第4讲整式的除法-2025-2026学年北师大版七年级下册寒假预习

第4讲 整式的除法 一、核心知识点 （一）整式除法的基础前提 1. 适用范围：整式除法的被除式和除式均为整式，且除式不能为零整式（即除式中字母的取值需保证除式整体不为0）。 1. 核心依据：整式除法是同底数幂除法法则的延伸，同时遵循乘法与除法的逆运算关系，以及分配律（多项式除以单项式时）。 1. 结果特征：单项式除以单项式的结果仍是单项式；多项式除以单项式的结果是多项式（项数与被除式项数相同，若有同类项需合并）。 （二）单项式除以单项式 1. 法则推导（基于积的乘方逆用和同底数幂除法） 例：计算 拆解为三部分分别计算： 系数部分：（有理数除法）； 同底数幂部分：，（同底数幂除法法则）； 合并结果：。 2. 正式法则 文字表述：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 符号表示：若、为非零系数，、为正整数且，则： · （仅含、为例，可拓展到多个字母）。 3. 运算步骤 1. 算系数：将被除式系数与除式系数相除（注意符号，同号得正，异号得负）； 1. 算同底数幂：将相同字母的幂分别相除，底数不变，指数相减； 1. 补单独字母：只在被除式中出现的字母，直接保留其符号和指数； 1. 合并因式：将系数、同底数幂、单独字母的因式相乘，得到最终商。 4. 示例 基础题：； 含负系数：； 含单独字母：（只在被除式中，保留）。 （三）多项式除以单项式 1. 法则推导（基于乘法分配律逆用） 例：计算 根据“”（），拆解为： 。 2. 正式法则 文字表述：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 符号表示：若、、为单项式，为非零单项式，则： · 。 3. 运算步骤 1. 分项除：将多项式的每一项（注意各项符号）分别除以单项式； 1. 逐项算：每一项都按“单项式除以单项式”的法则计算； 1. 合并商：将各项的商相加（保持原有符号），若有同类项需合并。 4. 示例 基础题：； 含常数项：； 结果含同类项：（无同类项，直接相加）； 拓展题：（常数项1不可遗漏）。 （四）整式除法与幂运算的关联 运算类型 核心法则链接 注意事项 单项式除以单项式 系数相除 + 同底数幂相减 + 单独字母保留 系数除法要注意符号，同底数幂指数需满足 多项式除以单项式 分配律 + 单项式除以单项式 每一项都要除以除式，不可漏项，符号随项走 同底数幂除法 整式除法的基础（字母部分运算） 底数不为0，指数相减而非相除 二、常见易错知识 1. 单项式除法中系数计算错误 错误表现： 忽略系数的符号，只算绝对值相除； 系数约分不彻底或错误约分。 示例1：错将计算为（错误，符号应为负，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，系数18÷6=3，正确为）； 示例3：错将计算为（正确，但部分学生因分数系数出错，误写为）。 正确分析： 系数除法遵循有理数除法法则：同号得正，异号得负，再算绝对值相除； 系数为整数时优先约分，为分数时直接保留最简分数形式，不可随意化为整数。 正确计算：，。 2. 同底数幂除法指数处理错误 错误表现： 指数相减误写为相除或相加； 忽略指数为1的隐含条件，导致指数计算错误； 被除式与除式字母指数相等时，误将结果记为0（应为1）。 示例1：错将计算为（错误，指数应相减：，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，，指数3-1=2，正确为）； 示例3：错将计算为0（错误，指数4-4=0，，正确为1）。 正确分析： 同底数幂除法的核心是“指数相减”，需牢记法则，不可与幂的乘方（指数相乘）混淆； 单独字母的指数为1（书写时省略），计算时需补全指数1； 指数相等时，结果为1（前提是底数不为0），而非0。 3. 遗漏被除式中的单独字母 错误表现：只将同底数幂相除，忘记保留被除式中独有的字母及其指数。 示例：错将计算为（正确，无错误）→ 反例：错将计算为（错误，的指数应为3-0=3，正确为）； 典型错误：（错误，遗漏被除式中的，正确为）。 正确分析： 除式中没有的字母，属于“单独字母”，需连同其指数一起保留在商中； 可理解为：除式中该字母的指数为0（），因此被除式中该字母的指数不变（）。 4. 多项式除以单项式漏除某一项 错误表现： 只除多项式的前几项，遗漏后几项（尤其是常数项或系数较小的项）； 忽略多项式中含负号的项。 示例1：错将计算为（错误，遗漏最后一项，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，遗漏，正确为）； 示例3：错将计算为（错误，遗漏，正确为）。 正确分析： 多项式除以单项式的核心是“分项除”，被除式有几项，商就有几项（合并同类项前）； 计算时可先标记每一项的符号，再逐项除以除式，避免漏项。 5. 多项式除以单项式符号错误 错误表现： 分项除时，未随项保留符号，导致商的符号错误； 除式为负时，符号处理混乱。 示例1：错将计算为（错误，第二项，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，第三项，正确为）。 正确分析： 分项时需将每一项的符号（包括“+” “-”）一起带入除法运算； 符号遵循“同号得正，异号得负”，可先确定符号，再算绝对值。 6. 混淆整式除法与乘法公式 错误表现： 多项式除以单项式时，误套平方差公式或完全平方公式； 将单项式除以单项式的系数相除，误写为平方或开方。 示例：错将用平方差公式逆用计算为（看似正确，但七年级下册未学多项式除以多项式，且题目若为“整式除法”，需明确除式为单项式，此处属于超纲应用，若题目明确是多项式除以多项式则另当别论，但七年级阶段需按整式除法定义，仅处理单项式除单项式和多项式除单项式）； 典型错误：错算为（正确，但部分学生误套平方差公式，写成，反而复杂）。 正确分析： 整式除法的核心是“单项式除单项式”和“多项式除单项式”，乘法公式仅适用于特定的乘法运算，不可混淆； 若除式为多项式，七年级下册暂不涉及，需提醒学生仅处理除式为单项式的情况。 7. 结果中同类项合并错误或遗漏常数项 错误表现： 多项式除以单项式后，同类项未合并或合并错误； 忽略商中的常数项（当被除式某一项与除式完全相除时，结果为1，不可漏写）。 示例1：错将计算为（错误，同类项，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，遗漏常数项，正确为）。 正确分析： 分项计算后，需观察是否有同类项，若有则按同类项合并法则合并； 当被除式的某一项与除式的商为1时（如），1作为常数项必须保留，不可省略。 【知识点结合练】 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式除以单项式法则计算即可得． 【详解】解： ． 故选：B． 2．已知单项式与的乘积为，则单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故单项式是； 故选B． 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘以多项式，多项式除以单项式以及平方差公式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和单项式的除法，掌握这些法则是关键．根据法则依次计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式法则是解决本题的关键．根据合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式解决此题． 【详解】解：A．根据合并同类项法则，与不是同类项，无法合并，那么A不符合题意． B．根据单项式除以单项式法则，得，那么B不符合题意． C．根据积的乘方，得，那么C不符合题意． D．根据完全平方公式，得，那么D不符合题意． 故选：D 6．有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则、多项式除单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式等知识点逐个计算得结论． 【详解】解：，故①运算错误； ，故②运算错误； ，故③运算正确； ，故④运算正确； ，故⑤运算错误； 综上所述，正确的有③④，一共2个． 故选：B． 7．如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式乘法和除法、整式加减的应用，设长方形的B的长为，则宽为，进一步表示出长方形A的长和宽，即可求出答案． 【详解】解：设长方形的B的长为，则宽为， 由B、D的面积相等可得D的较短边长为，较长边为， ∴长方形A的较长边为， 由A、B面积相等可知长方形A较短边 ， ∴长方形A的长宽之比为． 故选：D 8．若长方形的面积是，它的一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．已知长方形的面积和一边长，先求出另一边长，再利用周长公式计算． 【详解】解：已知一边长为 ，则另一边长为： 因此，长方形的两边长分别为 和 ． 周长为 故周长为 ， 故选：D． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，即可求解；掌握多项式除以单项式法则是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11．已知长方形的面积是，其中一边的长是，则相邻的一边的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，由题意可得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 长方形的一边的长是， 故答案为：． 12．如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为、，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及整式的加减运算；由两根铁丝长度相同，求出乙长方形的长，分别计算出，则可计算． 【详解】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为， 则， ． 故答案为3． 13．地球表面平均上的空气质量约为，地球的表面积大约是，地球的质量约为，则地球质量大约是其表面全部空气质量的 倍（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的应用，同底数幂乘法，整式的除法运算，先把地球的表面积转换为，再列出即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵地球的表面积大约是， ∴， 故答案为：． 14．我们定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，先根据题意得到，再由新定义得到，再把代入中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 15．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，明确题意、运用新运算法则得到代数式是解题的关键． 先根据新运算法则得到代数式，然后再运用整式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 16．深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学  问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是 ． 账号： ， ， 密码． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，积的乘方即可求解； （2）运用平方差公式，完全平方公式计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 根据单项式除以单项式法则计算即可得； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟准确熟练地进行计算是解题的关键．先运用整式的运算法则进行计算，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查的是整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练的进行整式的乘法与除法运算是解本题的关键．先计算括号内的整式的乘法运算，再进行多项式除以单项式，得到化简后的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 22．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算： (1) (2) (3) (4)（用乘法公式计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查整式的混合运算，负整数次幂、零次幂、平方差公式等： （1）先计算乘方，负整数次幂，零次幂，再进行加减运算； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项； （3）利用平方差公式计算； （4）将原式变形为，再利用平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先按照整式的运算顺序和法则化简原式，再将的值代入计算可得； （2）先按照整式的混合运算顺序和法则化简原式，再将的值代入计算可得． 本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， 当，时， 原式； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 试卷第6页，共16页 试卷第5页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 整式的除法 一、核心知识点 （一）整式除法的基础前提 1. 适用范围：整式除法的被除式和除式均为整式，且除式不能为零整式（即除式中字母的取值需保证除式整体不为0）。 1. 核心依据：整式除法是同底数幂除法法则的延伸，同时遵循乘法与除法的逆运算关系，以及分配律（多项式除以单项式时）。 1. 结果特征：单项式除以单项式的结果仍是单项式；多项式除以单项式的结果是多项式（项数与被除式项数相同，若有同类项需合并）。 （二）单项式除以单项式 1. 法则推导（基于积的乘方逆用和同底数幂除法） 例：计算 拆解为三部分分别计算： 系数部分：（有理数除法）； 同底数幂部分：，（同底数幂除法法则）； 合并结果：。 2. 正式法则 文字表述：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 符号表示：若、为非零系数，、为正整数且，则： · （仅含、为例，可拓展到多个字母）。 3. 运算步骤 1. 算系数：将被除式系数与除式系数相除（注意符号，同号得正，异号得负）； 1. 算同底数幂：将相同字母的幂分别相除，底数不变，指数相减； 1. 补单独字母：只在被除式中出现的字母，直接保留其符号和指数； 1. 合并因式：将系数、同底数幂、单独字母的因式相乘，得到最终商。 4. 示例 基础题：； 含负系数：； 含单独字母：（只在被除式中，保留）。 （三）多项式除以单项式 1. 法则推导（基于乘法分配律逆用） 例：计算 根据“”（），拆解为： 。 2. 正式法则 文字表述：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 符号表示：若、、为单项式，为非零单项式，则： · 。 3. 运算步骤 1. 分项除：将多项式的每一项（注意各项符号）分别除以单项式； 1. 逐项算：每一项都按“单项式除以单项式”的法则计算； 1. 合并商：将各项的商相加（保持原有符号），若有同类项需合并。 4. 示例 基础题：； 含常数项：； 结果含同类项：（无同类项，直接相加）； 拓展题：（常数项1不可遗漏）。 （四）整式除法与幂运算的关联 运算类型 核心法则链接 注意事项 单项式除以单项式 系数相除 + 同底数幂相减 + 单独字母保留 系数除法要注意符号，同底数幂指数需满足 多项式除以单项式 分配律 + 单项式除以单项式 每一项都要除以除式，不可漏项，符号随项走 同底数幂除法 整式除法的基础（字母部分运算） 底数不为0，指数相减而非相除 二、常见易错知识 1. 单项式除法中系数计算错误 错误表现： 忽略系数的符号，只算绝对值相除； 系数约分不彻底或错误约分。 示例1：错将计算为（错误，符号应为负，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，系数18÷6=3，正确为）； 示例3：错将计算为（正确，但部分学生因分数系数出错，误写为）。 正确分析： 系数除法遵循有理数除法法则：同号得正，异号得负，再算绝对值相除； 系数为整数时优先约分，为分数时直接保留最简分数形式，不可随意化为整数。 正确计算：，。 2. 同底数幂除法指数处理错误 错误表现： 指数相减误写为相除或相加； 忽略指数为1的隐含条件，导致指数计算错误； 被除式与除式字母指数相等时，误将结果记为0（应为1）。 示例1：错将计算为（错误，指数应相减：，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，，指数3-1=2，正确为）； 示例3：错将计算为0（错误，指数4-4=0，，正确为1）。 正确分析： 同底数幂除法的核心是“指数相减”，需牢记法则，不可与幂的乘方（指数相乘）混淆； 单独字母的指数为1（书写时省略），计算时需补全指数1； 指数相等时，结果为1（前提是底数不为0），而非0。 3. 遗漏被除式中的单独字母 错误表现：只将同底数幂相除，忘记保留被除式中独有的字母及其指数。 示例：错将计算为（正确，无错误）→ 反例：错将计算为（错误，的指数应为3-0=3，正确为）； 典型错误：（错误，遗漏被除式中的，正确为）。 正确分析： 除式中没有的字母，属于“单独字母”，需连同其指数一起保留在商中； 可理解为：除式中该字母的指数为0（），因此被除式中该字母的指数不变（）。 4. 多项式除以单项式漏除某一项 错误表现： 只除多项式的前几项，遗漏后几项（尤其是常数项或系数较小的项）； 忽略多项式中含负号的项。 示例1：错将计算为（错误，遗漏最后一项，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，遗漏，正确为）； 示例3：错将计算为（错误，遗漏，正确为）。 正确分析： 多项式除以单项式的核心是“分项除”，被除式有几项，商就有几项（合并同类项前）； 计算时可先标记每一项的符号，再逐项除以除式，避免漏项。 5. 多项式除以单项式符号错误 错误表现： 分项除时，未随项保留符号，导致商的符号错误； 除式为负时，符号处理混乱。 示例1：错将计算为（错误，第二项，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，第三项，正确为）。 正确分析： 分项时需将每一项的符号（包括“+” “-”）一起带入除法运算； 符号遵循“同号得正，异号得负”，可先确定符号，再算绝对值。 6. 混淆整式除法与乘法公式 错误表现： 多项式除以单项式时，误套平方差公式或完全平方公式； 将单项式除以单项式的系数相除，误写为平方或开方。 示例：错将用平方差公式逆用计算为（看似正确，但七年级下册未学多项式除以多项式，且题目若为“整式除法”，需明确除式为单项式，此处属于超纲应用，若题目明确是多项式除以多项式则另当别论，但七年级阶段需按整式除法定义，仅处理单项式除单项式和多项式除单项式）； 典型错误：错算为（正确，但部分学生误套平方差公式，写成，反而复杂）。 正确分析： 整式除法的核心是“单项式除单项式”和“多项式除单项式”，乘法公式仅适用于特定的乘法运算，不可混淆； 若除式为多项式，七年级下册暂不涉及，需提醒学生仅处理除式为单项式的情况。 7. 结果中同类项合并错误或遗漏常数项 错误表现： 多项式除以单项式后，同类项未合并或合并错误； 忽略商中的常数项（当被除式某一项与除式完全相除时，结果为1，不可漏写）。 示例1：错将计算为（错误，同类项，正确为）； 示例2：错将计算为（错误，遗漏常数项，正确为）。 正确分析： 分项计算后，需观察是否有同类项，若有则按同类项合并法则合并； 当被除式的某一项与除式的商为1时（如），1作为常数项必须保留，不可省略。 【知识点结合练】 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知单项式与的乘积为，则单项式是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A、B为长方形，其中长方形B的长和宽的比为．求长方形A的长和宽的比为（   ） A． B． C． D． 8．若长方形的面积是，它的一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．计算： ． 11．已知长方形的面积是，其中一边的长是，则相邻的一边的长是 ． 12．如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为、，则的值是 ． 13．地球表面平均上的空气质量约为，地球的表面积大约是，地球的质量约为，则地球质量大约是其表面全部空气质量的 倍（结果用科学记数法表示）． 14．我们定义一种新运算：，若，则 ． 15．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 16．深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学  问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是 ． 账号： ， ， 密码． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中． 21．先化简，再求值：，其中，． 22．计算． (1)； (2)． 23．计算： (1) (2) (3) (4)（用乘法公式计算）． 24．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $