2.1直线的倾斜角与斜率（十二大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1 直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，则直线的倾斜角为 . 3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 题型二 直线斜率的定义 4．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，直线的倾斜角，直线，直线的斜率 . 6．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 7．已知直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    9．已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 题型四 已知两点求斜率 10．已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 11．已知直线的倾斜角为，且经过点和，则的值为 . 12．已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 题型五 已知斜率求参数 13．经过，两点的直线的斜率是12，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 14．已知直线过两点且斜率为1，则实数的值为 . 15．已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 题型六 斜率公式的应用 16．若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．已知，，，不能构成三角形，则 ． 18．如图，已知直线，直线过点，交于点，交轴于点，求面积的最小值． 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 19．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 20．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 21．已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 题型八 由斜率判断两条直线平行 22．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 23．已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是 ． 24．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 题型九 由斜率判断两直线垂直 25．直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 26．在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为 . 27．（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 题型十 已知直线平行求参数 28．已知两条直线：和：，若，则（   ） A． B．1 C．或1 D．不存在 29．若方程表示两条平行的直线，则的值为 . 30．已知直线与直线，． (1)若，求m的值； (2)当时，过点的直线被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，求直线的方程． 题型十一 已知直线垂直求参数 31．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 32．已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则 ． 33．已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 题型十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 34．已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 35．已知正数满足，则 . 36．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 2．已知直线，则直线的倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】设直线的倾斜角为，先求出直线的斜率，由，即可得出答案. 【详解】由直线可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以，则. 故答案为：. 3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 【答案】 【分析】利用直线的倾斜角的范围是，分类讨论即可得出. 【详解】若，则的倾斜角范围，倾斜角为； 若，则的倾斜角范围，倾斜角为. ∴的倾斜角为. 题型二 直线斜率的定义 4．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，设对应的倾斜角为，则，又的倾斜角为，则，使用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为直线的斜率，设对应的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 故其斜率，解得. 故选：C 5．如图所示，直线的倾斜角，直线，直线的斜率 . 【答案】 【分析】求出的角度，利用解出答案. 【详解】由图可知, 所以直线的斜率 . 故答案为：. 6．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 7．已知直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：， 故选：A 8．如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    【答案】 【分析】由图可得直线、、倾斜角大小关系，据此可得斜率关系． 【详解】设直线、、的倾斜角分别为、、，由图可得，则，也即． 故答案为：． 9．已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值； （2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值. 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 题型四 已知两点求斜率 10．已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据经过两点的直线斜率公式即可得到答案. 【详解】由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 11．已知直线的倾斜角为，且经过点和，则的值为 . 【答案】4 【分析】根据倾斜角求出斜率，结合斜率公式可得答案. 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率为1，即，解得. 故答案为：4 12．已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 题型五 已知斜率求参数 13．经过，两点的直线的斜率是12，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据过两点的直线的斜率公式求的值. 【详解】由题意：. 故选：D 14．已知直线过两点且斜率为1，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】因为直线过两点且斜率为1， 则，解得， 所以实数的值为2. 故答案为：2. 15．已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 题型六 斜率公式的应用 16．若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 17．已知，，，不能构成三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 18．如图，已知直线，直线过点，交于点，交轴于点，求面积的最小值． 【答案】 【分析】设，,由、、三点共线利用斜率关系得到，进而得到，通过换元后利用基本不等式可求解. 【详解】设，,由图可知 由题意知，、、三点共线. 所以，解得． ， 令，则， ∴ 当且仅当，即时取等号. 故面积的最小值为． 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 19．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得直线和的斜率，再结合图象即可求解. 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交，    结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 20．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 21．已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】设直线与线段相交于点， 当P不与重合时，由，得，解得或， 当直线过点时，，即；当直线过点时，，即， 所以实数的取值范围是. 题型八 由斜率判断两条直线平行 22．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    23．已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是 ． 【答案】平行 【分析】由题意有可得，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】由题意可得， 则方程， 即， 它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等， 故表示与平行的直线， 故答案为：平行 ． 24．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 题型九 由斜率判断两直线垂直 25．直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 26．在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为 . 【答案】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 27．（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 题型十 已知直线平行求参数 28．已知两条直线：和：，若，则（   ） A． B．1 C．或1 D．不存在 【答案】B 【分析】根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】若，则，解得或， 当时，、的方程均为，故重合，不符题意； 当时，：，：，两者平行，符合题意，故B正确. 故选：B. 29．若方程表示两条平行的直线，则的值为 . 【答案】2 【分析】将所给方程进行配凑化简，可得，由题意，两直线平行，求得，分别代入检验，即可得答案. 【详解】方程可化为， 即， 所以， 则或， 因为表示两条平行的直线， 所以，解， 当时，两直线为和，符合题意， 当时，两直线为和，即， 则两直线重合，不符合题意，所以的值为2. 故答案为：2 30．已知直线与直线，． (1)若，求m的值； (2)当时，过点的直线被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一般式下两直线平行的条件得到方程，解得的值，再代入检验； （2）求出与的交点，与的交点，从而求出的中点，即可得到为的中点，从而求出直线方程； 【详解】（1）因为直线与直线且， 所以，解得或， 当时直线，直线，符合题意； 当时直线，直线，两直线重合，故舍去； 综上可得. （2）当时直线，直线， 由，解得，即与的交点为； 又，解得，即与的交点为； 又与的中点为， 不妨设在直线上，在直线上，则，即，故为的中点， 所以直线过点，又直线过点， 所以直线的方程为；    题型十一 已知直线垂直求参数 31．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【详解】两直线垂直，，即解得． 故选：A. 32．已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】设为原点，直线与坐标轴分别交于点，当时，记的交点为，直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，该四边形对角互补，有外接圆，因为斜率为，所以斜率为，所以； 当与轴的交点为时直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 若该四边形有外接圆，则，所以， 此时的斜率为，方程为，即，此时，符合题意，． 综上得，． 故答案为： 33．已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值； （2）先将点代入中求出，再设直线为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以，解得或； （2）将点代入中，，解得，则， 因为直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零）， 设直线为，代入，可得，解得， 所以直线为，即. 题型十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 34．已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 35．已知正数满足，则 . 【答案】/. 【分析】 如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 36．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $