精品解析：广东省揭阳市普宁市勤建学校2025-2026学年高二上学期第二次调研考试数学试题

勤建学校高二年级上学期第二次调研考试 数学试卷 2025.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在四面体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加减运算计算即可. 【详解】根据向量的加法、减法法则，得， 故选：B. 2. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为， 又因为，故. 故选：A. 4. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 6. 如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】在长方体中，为与的交点， 因为，，， 则，， 所以 故选：B. 7. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数的取值范围． 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故选：A． 8. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得椭圆中心到直线的距离小于短半轴长，推得，结合椭圆特征可得，表示出椭圆离心率，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交， 则，解得，又椭圆焦点在x轴上，则，故， 则椭圆C的离心率． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量， 可得，，所以A、B正确； 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以向量与向量不共线，所以C错误； 设，可得， 所以，解得，所以共面，所以D正确. 故选：ABD. 10. 在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 在上存在点，使在直线上 C. 在上存在点，使得 D. 在上存在点，使得 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：设，根据题意求曲线为方程即可；对于B：根据直线与圆的位置关系分析判断；对于C： 【详解】对于A：设，因为，所以， 整理得，即，故A正确； 对于B：曲线的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 所以在上不存在点，使在直线上，故B错误； 对于C：点A到圆心的距离为， 可知，所以不存在点，使得，故C错误； 对于D：设，由得，， 化简整理得，， 可知点的轨迹为以圆心为，半径为1的圆， 则圆心距为，则两圆内切， 所以在上存在点，使得，故D正确. 故选：AD. 11. 已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 点纵坐标为 B. C. 的周长为 D. 的内切圆半径为 【答案】CD 【解析】 【分析】 设，利用以及椭圆方程可求出点坐标，即可判断A；求出，，利用韦达定理可判断B；根据椭圆的定义可判断C；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D. 【详解】解：由已知，不妨设， 则 ，故A错； ，得，， ， ， ， ，故B错； 由椭圆定义，的周长，故C正确； 设的内切圆半径为， ，，故D正确； 故选：CD. 【点睛】本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】， 故答案为：6 13. 已知，，直线过点，且与向量垂直，则直线的一般方程是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算和垂直关系可求得直线的斜率，根据直线点斜式整理可得一般式方程. 【详解】，直线与向量垂直，直线的斜率， 又过点，直线方程为：， 整理可得直线的一般方程为：. 故答案为：. 14. 已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，建立的面积表达式，结合基本不等式求解出时，的面积取得最大值,再求出此时的的值. 【详解】由，得，需满足， 设，，则，， ． 又O到直线AB的距离， 则的面积， 当且仅当，即时，的面积取得最大值． 此时，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 如图，正方体中，E、F、G分别为，，的中点. （1）证明：平面ACE； （2）求与平面ACE所成角的余弦值. 【答案】（1）连接BD和，设， 连接EO，则O为BD中点， 在中，因为F，G分别为和的中点， 所以，又因为在中，因为E为的中点， 所以，所以 又平面ACE，平面ACE， 所以平面ACE． （2）. 【解析】 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建系如图： 设正方体的棱长为2， 则，，，， 所以，，， 设为平面ACE的一个法向量， 则，所以，取 设直线与平面ACE所成角为， 所以直线与平面ACE所成角的正弦值为： ． 所以与平面ACE所成角的余弦值为. 16. 如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： （1）求的模； （2）求的值； （3）求证：是平面的一个法向量. 【答案】（1） （2） （3） 依题意得、、、、， 则，，， 所以，，， 则，，即，， 又因为，平面，所以平面. 是平面的一个法向量. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的模长公式可求得结果； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）利用空间向量法可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立 如下图所示的空间直角坐标系， 则，，所以， 则. 【小问2详解】 依题意得、、、， 所以，，，， 又，， 所以，. 【小问3详解】 略 17. 已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答. （2）设出直线l的方程，求出圆心C到直线l的距离，借助点到直线距离公式计算作答. 【小问1详解】 因为圆与直线相切于点 所以过点与直线垂直的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 由，解得圆心.所以半径. 故圆的标准方程为：； 【小问2详解】 ①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：， 即，所以圆心到直线的距离， 又因为，，所以，解得. 此时直线的方程为. ②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径， 弦长为，符合题意. 综上，直线的方程为或. 18. 已知圆，圆． （1）若两圆内含，求实数的取值范围． （2）是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． 【小问2详解】 两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 19. 已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形的性质可求出，从而可得标准方程, （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用公式表示三角形面积，从而可求面积的最大值. 【小问1详解】 △PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点， 而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形， 故，因面积的最大值为，故， 故， 故椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 设，则由可得， 此时恒成立. 而， 到的距离为, 故的面积， 令，设，则， 故在上为增函数，故即的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高二年级上学期第二次调研考试 数学试卷 2025.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在四面体中，（ ） A. B. C. D. 2. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 10. 在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 在上存在点，使在直线上 C. 在上存在点，使得 D. 在上存在点，使得 11. 已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 点纵坐标为 B. C. 的周长为 D. 的内切圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则______． 13. 已知，，直线过点，且与向量垂直，则直线的一般方程是______ ． 14. 已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 如图，正方体中，E、F、G分别为，，的中点. （1）证明：平面ACE； （2）求与平面ACE所成角的余弦值. 16. 如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： （1）求的模； （2）求的值； （3）求证：是平面的一个法向量. 17. 已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 18. 已知圆，圆． （1）若两圆内含，求实数的取值范围． （2）是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $