精品解析：广东省江门市新会区第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中考试 高二级数学试题 命题人：吴悦彩 审题人：黄小彤 考试时间：2025年11月21日 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前：考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ） A. 按性别分层随机抽样 B. 按学段分层随机抽样 C. 抽签法 D. 随机数表法 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样的概念即可判断； 【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样． 故选：B． 2. 已知直线经过点与，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可得到答案. 【详解】由题意得直线的斜率， 则其倾斜角为. 故选：D. 3. 已知事件，互斥，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解. 【详解】， 又该组数据的分位数为22， 则，解得. 故选：C 5. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 6. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据古典概型的概率公求解判断，对于B，根据互斥事件的定义分析判断，对于C，根据独立事件的定义分析判断，对于D，根据和事件的概率公式求解判断. 【详解】对于A，因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以，错误； 对于B，由题意，事件和事件有可能同时发生，如第一次向下的数字为2，第二次向下的数字为1，所以B错误， 对于C，因为两次数字和为奇数的有：，共8种，所以， 第一次数字为2或3，且两次数字和为奇数的有：，4种，所以， 因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：C 7. 求点到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果. 【详解】因为直线的方程为，所以直线过定点， 所以直线表示过定点的斜率存在的直线， 如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：D 8. 如图所示，正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O，整理可得，进而分析求解. 【详解】由正方体的棱长为2，可得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为． 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O， 则． 由于P为正方体表面上的动点，则，所以． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率的取值范围为 B. 经过点，且方向向量为的直线方程为 C. 若直线与平行，则a可以为1 D. 过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程为或 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据直线斜率和倾斜角的关系即可求解；对于B，根据直线的方向向量以及直线的点斜式方程即可求解；对于C，根据两直线平行斜率相等即可求解；对于D，分截距为零和不为零两种情况讨论即可求解． 【详解】对于A，由正切函数的性质可知，当时，斜率，当时，斜率，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，由直线的方向向量为，可知直线的斜率为，由直线方程的点斜式可得，即，故B正确； 对于C，若，易知，则，解得，故C错误； 对于D，当直线l在x轴和y轴上的截距为0时，过点的直线l的方程为，当直线l在x轴和y轴上的截距不为0时，设其在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则方程为，又，，解得，所以直线l的方程为，即，综上，直线l的方程为或，故D正确． 故选：BD． 10. 甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球中恰有1个红球的概率为 C. 2个球不都是红球的概率为 D. 2个球都不是红球的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出事件，得到，，A选项，；B选项，求事件的概率即可；C选项，根据对立事件概率公式得到C正确；D选项，. 【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球， 则，， 对于A选项，即求事件的概率，，所以A错误； 对于B选项，即求事件的概率，，所以B正确； 对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件， 所以概率为，C正确； 对于D选项，即求事件的概率，，所以D正确． 故选：BCD. 11. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出、的关系式，确定点的轨迹，并求其长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 因为四边形是边长为的正方形，故， 因此为定值，A对； 对于B选项，取的中点，的中点，连接． 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、． 设，其中、，则，， ， 因为，所以， 所以，不存在点，使得，B错； 对于C选项，，， 所以，即， 因为，所以， 故当时，的最大值为，C错； 对于D选项，，， 由得，即， 又因为、，所以、， 所以点的轨迹为平面内的线段， 即图中的线段，由图知， 故满足的点的轨迹长度为，D正确． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司青年、中年、老年员工的人数之比为，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，则该公司青年员工的人数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】公司的人数为，根据题意，求得，结合分层抽样的方法，即可求得该公司青年员工的人数，得到答案. 【详解】设公司的人数为，因为抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是， 可得，解得人， 又业务公司青年、中年、老年员工的人数之比为， 所以该公司青年员工的人数为人. 故答案为：. 13. 如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为，则对角线的长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的表示及夹角公式，即可求可得的长； 【详解】，且的长为3，， 故 由于， 所以 . 故答案为：. 14. 已知正整数，欧拉函数表示、、、中与互质的整数的个数，例如，，，且、互质时，．若从、、、中随机取一个数，则满足的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】验证时，能否成立，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时. 所以，从、、、中随机取一个数，则满足的数的取值集合为， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直角的直角顶点，且，在轴上． （1）求点的坐标； （2）求斜边中线的方程； （3）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设顶点的坐标为，利用两直线垂直，直线斜率的乘积等于建立关于的方程，解方程即可得解； （2）先用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用两点坐标求出中线的斜率，再写出中线的点斜式方程，最后化为一般式方程即可得解. （3）根据两直线平行，斜率相等，结合点斜式方程，最后化为一般式即可. 【小问1详解】 设顶点的坐标为，由题可得， 解得，故点的坐标为； 【小问2详解】 由（1）可知斜边的中点为， 则斜边的中线的斜率为， 代入点斜式方程得，即． 【小问3详解】 因为直线过点，且与直线平行，所以， 直线方程为，即. 16. 已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为点M为中点，， 所以， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，则有，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，再利用面面角的向量求法求解即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得， 因为平面， 所以即为平面PCD的一条法向量， ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 又，所以， 即平面与平面的夹角为. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的中位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），75 （2）62,37 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；由频率分布直方图求中位数的计算公式即可求解； （2利用平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 则. 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 设中位数为m， 由，得，故中位数为75. 【小问2详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的样本人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． 【小问2详解】 若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． 【小问3详解】 记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，是的中点，点是的中点. （1）证明：平面； （2）若四棱锥的各顶点都在球的球面上，求与平面所成角正弦值； （3）过点，，的平面与线段交于点，求. 【答案】（1） 连接， 因为是的中点，点是的中点. 由中位线可得：， 又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由即可求证； （2）取AD中点O，BC中点Z，证明，，由平面平面ABCD，可得平面，从而建系，写出相关点和向量的坐标，设OZ交BD于点，则球心在过且垂直于平面ABCD的直线上，则可设球心为，利用，求出的坐标，求出平面PCD的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得与平面所成角正弦值． （3）设，则，求出，由M，N，B，Q共面，可知存在唯一实数对，使得，利用坐标计算，解出即的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，中点Z，连接OP，OZ， 因侧面为正三角形，底面是边长为2的正方形，则，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，故直线两两垂直， 故以O为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，， 设OZ交BD于点，则球心在过且垂直于平面ABCD的直线上， 则可设球心为，又， 所以，解得，即， 故，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 故， 设与平面所成角为， 则有， 故与平面所成角正弦值为． 【小问3详解】 设，则，且， 因，则，， 因为M，N，B，Q共面，则共面， 故存在唯一实数对，使得， 即 ， 所以， 解得，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试 高二级数学试题 命题人：吴悦彩 审题人：黄小彤 考试时间：2025年11月21日 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前：考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ） A. 按性别分层随机抽样 B. 按学段分层随机抽样 C. 抽签法 D. 随机数表法 2. 已知直线经过点与，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件，互斥，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 5. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 7. 求点到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 8. 如图所示，正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率的取值范围为 B. 经过点，且方向向量为的直线方程为 C. 若直线与平行，则a可以为1 D. 过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程为或 10. 甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球中恰有1个红球的概率为 C. 2个球不都是红球的概率为 D. 2个球都不是红球的概率为 11. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司青年、中年、老年员工的人数之比为，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，则该公司青年员工的人数为_________． 13. 如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为，则对角线的长是__________. 14. 已知正整数，欧拉函数表示、、、中与互质的整数的个数，例如，，，且、互质时，．若从、、、中随机取一个数，则满足的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直角的直角顶点，且，在轴上． （1）求点的坐标； （2）求斜边中线的方程； （3）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 16. 已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的中位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，是的中点，点是的中点. （1）证明：平面； （2）若四棱锥的各顶点都在球的球面上，求与平面所成角正弦值； （3）过点，，的平面与线段交于点，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $