2.3 直线的交点坐标与距离公式（十二大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3 直线的交点坐标与距离公式 题型一 求直线交点坐标 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为，则点B的坐标为 . 3．已知△ABC的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点、的坐标； (2)直线的方程； 题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系 4．是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 5．若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 6．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 题型三 由直线的交点个数求参数 7．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 9．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 题型四 由直线的交点坐标求参数 10．在△ABC中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 12．已知直线． (1)若，求的值； (2)若直线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，若，求的值． 题型五 三线能围成三角形的问题 13．使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 14．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 15．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求△AOB的面积. 题型六 直线交点系方程及应用 16．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．经过点和两直线；交点的直线方程为 . 18．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 题型七 坐标法的应用——交点坐标 19．已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（    ） A．5 B． C．1 D． 20．直线l1：和l2：的交点的坐标为 ． 21．已知△ABC的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 题型八 求平面两点间的距离 22．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 23．已知、是直线上的两点，若，则 24．在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点，与交于点. (1)求； (2)求面积的最大值. 题型九 由顶点坐标判断三角形的形状 25．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 26．已知△ABC的三个顶点，，，则△ABC的形状为 ． 27．已知△ABC的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：△ABC为等腰直角三角形． 题型十 由距离求点的坐标 28．已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 30．已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 题型十一 用两点间的距离公式求函数最值 31．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 32．已知，则的最大值是 . 33．若函数存在零点，求实数a的取值范围. 题型十二 距离新定义 34．出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 35．在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 36．曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. (3)在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 题型一 求直线交点坐标 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解两直线构成的方程组即可. 【详解】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 2．已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为，则点B的坐标为 . 【答案】 【分析】设，求得中点的坐标，由已知可得，求解即可. 【详解】设，又，所以中点的坐标为， 因为边AB的中线CM所在直线方程为，所以， 又边AC的高BH所在直线方程为，所以， 由，解得，所以点B的坐标为. 故答案为：. 3．已知△ABC的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点、的坐标； (2)直线的方程； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设点，表示出中点坐标，将坐标分别代入直线和的方程，求出的坐标，再求出直线的方程，与直线的方程联立，可求得点的坐标； （2）根据（1）、的坐标求出直线的斜率，进而可求得直线的方程. 【详解】（1）设点，则线段中点坐标为， 因为在直线上，所以，即 又在直线上，所以， 联立，解得，所以； 又边上的高所在直线方程为， 所以可设直线的方程为， 将点代入得：，故， 所以直线的方程为， 联立，解得，故； （2）由（1）可得，，所以 所以直线的方程为，即. 题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系 4．是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意，则， ∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误． 故选：B． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键． 5．若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 【答案】 【分析】根据两直线重合的条件，求得的值即可. 【详解】依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或. 当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意. 当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 6．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 题型三 由直线的交点个数求参数 7．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 8．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 9．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 题型四 由直线的交点坐标求参数 10．在△ABC中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【详解】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 11．若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 【答案】 【分析】先求出直线在轴、轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解． 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 12．已知直线． (1)若，求的值； (2)若直线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）当或时利用两直线垂直斜率之积为计算即可； （2）令和分别解出四点坐标，然后由得到关于的方程，分的取值解出即可； 【详解】（1）当或时，显然直线与不垂直， 所以， 所以， 解得． （2）依题意可知直线的斜率存在且不为0，即或， 令，得， 解得， 所以， 令，得， 解得， 所以， 又，所以， 即， 当时，，无解； 当或时，， 解得或； 当时，，无解； 综上所述，或． 题型五 三线能围成三角形的问题 13．使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 14．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 15．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求△AOB的面积. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可. （2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 题型六 直线交点系方程及应用 16．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 17．经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 18．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 题型七 坐标法的应用——交点坐标 19．已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接根据中点坐标公式可得，即可得答案； 【详解】，故. 故选：D. 【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题. 20．直线l1：和l2：的交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】联立两直线方程解方程组即可. 【详解】解方程组得 所以两条直线交点的坐标为. 故答案为： 21．已知△ABC的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及已知直线的斜率可求直线的斜率，进而可求直线的方程； （2）先设，进而表示的坐标，再由点在直线及中点坐标公式可求． 【详解】（1）设边上的高为， ，且直线的方程为，故斜率为， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即；    （2）设，则， 由题意得， 解得，，． 题型八 求平面两点间的距离 22．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题求出的中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长. 故选：B. 23．已知、是直线上的两点，若，则 【答案】 【分析】由两点间的距离公式可求解． 【详解】因为、在直线上，所以，． 根据两点间的距离公式，得 ，解得． 故答案为：. 24．在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点，与交于点. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点、的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值； （2）分析可知，由勾股定理可得出，利用基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）在直线的方程中，由得，可得， 将的方程表示为，由得，可得， 故. （2）由可知，垂足为，故， 故由勾股定理可知， 故的面积， 当且仅当时等号成立，故面积的最大值为. 题型九 由顶点坐标判断三角形的形状 25．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【分析】计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 26．已知△ABC的三个顶点，，，则△ABC的形状为 ． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得△ABC是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得△ABC是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 27．已知△ABC的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：△ABC为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 题型十 由距离求点的坐标 28．已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果. 【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 29．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 30．已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程； （2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 题型十一 用两点间的距离公式求函数最值 31．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 32．已知，则的最大值是 . 【答案】 【分析】设，原式化为，设，则可以看成点到点两点的距离之差，可求最大值. 【详解】因为，设， ， 令，则， 则上式为， 设， 点为双曲线位于第一象限的点， 可以看成点到点两点的距离之差， 又， 所以的最大值是.    故答案为： 33．若函数存在零点，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，结合两点坐标求距离公式和图形可得，即可求解. 【详解】由题意得， ； 表示点与点的距离， 表示点与点的距离， 如图， 结合图象可得，， 即， 故实数的取值范围是． 题型十二 距离新定义 34．出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的轨迹关于轴对称，也关于轴对称，进而先研究其在时的函数解析式，并画出其图象，结合对称性可将图象补充完整，数形结合求解即可. 【详解】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A 35．在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 【答案】 【分析】先分析出该集合所对应的图形形状，再分别计算各部分图形的面积，最后将各部分面积相加得到总面积. 【详解】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示. 将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积. 故答案为：. 36．曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. (3)在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设，，由曼哈顿距离定义表示，利用函数的单调性结合三角恒等变形可求的最小值即可； （3）利用曼哈顿距离定义求得动点围成的图形为八面体且每个面均为边长为的等边三角形，即可求解其表面积. 【详解】（1），所以. （2）设，，， . 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. （3）设，因为，所以若，则.         当，，时，.         设，，，则，. 所以，         所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部（含边界）.         对等边三角形内部任意一点，， 因为与不共线，所以设， 则. 所以，所以. 所以满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.         由对称性可知，动点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $