第12章 全等三角形 单元测试 2025-2026学华东师大版数学八年级上册

第12章 全等三角形（单元测试）2025-2026学华东师大版数学八年级上册 一、单选题 1．如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2．下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，且，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知中，，E、D分别为、上的点，连接，，若，，则的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．如图，用直尺和圆规作. 根据作图痕迹可知，作图的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 7．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中，，．把绕点顺时针旋转得到，如图②，连接，则的度数为（ ） A．10° B．20° C．7.5° D．15° 8．一项工程由甲、乙、丙三个人来完成，原计划n天完成（n为正整数），如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作，则比原计划晚0.5天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作，则比原计划晚1天完成，若丙单独完成这项工程需要50天，则n=（　　） A．37 B．38 C．40 D．41 9．如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论： ①；②AP平分∠BAC；③；④；⑤， 正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．线段的垂直平分线上的点与这条线段的　 　的距离相等. 12．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则　 　． 13．若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是　 　cm． 14．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是　 　． 15．如图，，垂直平分，交于点D，交于点E，若的周长为28，，则的周长为　 　． 16．如图，在中，，点D，E分别在，上，连接，，，，若，，则的面积为　 　． 17．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中正确结论的序号是　 　． 18．在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N．如果△CAN是等腰三角形，则∠B的度数为　 　． 三、解答题 19．如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 20.如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：     (1)旋转中心是什么，为多少度？ (2)与线段相等的线段是哪一条？ (3)的面积是多少？ 21．如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 22．如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数． 23．如图，已知△ABE≌△ACD． （1）如果BE=6，DE=2，求BC的长； （2）如果∠BAC=75°，∠BAD=30°，求∠DAE的度数． 24．如图1，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC． （1）求∠B，∠C的度数； （2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2， ①求证：△ANE是等腰三角形； ②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF， ∴BC=EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴C△DEF=C△ABC=24cm． ∵CF=3cm， ∴制成整个风筝框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45cm． 故答案为：B． 【分析】先求出BC=EF，再求出△ABC≌△DEF，最后求解即可。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，分别连接CD，EF， 由作图过程知：OC=OD=O'E=O'F，CD=EF， ∴(SSS)， ∴ 故答案为：D. 【分析】有作图过程可知：在和中，满足三边对应相等，即可得出(SSS)，进而得出可得出答案。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得：∠CD1E1＝∠D＝30°，∠D1CE1＝∠DCE＝90°－30°＝60°， ∵把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1， ∴∠BCE1＝15°， ∴∠D1CB＝60°－15°＝45°， 在△ACB和△CBD1中， ， ∴△ACB≌△CBD1（SAS） ∴∠CD1B＝∠A＝45°， ∴∠E1D1B＝∠CD1B－∠CD1E1＝45°－30°＝15°. 故答案为：D. 【分析】根据题意，用边角边可证明△ACB≌△CBD1，由全等三角形的对应边相等可得：∠CD1B=∠A，由角的和差∠E1D1B＝∠CD1B－∠CD1E1可求解． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：第一种：甲+乙+丙+...=1； 第二种：丙+甲+乙+...=1； 第三种：乙+丙+甲+...=1； 我们发现只要经过3的倍数天，甲、乙、丙的工作天数都是一样的， ∴只要看最后那几天就行 若第一种情况，最后甲+乙 那么第三种情况最后必然是乙+丙+甲，这样得到甲+乙=乙+丙+甲，显然不符合题意， ∴第一种情况，最后应该是甲； 那么第二种情况最后就是丙+甲， 第三种情况就是乙+丙； ∴甲=丙+甲=乙+丙， 因为丙单独50天做完，工效为， ∴通过计算得到甲单独25天完成，乙单独50天完成， ∴ n=40， 故答案为：C. 【分析】分三种情况考虑，最后发现只要经过3的倍数天，甲、乙、丙的工作天数都是一样的，则只要看最后那几天就行，若第一种情况，最后甲+乙，那么第三种情况最后必然是乙+丙+甲，这样得到甲+乙=乙+丙+甲，显然不符合题意，据此分析另外两种情况即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】①∵BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠BAC=60° ∴∠PBC+∠PCB=×（180°-∠BAC）=×（180°-60°）=60°， ∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°， 故①正确，符合题意； ②过点P分别作出PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，如图所示： ∵BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴PF=PG=PH， ∴AP是∠BAC的角平分线， 故②正确，符合题意； ③∵假设AP=PC，则∠PAC=∠PCA， ∴∠BAC=∠BCA=60°， ∴△ABC是等边三角形，这与题干中任意画一个∠BAC=60°的△ABC不符合， 故③不正确，不符合题意； ④∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°， ∴∠FPG=120°， ∴∠DPF=∠EPG， 在△PFD和△PGE中， ， ∴△PFD≌△PGE（ASA）， ∴PD=PE， 在Rt△BHP和Rt△BFP中， ， ∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL）， 同理可得：Rt△CHP≌Rt△CGP， ∴BH=BD+DF，CH=CE-GE， 两式相加可得：BH+CH=BD+DF+CE-GE， ∵DF=EG， ∴BC=BD+CE， 故④正确，符合题意； ⑤∵AP是∠BAC的角平分线， ∴点P到AB和AC的距离相等， ∴S△ABP：S△ACP=AB：AC， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②④⑤，共4个， 故答案为：B. 【分析】利用角平分线的性质和判定方法、全等三角形的判定方法和性质及三角形的面积公式的计算方法逐项分析判断即可. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：是等边三角形， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 的平分线交于边上的点G， ， ， ，故②正确； 如下图，过点G作于T，于J，于K， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上：正确的有4个； 故答案为：A． 【分析】根据等边三角形的性质得到，即可判断①；得到，，再根据，判断②；先证明，即可得到，然后证明，判断③；证明，即可得到，然后证明，再根据，判断④即可解题. 11．【答案】两个端点 【解析】【解答】解：线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等， 故答案为：两个端点. 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得：线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等，从而可得答案. 12．【答案】10 13．【答案】15 【解析】【解答】解：当3cm为底时，其它两边为6cm，6cm，且3cm，6cm，6cm可以构成三角形， ∴ 等腰三角形的周长3+6+6=15cm， 当6cm为底时，其它两边为3cm，3cm， ∵3+3=6， ∴3cm，3cm，6cm不可以构成三角形， ∴ 这个等腰三角形的周长是15cm. 故答案为：15. 【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当3cm为底时，当6cm为底时，再结合三角形三边关系求解即可. 14．【答案】25 【解析】【解答】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， 在△ABN和△AEN中， ， ∴△ABN≌△AEN（ASA）， ∴AE=AB=6，BN=NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE=2MN=2×1.5=3， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25， 故答案为：25． 【分析】延长线段BN交AC于E，则∠ANB=∠ANE，由角平分线的概念可得∠BAN=∠EAN，然后证明△ABN≌△AEN，得到AE=AB=6，BN=NE，由中位线的性质可得CE=2MN，据此求解. 15．【答案】18 【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为28，即AB+AC+BC=28 BC=8，AB=AC， AB=AC=， DE垂直平分AB， AE=BE， ∴△BCE的周长为BC+CE+BE=BC+CE+AE=AC+BC=10+8=18. 故答案为：18. 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形周长计算方法可得AB=AC=10，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，最后根据三角形周长计算方法、线段的和差及等量代换可将△BCE的周长转化为AC+BC，此题得解. 16．【答案】20 17．【答案】①②③ 【解析】【解答】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AC=AB，BE=CF，即结论②符合题意； ∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM， ∴△ACN≌△ABM（ASA），即结论③符合题意； ∵∠BAE=∠CAF， ∵∠1=∠BAE-∠BAC，∠2=∠CAF-∠BAC， ∴∠1=∠2，即结论①符合题意； ∴△AEM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN， ∴CM=BN， ∵∠CDM=∠BDN，∠C=∠B， ∴△CDM≌△BDN， ∴CD=BD， 无法判断CD=DN，故④不符合题意， ∴题中正确的结论应该是①②③． 故答案为：①②③． 【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。 18．【答案】45°或36° 【解析】【解答】解：∵把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N， ∴MN是AB的中垂线． ∴NB=NA． ∴∠B=∠BAN， ∵AB=AC ∴∠B=∠C． 设∠B=x°，则∠C=∠BAN=x°． 1）当AN=NC时，∠CAN=∠C=x°． 则在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180， 解得：x=45°则∠B=45°； 2）当AN=AC时，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN，故此时不成立； 3）当CA=CN时，∠NAC=∠ANC= ． 在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+ =180， 解得：x=36°． 故∠B的度数为 45°或36°． 【分析】MN是AB的中垂线，则△ABN是等腰三角形，且NA=NB，即可得到∠B=∠BAN=∠C．然后对△ANC中的边进行讨论，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数． 19．【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，由平行线的性质得∠ADB=∠EBC ，进而证明△ABD=△ECB. 【详解】证明：：在四边形ABCD中，ADIBC，点E为对角线BD上一点， u 2KW.9 .∠ADB=∠EBC. 在△ADB和△EBC中. （∠A=∠BEC AD=BE (∠ADB=∠EBC :AABD=AECB(ASA). 20．【答案】【答案】(1)C45° (2)EC (3)2cm² 【分析】 （1）根据旋转中心的定义、旋转的性质即可求得答案。 （2）根据旋转前后的图形全等，即可直接求得答案， （3）根据旋转前后的图形全等，即可求得答案。 【详解】 （1）观察图形可知，旋转中心为C. ·旋转前后的图形全等，即△DCE△BCA, : ∠DCE = ∠BCA=90° - ∠BAC= 45°. 故答案为:C，45°； (2）·旋转前后的图形全等，即△DCE△BCA， :AC=EC. 故答案为：EC. (3）·旋转前后的图形全等，即△DCE△BCA, :.AB=ED=2cm，BC=DC=2cm，∠ABC= ∠EDC=90°. SACDE=2××2=2(cm²). 故答案为：2cm². 【点睛】本题主要考查旋转的性质，即旋转前后的图形全等，牢记旋转的性质是解题的关键， 21．【答案】（1)见解析 (2)DE=2AC，见解析 【分析】本题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键。 （1）过P作BC的平行线至AC于F，易证△APF是等边三角形，再证明△PFD与△QCD全等，得出结论； (2)利用△APF是等边三角形，PE⊥AC，得出AE=EF，再由△PFD=△QCD，得出CD=DF，由此得出DE与AC的关系解决问 题. 【详解】(1)证明:△ABC是等边三角形， :.∠A= ∠ABC= ∠ACB=60°， 过P作BC的平行线至AC于F， :∠AFP= ∠ACB=60°，∠APF= ∠ABC=60°， :.∠LA= ∠APF=∠AFP=60°， :APF是等边三角形; .PA=PF， ·PA=CQ, .PF=CQ. ·PFIIBQ. ..∠PFD=∠QCD, 又∠PDF=∠QDC,PF=CQ. PD=DQ: (2） 解:结论:DE=＝AC，理由: :PE⊥AC，△APF是等边三角形， :AE=EF. .CD=DF. .DE=EF +DF=AC. 22．【答案】解：平分， ， 又垂直平分， ， ， ， ，， ， ， 即， ． 【解析】【分析】利用角平分线的定义可得，再利用垂直平分线的性质及等量代换可得，再结合，求出，从而得解. 23．【答案】（1）10；（2）15° 24．【答案】（1）解：∵BA＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∵DA＝DB， ∴∠BAD＝∠B， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B， ∴∠DAC＝∠B， ∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°， ∴2∠B+2∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°； （2）解：①证明：在△ADB中， ∵DB＝DA，∠B＝36°， ∴∠BAD＝36°， 在△ACD中，∵AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC＝72°， ∴∠CAD＝36°， ∴∠BAD＝∠CAD＝36°， ∵MH⊥AD， ∴∠AHN＝∠AHE＝90°， ∴∠AEN＝∠ANE＝54°， 即△ANE是等腰三角形； ②CD＝BN+CE，理由如下： 证明：由①知AN＝AE， 又∵BA＝BC，DB＝AC， ∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD， ∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD， 即CD＝BN+CE． 【解析】【分析】（1） 由等边对等角及三角形外角性质得∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，进而根据角的和差可推出∠DAC＝∠B，在△ADC中由三角形内角和定理建立方程可求得∠B及∠C的度数； （2）①由（1）可知∠B=∠BAD＝∠CAD＝36°，又由垂直定义得∠AHN＝∠AHE＝90°，进而根据三角形的内角和定理得∠AEN＝∠ANE＝54°，由等角对等边可得AN=AE，此题得证了； ②由①知△ANE是等腰三角形，所以AN=AE，又因BA＝BC，DB＝AC，有BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，即BN+CE＝BC﹣BD＝CD，故CD=BN+CE. 学科网（北京）股份有限公司 $