B施加一沿斜面向下大小为的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰好要离开挡板。重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。则物体A的质量为（　　） A． B． C． D． 30．如图甲所示，竖直悬挂弹簧振子在两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向上为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的图像，则（　　）    A．弹簧振子从点经过点再运动到点为一次全振动 B．图乙中的点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向 C．弹簧振子的振动方程为 D．弹簧振子在任意内的路程为 31．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定在天花板上，下端与质量为m 的物块A 相连接。初始时刻，用挡板B托住物块A，使其处于静止状态，弹簧处于原长。利用计算机系统精确控制使挡板 B竖直向下做加速度大小为a=0.4g的匀加速直线运动，直至挡板与物块A分离，分离后物块A向下做加速度减小的加速运动，达到最大速度，而后向下减速运动到达最低点。此后物块A在竖直方向做往复运动。则（　　） A．挡板B与物块A分离时，弹簧的伸长量为 B．物块A 达到最大速度时，弹簧的伸长量为 C．弹簧的最大伸长量为 D．物块A 的最大速度为 32．（多选）如下左图，一个质量为M的大圆环直立在水平面上，圆环顶端固定了一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下面拴接了一个质量为m的小球（可视为质点），用力向下拉住小球，从释放小球开始计时，不计空气阻力，以向上为正方向，小球振动的位移—时间图像是一个余弦函数，如下右图所示。小球振动过程中，大圆环始终保持静止与地面接触，且对地面的最小压力为0，重力加速度为g，下列说法正确的是（   ） A．图中时刻，弹簧弹力大小为 B．图中时刻，弹簧弹力大小为 C．图中时刻，弹簧弹力大小为 D．图中时刻，大圆环对地面压力大小为 33．（多选）如图所示，质量均为m的小球、由劲度系数为的轻弹簧连接，小球由不可伸长的细线悬挂于点，系统处于静止状态。现将B竖直下拉长度后由静止释放，B始终做简谐运动。忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．B的振幅为 B．B的振幅为 C．应满足 D．应满足 34．如图所示，水平面上固定有一竖直的弹簧，劲度系数为k，质量为m的物体A拴接于弹簧上方，一开始物体与弹簧处于静止状态．在物体A上方高度静止释放一个和物体A完全相同的物体B，B下落后与A发生完全非弹性碰撞但不粘连．碰撞完毕后，A与B一同继续下降至最低点后回弹．重力加速度为g。（注：质量为m劲度系数为k的弹簧振子周期为，弹簧的弹性势能为）求： (1)第一次下降过程中，A和B的最大速度； (2)物体A第一次下降的最大位移大小； (3)B、A两物体先后第一次达到最高点时，时间差． 35．如图所示，光滑水平地面上，水平轻质弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端连接着物块乙，初始时乙静止。足够长的木板左端放置着物块甲，两者一起以大小、方向水平向右的速度从乙的左侧开始运动。木板与乙发生弹性碰撞（碰撞时间极短）后乙做简谐运动，一段时间（该时间内木板未与乙再次碰撞）后木板与甲一起以大小的速度向左做匀速直线运动。已知物块甲、木板的质量分别为，m2=0.3kg，弹簧的劲度系数k=360N/m且弹簧的弹性势能E与形变量x的关系式为，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)木板与乙碰撞后瞬间木板的速度大小v2； (2)乙的质量； (3)乙做简谐运动的振幅A和最大加速度a。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1~2.2 简谐运动＆简谐运动的描述（专题训练） 【考点1 弹簧振子】 1 【考点2 弹簧振子的位移—时间图像】 3 【考点3 简谐运动的定义及特征】 7 【考点4 简谐运动的图像】 12 【考点5 弹簧振子模型】 18 【考点1 弹簧振子】 1．下列说法中正确的是（　　） A．弹簧振子的运动是简谐运动 B．简谐运动就是指弹簧振子的运动 C．简谐运动是匀变速运动 D．手拍乒乓球的运动是简谐运动 【答案】A 【详解】AB．弹簧振子的运动是简谐运动，但简谐运动并不都是弹簧振子的运动，故A正确，B错误； C．简谐运动是最基本的一种机械振动，其运动的加速度时刻变化，不是匀变速运动，故C错误； D．手拍乒乓球的运动不是简谐运动，故D错误。 故选A。 2．弹簧振子在做简谐运动时（　　） A．加速度大小和位移大小成正比，方向相反 B．加速度大小和位移大小成正比，方向相同 C．速度和位移大小成正比，方向相同 D．速度和位移大小成正比，方向相反 【答案】A 【详解】AB．根据弹簧振子回复力与位移之间的关系 可知，回复力与与位移的大小成正比，但方向相反，而回复力即为弹簧振子振动过程中所受到的合外力，根据牛顿第二定律有 可知，加速度大小和位移大小成正比，方向相反，故A正确，B错误； CD．弹簧振子越靠近平衡位置速度越大，位移越小，速度与位移方向相反，而当弹簧振子远离平衡位置时，速度越小，位移越大，速度与位移方向相同，并且速度与位移并不成正比关系，故CD错误。 故选A。 3．如图所示，光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，取向左为正方向，则振子从O点运动到B点的过程中（　　）    A．位移不断减小 B．加速度不断减小 C．位移方向与加速度方向始终相同 D．速度减小，弹性势能增大 【答案】D 【详解】振子从O→B运动的过程是远离平衡位置，故位移增大，回复力增大，加速度增大，位移方向与加速度方向相反，速度减小，弹性势能增大。 故选D。 4．（多选）如图，一个弹簧振子在水平方向上做简谐运动，当某一时刻的位移为负方向时，下列说法正确的是（　　） A．速度一定为负方向 B．速度一定为正方向 C．加速度一定为正方向 D．回复力一定为正方向 【答案】CD 【详解】AB．位移为负方向时，速度方向可能为正方向也可能为负方向，故AB错误； CD．位移为负方向时，回复力的方向指向平衡位置，所以回复力一定为正方向，所以加速度一定为正方向，故CD正确。 故选CD。 5．（多选）关于在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，下列说法正确的是（　　） A．振子通过同一位置时，速度一定相同 B．振子通过同一位置时，加速度一定相同 C．振子在水平方向受到弹力和回复力作用 D．振子在运动过程中，回复力的方向始终指向平衡位置 【答案】BD 【详解】A．振子通过同一位置时，速度大小相同，方向不一定相同，故A错误； B．振子通过同一位置时，位移相同，回复力相同，加速度一定相同，故B正确； C．弹簧振子做简谐运动，合力总是指向平衡位置，又称回复力，回复力是按照力的作用效果命名的，故C错误； D．振子在运动过程中，回复力的方向始终指向平衡位置，故D正确。 故选BD。 【考点2 弹簧振子的位移—时间图像】 6．如图甲所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，规定向右为正方向，图乙是从某位置开始计时的振动图像。则下列说法中正确的是（　　） A．振子的振幅为 B．时刻，振子在B点 C．时间内振子由O向C运动 D．与时振子加速度方向相反 【答案】C 【详解】A．由题图乙可知，振幅为2cm，故A错误； B．由题图乙可知，时刻，振子在平衡位置O点，故B错误； C．由题图乙可知，时间内振子从平衡位置向正向最大位移处移动，即振子由O向C运动，故C正确； D．由图乙可知，与时振子处在同一位置，则加速度方向相同，故D错误。 故选C。 7．简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子是一种典型的简谐运动。如图甲所示是一个以O点为平衡位置的水平方向的弹簧振子，在M、N两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法中正确的是（　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 【答案】D 【详解】A．回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力。回复力是效果力，受力分析时不考虑效果力，故A错误； B．弹簧振子在水平方向上做简谐运动，由图乙可得周期 位移x随时间t变化的关系为 当时，弹簧振子的位移为。故Ｂ错误； C．从到的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，由可知动能减小，故C错误； D．在与两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，故D正确。 故选D。 8．将一轻弹簧与小球组成弹簧振子竖直悬挂，上端装有记录弹力的拉力传感器，当振子在竖直方向上下振动时，弹力随时间的变化规律如图所示。已知重力加速度大小，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg，振动的周期为4s B．内，小球受弹力的冲量大小为 C．内和内，小球受弹力的冲量方向相反 D．内，小球受回复力的冲量大小为 【答案】B 【详解】A．根据图像可知，零时刻弹力最大小球在最低点，2s时弹力最小（为零）在最高点，由对称性可知，在平衡位置时，弹力为10N，可得 解得小球的质量为1kg，振动的周期为4s，故A错误； BC．内，小球初末速度均为零，根据动量定理可得 解得 即小球受弹力的冲量大小为，方向竖直向上；同理可知，内，小球受弹力的冲量大小为，方向竖直向上，故内和内，小球受弹力的冲量方向相同，故B正确，C错误； D．小球受到的合力作为回复力，的初末状态速度均为零，即动量变化为零，可知小球受回复力的冲量大小为0，故D错误。 故选B。 9．（多选）如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，乙图为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在t=0.2s时，弹簧振子的加速度为负向最大 B．在t=0.4s与t=0.8s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．在0~0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在t=0.6s时，弹簧振子有最小的位移 【答案】AC 【详解】A．在t=0.2s时，弹簧振子的位移为正向最大，根据 可知，加速度为负向最大。故A正确； B．因为图像中，某点的切线斜率表示该时刻振子的速度，所以在t=0.4s与t=0.8s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反。故B错误； C．根据前面选项的分析，同理可知，从t=0s到t=0.2s时间内，弹簧振子位移逐渐增加，则加速度逐渐增加，即振子做加速度增大的减速运动。故C正确； D．在t=0.6s时，弹簧振子有负方向的最大位移。故D错误。 故选AC。 10．（多选）如图1所示，弹簧振子以点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移随时间的变化关系如图2所示，下列说法正确的是（　　） A．时，振子经过点向左运动 B．时，振子在点右侧处 C．和时，振子的速度相同 D．时，振子的加速度最大 【答案】BC 【详解】A．根据图2可知，时，振子经过O点向右运动，故A错误； B．根据图2可知，振动方程为 可以解得时， 即振子在O点右侧处，故B正确； C．图像的斜率表示速度，根据图2可知，和时斜率相同，即速度相同，故C正确； D．根据图2可知，时，振子处于平衡位置，位移为0，则加速度为零，故D错误。 故选BC。 11．下图是弹簧振子的振动图像，请回答下列问题。 (1)振子的振幅、周期、频率分别为多少？ (2)根据振动图像写出该简谐运动的表达式。 (3)求振子在内通过的路程。 【详解】（1）由题图可知，该振子振动的周期和振幅分别为， 频率为 （2）圆频率为 时，从平衡位置开始振动，初相位为零，则振子简谐运动的表达式为 （3）振子振动5s与周期关系为 振子在5s内通过的路程是 12．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在光滑水平地面上的、C点间做简谐运动，振子的质量，弹簧的劲度系数，振子的振动图像如图乙所示。求： (1)内振子通过的路程； (2)时刻振子的加速度大小。 【详解】（1）根据题图可知，振子的振幅 振子的周期 则有 内振子通过的路程 （2）时刻振子的回复力大小 根据牛顿第二定律有 解得 【考点3 简谐运动的定义及特征】 13．如图所示，一匀质鱼漂竖直浮在水面上，当鱼漂静止时，水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按，使水位到达M点，松手后，鱼漂会上下运动，在M、N两点之间来回移动。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（　　） A．鱼漂在水面上下浮沉的运动是匀变速运动 B．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大 C．水位在O点时，鱼漂的加速度最大 D．水位到达N点时，鱼漂具有向下的加速度 【答案】D 【详解】A．设鱼漂静止时，水面以下鱼漂的长度为l，鱼漂质量为m，横截面积为S，水的密度为，重力加速为g，则有 当水位在O点下方x位置时，由牛顿第二定律 联立可得 说明鱼漂的运动是简谐运动，加速度随位移变化，不是匀变速运动，A错误； B．鱼漂由下往上运动时，从最低点M到平衡位置O的过程中，浮力大于重力，合力向上，做加速运动，速度增大；从平衡位置O到最高点N的过程中，浮力小于重力，合力向下，与运动方向相反，做减速运动，速度减小。因此，由下往上运动时，速度先增大后减小，故B错误； C．水位在O点时，鱼漂处于平衡位置，所受浮力等于重力，合外力为零。根据牛顿第二定律可知，此时加速度为零。加速度最大的位置是在位移最大的最高点N和最低点M，故C错误。 D．水位到达N点时，是鱼漂运动的最高点。此时，鱼漂排开水的体积最小，所受的浮力最小，小于其自身重力。因此，鱼漂所受的合外力方向竖直向下。根据牛顿第二定律，其加速度方向与合外力方向相同，也竖直向下，故D正确。 故选D。 14．关于做简谐振动的质点，下列说法正确的是（　　） A．只要质点所受的力与位移成正比，则质点的运动一定是简谐振动 B．做简谐振动的质点经过同一位置的速度、加速度均相等 C．做简谐振动的质点背离平衡位置运动时的速度方向与位移方向相反 D．做简谐振动的质点位移减小时，加速度减小，速度增大 【答案】D 【详解】A．质点所受的力必须满足（方向与位移相反，且大小成正比），才能做简谐振动。若仅力与位移成正比但方向相同（如），则质点不会振动，故A错误； B．做简谐振动的质点经过同一位置的加速度一定相等，速度大小相等，但方向可能相反，故B错误； C．做简谐振动的质点背离平衡位置运动时的速度方向与位移方向相同，故C错误； D．做简谐振动的质点位移减小时，质点靠近平衡位置，加速度减小，速度增大，故D正确。 故选D。 15．如图所示，水平面上一小车以的速度向右做匀速运动，小车的上表面光滑且水平，A、B为固定在小车两侧的挡板，滑块与挡板A、B分别用两相同的轻质弹簧连接，小车匀速时，滑块相对小车静止，滑块视为质点，两弹簧恰好处于原长。已知滑块的质量，弹簧劲度系数（弹簧始终在弹性限度内）。某时刻，小车与右侧一障碍物发生碰撞，小车立即停下并锁定。则滑块做简谐运动的（当弹簧形变量为时，其弹性势能为）（    ） A．振幅为cm B．周期小于s C．最大加速度为100m/s2 D．半个周期内，两弹簧对滑块冲量的矢量和为零 【答案】B 【详解】A．滑块从平衡位置到速度减为零过程中，由能量守恒有 解得振幅，A错误； B．若视为匀变速运动，则有 解得 做简谐运动从平衡位置向位移最大位置运动时加速度越来越大，滑块做加速度增大的减速运动，可知滑块做简谐运动的周期小于，B正确； C．在最大位移处，滑块的加速度最大，由牛顿第二定律得 解得最大加速度为，C错误； D．若从平衡位置经过半个周期回到平衡位置，速度大小不变、方向改变，故两弹簧对滑块冲量的矢量和不为零，D错误。 故选B。 16．（多选）如图所示，直立轻质弹簧一端固定在水平地面，另一端与物块a拴接，物块b放在物块a上，处于静止状态。物块b、c用不可伸长的轻质细线绕过轻质定滑轮连接，将物块c放置于倾角为的足够长的固定斜面上，细线与斜面平行。托住物块c，当物块b、c之间的细线伸直且恰无作用力时，将物块c由静止释放。此后a、b一起运动到最高点时恰好未分离。已知物块a、b的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，弹簧的弹性势能（x为形变量），不计空气阻力及一切摩擦，下列说法正确的是（　　） A．物块c的质量为2m B．释放物块c瞬间，物块a、b间的弹力大小为 C．从释放物块c到物块a、b到达最高点的过程，弹簧弹性势能的减少量为 D．物块c的最大速率为 【答案】BC 【详解】AB．初态将物块c由静止释放，根据牛顿第二定律 a、b一起运动到最高点时恰好未分离，三者加速度相同，且根据简谐运动对称性可知大小和初态相同。此时对bc有 联立解得， 释放物块c瞬间，对物块b分析，设物块a、b间的弹力大小，有 解得，故A错误，B正确； C．在最高点对a分析 在初始时 从释放物块c到物块a、b到达最高点的过程，弹簧弹性势能的减少量，故C正确； D．当到达平衡位置速度最大，此时 解得 从初始到该位置，根据能量守恒 解得物块c的最大速率，故D错误。 故选BC。 17．（多选）如图所示，一木杆竖直漂浮在水中，当木杆静止时点恰好过水面，现用手将木杆下压至点后放手，木杆沿竖直方向做简谐运动。若木杆所受浮力的最大值为、最小值为，水的密度为，木杆横截面积为，重力加速度为，是关于的对称点，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．木杆回复力与位移之比为 B．木杆回复力与位移之比为 C．木杆的振幅为 D．木杆的振幅为 【答案】AC 【详解】设，设杆点以下长度为，杆的质量为，回复力系数为，则有，， 可解得， 故选AC。 18．水中浮标上下浮动，其运动可视为竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为4.0s。若t=0时，浮标处于平衡位置且开始向上运动，以向上为正方向。求 (1)浮标在9s内运动的路程； (2)浮标振动的位移随时间的变化关系。 【详解】（1）因9s=2T，可知浮标在9s内运动的路程 （2）因 则浮标振动的位移随时间的变化关系 19．2024年巴黎奥运会上，滑板运动分为街式和碗池两个小项，碗池比赛在类似碗形的赛道上进行，赛道包含几种不同的元素，比如斜坡、U形池和泵道。如图所示为室内碗池比赛训练时的简化示意图，一根轻质弹簧左端固定，右端与静置在光滑水平面上K点的小球B相连，弹簧处于原长。小球B的右侧静置着一滑块C，其上表面是半径为R的光滑圆弧轨道，滑块C的最低点恰与K点重合。现将一质量为m的小球A从圆弧最高点由静止释放，小球A沿轨道滑下后，在水平面上与小球B发生弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。已知小球B为2m、滑块C的质量为4m，小球A、B均可视为质点，重力加速度为g，求： (1)小球A下滑到圆弧轨道最低点时，小球A的速度v1、滑块C的速度v2的大小； (2)弹簧弹性势能的最大值； (3)若当小球B再一次回到K点时，小球A恰好第一次返回滑块C的最低点，求B做简谐运动的周期。 【详解】（1）小球 A 下滑到圆弧轨道最低点过程中，小球 A 与滑块 C 组成的系统水平方向动量守恒，有 又根据机械能守恒定律有 两式联立得，， （2）小球 A 与小球 B 发生弹性碰撞，设碰后的速度分别为和，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得， 小球 A 与小球 B 碰后，小球 B 与弹簧组成的系统机械能守恒，得弹簧弹性势能的最大值为 解得 （3）小球 A 下滑到圆弧轨道最低点过程中，设小球 A 水平方向的位移和滑块 C 的位移分别为和，则 根据水平方向动量守恒有 即，解得， 小球 A 第一次下滑到圆弧轨道最低点到与小球 B 发生碰撞所用时间设为，则 从小球 A 与小球 B 碰后到小球 B 再一次回到 K 点所用时间设为，由于速度大小相等方向相反，经过半个周期，则 根据题意 A 要追上 C，则 联立解得 【考点4 简谐运动的图像】 20．如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，则P运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】由图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程 由图可知，当时，P的位移为，代入振动方程解得 则P做简谐运动的表达式为 其速度表达式为 故选D。 21．如图甲所示，弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动，平衡位置为O点，取向右为正方向，以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点，振子的位移x随时间t变化的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0.4s时，振子的速度方向向右 B．t=0.4s时，振子的回复力最大 C．t=0.8s到t=1.2s的时间内，振子的加速度逐渐增大 D．t=1.2s到t=1.6s的时间内，振子的动能逐渐增大 【答案】A 【详解】A．由振动图像可知t=0.4s时，振子在平衡位置向正方向运动，说明振子的速度方向向右，选项A正确； B．由振动图像可知，t=0.4s时，振子在位移为零处，所以振子的回复力为零，选项B错误； C．t=0.8s到t=1.2s的时间内，振子从最大位移处往平衡位置运动，所以振子的回复力和加速度逐渐减小，选项C错误； D．t=1.2s到t=1.6s的时间内，振子从平衡位置往最大位移处运动，振子的速度逐渐减小，振子的动能逐渐减小，选项D错误。 故选A。 22．如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两摆的振幅之比为 B．时，甲摆的弹性势能最小，乙摆的动能为零 C．甲、乙两摆的摆长之比为 D．甲、乙两摆摆球在最低点时的向心加速度大小一定相等 【答案】B 【详解】A．由图可知甲、乙两摆的振幅分别为、，则甲、乙两摆的振幅之比为，故A错误； B．由图可知，时，甲摆在平衡位置处，弹性势能最小，而乙摆在振动的最大位移处，动能为零，故B正确； C．由单摆的周期公式 可得 由图可知，甲的周期为，乙的周期为，则甲、乙两摆的摆长之比为，故C错误； D．因摆球摆动的最大偏角未知，无法判断两单摆摆球在最低点时向心加速度大小关系，故D错误。 故选B。 23．简谐运动的振动图像可用下述方法得到：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，小球振动时，让一条纸带沿垂直于小球振动方向上做匀速运动，绘图笔在纸带上留下痕迹。取水平向右的方向为小球离开平衡位置位移的正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图像如图乙所示。不计阻力，下列说法正确的有（　　） A．时小球的加速度方向朝左 B．弹簧振子的周期为 C．弹簧振子的振幅为 D．若增大弹簧振子的振幅，其振动的周期也增大 【答案】A 【详解】A．时小球的位移为正，则位移方向向右，则加速度方向朝左，A正确； B．由图像可知，弹簧振子的周期为4s，B错误； C．弹簧振子的振幅为10cm，C错误； D．振子振动的周期与振幅无关，则增大弹簧振子的振幅，其振动的周期不变，D错误。 故选A。 24．（多选）两个简谐振动的图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．两个振动周期相同 B．两个振动振幅相同 C．两个振动的表达式相同 D．两个振动初相相同 【答案】AB 【详解】AB．从振动图像可以看出两个振动的周期相同，离开平衡位置的最大位移即振幅相同，AB正确； CD．两个振动的零时刻相位不同，则初相不同、表达式不同，CD错误。 故选AB。 25．（多选）如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐振动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为0.8kg，振动的周期为4s B．0—2s内，小球受回复力的冲量大小为0 C．3s—4s和4s—5s内，小球受弹力的冲量相同 D．1s—3s内，小球受弹力的冲量大小为16N·s，方向向上 【答案】AD 【详解】A．根据图像可知，t=1s时，弹簧弹力最大，为16N，小球位于最低点；t=3s时，弹簧弹力最小，为零，小球位于最高点。由对称性可知，小球振动的周期为4s，小球位于平衡位置时，弹力为 解得，故A正确； B．小球受到的合外力提供回复力，0~2s内，小球初末速度不为零且大小相等，而方向相反，则速度变化量不为零，根据动量定理可知回复力的冲量大小不为0。故B错误； C．3s~4s和4s~5s内，平均弹力大小不同，小球受弹力的冲量不同。故C错误； D．1~3s内，由动量定理得 解得，方向向上。故D正确。 故选AD。 26．（多选）甲、乙两弹簧振子的振动图像如图所示，则可知（　　） A．两弹簧振子完全相同 B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲:F乙=2:1 C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D．两振子的振动频率之比f甲:f乙=1:2 【答案】CD 【详解】D．从图像中可以看出，两弹簧振子周期之比 则频率之比，故D正确； A．弹簧振子周期与振子质量、弹簧的劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，故A错误； B．由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力（）的最大值之比F甲:F乙不一定为2:1，故B错误； C．从图像中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，速度为零，此时振子乙恰好到达平衡位置，速度最大，故C正确。 故选CD。 27．如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端连接一物块，物块沿竖直方向做简谐运动的部分图像如图乙所示，以竖直向上为正方向。t=0时刻，一小球从某处由静止释放；t=0.5s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)t=0.5s时小球的速度大小和物块的加速度方向； (2)小球释放位置到物块平衡位置的竖直距离d。 【详解】（1）小球做自由落体运动，有 代入数据解得v=5m /s 根据图像可知t=0.5s时物块的位移为10cm，物块的加速度方向竖直向下。 （2）在0~0.5s内小球下落的高度 解得 根据图像可知振幅为 小球释放位置到物块平衡位置的距离 解得d=1.35m 28．如图所示，一倾角（）的光滑固定斜面上，一质量为的滑块与劲度系数为的轻弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在斜面顶端，开始时滑块处于静止状态。质量为的泥团以的速度沿斜面从滑块下方与滑块发生碰撞并立即与滑块粘合在一起，两者一起在斜面上向上运动至最高点，之后继续沿斜面做简谐运动。重力加速度g取。 求： (1)碰撞后泥团与滑块组合体的最大加速度； (2)组合体做简谐运动的振幅A； (3)碰撞之前泥团的初速度的大小。 【详解】（1）设滑块在初始位置时弹簧伸长量为x0，则 解得 则上升0.06m后弹簧压缩量为 对组合体，在最高点，根据牛顿第二定律方程，有 解得 （2）组合体平衡位置弹簧伸长量 解得 振幅为 （3）组合体碰撞后到最高点，弹簧从伸长0.03m变为压缩0.03m，弹簧弹性势能不变 对组合体，根据能量守恒，有 解得 碰撞过程满足动量守恒，有   联立解得 【考点5 弹簧振子模型】 29．如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量为。对物体B施加一沿斜面向下大小为的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰好要离开挡板。重力加速度，弹簧始终处于弹性限度内。则物体A的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】撤去力F后，物块B做简谐振动，物块B处于P点时回复力大小 根据做简谐振动的对称性，运动至最高点时回复力大小 又， 代入数据联立得 故选C。 30．如图甲所示，竖直悬挂弹簧振子在两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向上为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的图像，则（　　）    A．弹簧振子从点经过点再运动到点为一次全振动 B．图乙中的点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向 C．弹簧振子的振动方程为 D．弹簧振子在任意内的路程为 【答案】D 【详解】A．弹簧振子从点经过点再运动到点为半次全振动，A错误； B．图乙中的点时刻振子的速度方向向下，加速度方向向上，B错误； C．因振幅A=0.1m，周期T=1s，则，，可知弹簧振子的振动方程为，C错误； D．弹簧振子在任意内的路程为，D正确。 故选D。 31．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定在天花板上，下端与质量为m 的物块A 相连接。初始时刻，用挡板B托住物块A，使其处于静止状态，弹簧处于原长。利用计算机系统精确控制使挡板 B竖直向下做加速度大小为a=0.4g的匀加速直线运动，直至挡板与物块A分离，分离后物块A向下做加速度减小的加速运动，达到最大速度，而后向下减速运动到达最低点。此后物块A在竖直方向做往复运动。则（　　） A．挡板B与物块A分离时，弹簧的伸长量为 B．物块A 达到最大速度时，弹簧的伸长量为 C．弹簧的最大伸长量为 D．物块A 的最大速度为 【答案】D 【详解】A．当挡板B与物块A分离时，A、B间的作用力为零，则此时A的加速度为。对物块A受力分析由牛顿第二定律得 解得挡板B与物块A分离时，弹簧的伸长量为，选项A错误； B．当物块A达到最大速度时，加速度为零，则对物块A有 解得物块A达到最大速度时，弹簧的伸长量为，选项B错误； C．若没有挡板B，物块A从弹簧原长处单独静止释放，物块A在竖直方向上做简谐运动，由对称性可知，物块A下降的高度为。当物块A与挡板B一起运动，分离前，挡板B对物块A做负功，物块A下降的高度较小，弹簧的最大伸长量较小，小于，选项C错误； D．当物块A与挡板B分离前，物块A的加速度始终为，由于最开始弹簧处于自由状态，则当物块A与挡板B分离后，对物块A由牛顿第二定律得 随着弹簧的伸长量x的增大，加速度a逐渐减小。所以物块A从静止到第一次达到最大速度的过程中，其加速度a随坐标x变化的图像如图所示 由可知，通过a-x图像与x轴围成的面积求解，由a-x图像得 解得物块A的最大速度为，选项D正确。 故选D。 32．（多选）如下左图，一个质量为M的大圆环直立在水平面上，圆环顶端固定了一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下面拴接了一个质量为m的小球（可视为质点），用力向下拉住小球，从释放小球开始计时，不计空气阻力，以向上为正方向，小球振动的位移—时间图像是一个余弦函数，如下右图所示。小球振动过程中，大圆环始终保持静止与地面接触，且对地面的最小压力为0，重力加速度为g，下列说法正确的是（   ） A．图中时刻，弹簧弹力大小为 B．图中时刻，弹簧弹力大小为 C．图中时刻，弹簧弹力大小为 D．图中时刻，大圆环对地面压力大小为 【答案】BC 【详解】A．时刻小球平衡，弹簧拉力大小，故A错误； B．时刻大圆环对地面的压力为0，大圆环二力平衡，故B正确； CD．振动具有对称性，时刻与时刻回复力大小相等 解得时刻弹簧弹力大小，C正确； 时刻大圆环三力平衡 大圆环对地压力大小，故D错误。 故选BC。 33．（多选）如图所示，质量均为m的小球、由劲度系数为的轻弹簧连接，小球由不可伸长的细线悬挂于点，系统处于静止状态。现将B竖直下拉长度后由静止释放，B始终做简谐运动。忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．B的振幅为 B．B的振幅为 C．应满足 D．应满足 【答案】BD 【详解】AB．简谐振动的平衡位置合力为零，即B球初始时刻位置，则可知B的振幅为，A错误B正确； CD．A球发生运动的临界条件为弹簧对A球向上的弹力等于A球的重力，则此时对A球有 此时对B球有 由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为，即 解得 即当且仅当时，B球可以始终做简谐运动，否则A会发生运动，C错误D正确。 故选BD。 34．如图所示，水平面上固定有一竖直的弹簧，劲度系数为k，质量为m的物体A拴接于弹簧上方，一开始物体与弹簧处于静止状态．在物体A上方高度静止释放一个和物体A完全相同的物体B，B下落后与A发生完全非弹性碰撞但不粘连．碰撞完毕后，A与B一同继续下降至最低点后回弹．重力加速度为g。（注：质量为m劲度系数为k的弹簧振子周期为，弹簧的弹性势能为）求： (1)第一次下降过程中，A和B的最大速度； (2)物体A第一次下降的最大位移大小； (3)B、A两物体先后第一次达到最高点时，时间差． 【详解】（1）物体B先做自由落体运动，与A发生碰撞前，根据动能定理有 而后A与B发生完全非弹性碰撞，有， 物体A和B下降过程中受力为0时速度最大，初态时弹簧压缩量为 A与B受力为0时，弹簧压缩量为 对碰后共速的A和B物体可列出机械能守恒方程（设弹簧原长为重力势能零点），有 解得 （2）当物体A和B下降至最低点时，速度应当变为0，根据机械能守恒，有 解得 所以物体A下降距离为 （3）当物体A和B反弹至弹簧原长时，两物体分离，根据机械能守恒，有 对于物体B来说，分离后做竖直上抛运动，从分离至最高点的时间 对于物体A来说，分离后继续做简谐振动，能到达的最高点在弹簧原长的上方，根据机械能守恒，有 解得 结合A物体在弹簧上的平衡位置为弹簧下方 可知分离瞬间物体A处于简谐振动振幅的一半位置，即相位为，最高点位移为振幅处，相位为，所以时间 所以时间差 35．如图所示，光滑水平地面上，水平轻质弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端连接着物块乙，初始时乙静止。足够长的木板左端放置着物块甲，两者一起以大小、方向水平向右的速度从乙的左侧开始运动。木板与乙发生弹性碰撞（碰撞时间极短）后乙做简谐运动，一段时间（该时间内木板未与乙再次碰撞）后木板与甲一起以大小的速度向左做匀速直线运动。已知物块甲、木板的质量分别为，m2=0.3kg，弹簧的劲度系数k=360N/m且弹簧的弹性势能E与形变量x的关系式为，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)木板与乙碰撞后瞬间木板的速度大小v2； (2)乙的质量； (3)乙做简谐运动的振幅A和最大加速度a。 【详解】（1）以水平向右为正方向，木板与乙碰撞后，甲与木板构成的系统动量守恒，有    解得 即木板与乙碰撞后木板的速度大小为4m/s （2）木板与乙发生弹性碰撞，根据动量守恒有 根据能量守恒有 解得， （3）设乙做简谐运动的振幅为 A，根据能量守恒有 解得A=0.2m 乙在最大位移处有最大加速度，根据牛顿第二定律有 解得 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $