专题——二次函数最值问题的三种类型2025-2026学年苏科版数学九年级下册

二次函数最值问题的三种类型 （原卷版） 与二次函数有关的最值问题一般会涉及函数值、线段值和面积值，每种类型的求解思路不同，需要熟悉练习和掌握.学习这种常见的考查题型，有助于解题效率的提升，也同样能使综合能力得到显著提升. 1.函数值最值 求解二次函数值的最大或最小值的题目，是最常见的考题，可以是规定范围求最值，也可以是已知函数最值分析符合题意的参数.这些问题的解答，结合二次函数具体图象更直观便捷，根据开口方向和对称轴确定最值的范围，可以得到相关等式，运算求解即可得到最终答案. 例1已知二次函数（为常数，且）. （1）若函数图象过点，求的值； （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 分析 本题对函数最大值和最小值都做出考查，由于系数大小决定二次函数图象的开口方向和最值，故需要分情况讨论.分别对和两种情况进行分析，得到对应最大值和最小值的表达式并求解，可得最终答案. 解 （1）. （2）由可知对称轴为直线. ① 当时，开口方向向上，当时，时取最小值，时取最大值， 所以，， 因为， 解得，满足题意； ② 当时，开口方向向下，当时，时取最大值，时取最小值， 所以，， 因为， 解得，满足题意. 综上所述，. 2.距离最值 关于二次函数的距离最值问题，一般指函数上动点到已知坐标点的距离的最大值，这类问题同样十分常见.求解这类问题，主要是对未知动点坐标进行假设，用假设变量表示线段长度，通过分析得到最值，对应问题所求距离的最值. 例2如图1，抛物线与直线相交于点，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点. （1）的值为______. （2）长度的最大值为______. 分析 求解二次函数上动点到直线的 竖直距离最大值，应结合解析式对未知点进行假设，由于竖直线段长度表达式等于纵坐标的根号平方差，分析表达式的最值，即可得到长度的最大值。 解 （1）把代入得， 所以， 把代入， 得， 故答案为。 （2）设点的横坐标为，长度为， 则点的纵坐标为， 因为轴， 所以点的横坐标为， 所以，是的二次函数， 因为， 所以当时，取最大值， 此时，长度的最大值为。 3.面积最值 主要指二次函数结合三角形或四边形等几何图形围成的面积最值，求解的关键在于运用面积公式表示，结合假设变量得到具体的表达式，并根据表达式特点找到最值。对于面积最值问题应善于利用分割、补形等方式求解，能更方便地解题。 例3如图2所示，已知二次函数与轴、轴交于点，，点是直线上方抛物线的一个动点（不与，点重合），求面积的最大值。 分析 求解由动点和二次函数与坐标轴的交点构成的三角形面积，需要结合分割补形方式求解图形面积，首先分割，使其分为两个三角形面积和，根据面积公式求解，假设点坐标并解答即可。 解 过点作轴，垂足为，交于点，如图3所示。 因为， 所以当取最大值时，有最大面积， 设点， 点， 可知， 当时，有最大值，且， 。 上述例题分别对函数值、线段最值和面积最值做出分析和总结，三类与二次函数有关的不同问题分别有对应的解题思路，只有结合具体类型仔细分析和解答，才能得到正确的答案。 专项练习 一、选择题 1．关于二次函数的最值，说法正确的是（　　） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 2．已知一个二次函数图象经过，四点，若，则的最值情况是（　　） A．最小，最大 B．最小，最大 C．最小，最大 D．无法确定 3．（2024·龙川模拟）关于二次函数的最值，说法正确的是（　　） A．最小值为-1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3 二、解答题 4．如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数如图2刻画，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）： … 0 … … 3 2.92 … （1）①________； ②求函数的解析式； （2）①排球的落点是，求点的坐标． ②若排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（提示：到轴的距离大于9米） 5．（2025九上·肇庆期中）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 飞行高度 【建立模型】 任务：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 6．如果将运动员的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数图1的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 0 1 竖直高度 10 10 根据上述数据，求出关于的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点时距水面的高度为，从到达到最高点开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要s的时间才能完成极具难度的动作． 请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ 7．（2025九上·光明期中）综合与实践 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间x 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间x（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间x的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当汽车刹车后，4s共行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 8．（2025·深圳模拟）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 9．（2025九上·广东期末）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 10．（2024·深圳模拟）综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y （m）与水平距离x （m）满足二次函数的关系. （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h （m）与时间t （s）之间满足h=-5t2+k . 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C 动作. 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x （m）的关系为y =ax2-ax+10（a<0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C 动作，则a的取值范围是 ▲ . 11．（2025·香洲模拟）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究． 【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值； 【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下： 0 4 5 y取最小值时x的值 或0 【探究发现】 发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证． （2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值． 【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围． 12．已知抛物线与x轴相交于不同的两点． （1）求的取值范围； （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标； （3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由． 13．【阅读材料】 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题． 例如：求代数式的最值． 解：因为 （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． （1）【材料理解】 　　时，代数式的最 　　 “大”或“小” 值为 　　． （2）【类比应用】 试判断关于的一元二次方程实数根的情况，并说明理由． （3）【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 14．（2025九上·龙岗期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应地任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于x的二次三项式（a，b，c为常数，a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值.比如：求的最小值，令得，则解得，所以的最小值为4.这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法. 问题解决 ⑴任务1 感受新知：用判别式法求的最小值； ⑵任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； ⑶任务3 应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃.若要围成面积为400平方米的花圃， ①设需要用的篱笆是l米，AD=x米，用含l和x的代数式表示AB的长为 ▲ 米； ②需要用的篱笆最少是多少米? 15．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图象上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形． 试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题． 【初步感知】 如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图象经过点． （1）点旋转后，得到的点的坐标为________； （2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式． 【深入感悟】 （3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积． 【灵活运用】 （4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数最值问题的三种类型 （解析版） 与二次函数有关的最值问题一般会涉及函数值、线段值和面积值，每种类型的求解思路不同，需要熟悉练习和掌握.学习这种常见的考查题型，有助于解题效率的提升，也同样能使综合能力得到显著提升. 1.函数值最值 求解二次函数值的最大或最小值的题目，是最常见的考题，可以是规定范围求最值，也可以是已知函数最值分析符合题意的参数.这些问题的解答，结合二次函数具体图象更直观便捷，根据开口方向和对称轴确定最值的范围，可以得到相关等式，运算求解即可得到最终答案. 例1已知二次函数（为常数，且）. （1）若函数图象过点，求的值； （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 分析 本题对函数最大值和最小值都做出考查，由于系数大小决定二次函数图象的开口方向和最值，故需要分情况讨论.分别对和两种情况进行分析，得到对应最大值和最小值的表达式并求解，可得最终答案. 解 （1）. （2）由可知对称轴为直线. ① 当时，开口方向向上，当时，时取最小值，时取最大值， 所以，， 因为， 解得，满足题意； ② 当时，开口方向向下，当时，时取最大值，时取最小值， 所以，， 因为， 解得，满足题意. 综上所述，. 2.距离最值 关于二次函数的距离最值问题，一般指函数上动点到已知坐标点的距离的最大值，这类问题同样十分常见.求解这类问题，主要是对未知动点坐标进行假设，用假设变量表示线段长度，通过分析得到最值，对应问题所求距离的最值. 例2如图1，抛物线与直线相交于点，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点. （1）的值为______. （2）长度的最大值为______. 分析 求解二次函数上动点到直线的 竖直距离最大值，应结合解析式对未知点进行假设，由于竖直线段长度表达式等于纵坐标的根号平方差，分析表达式的最值，即可得到长度的最大值。 解 （1）把代入得， 所以， 把代入， 得， 故答案为。 （2）设点的横坐标为，长度为， 则点的纵坐标为， 因为轴， 所以点的横坐标为， 所以，是的二次函数， 因为， 所以当时，取最大值， 此时，长度的最大值为。 3.面积最值 主要指二次函数结合三角形或四边形等几何图形围成的面积最值，求解的关键在于运用面积公式表示，结合假设变量得到具体的表达式，并根据表达式特点找到最值。对于面积最值问题应善于利用分割、补形等方式求解，能更方便地解题。 例3如图2所示，已知二次函数与轴、轴交于点，，点是直线上方抛物线的一个动点（不与，点重合），求面积的最大值。 分析 求解由动点和二次函数与坐标轴的交点构成的三角形面积，需要结合分割补形方式求解图形面积，首先分割，使其分为两个三角形面积和，根据面积公式求解，假设点坐标并解答即可。 解 过点作轴，垂足为，交于点，如图3所示。 因为， 所以当取最大值时，有最大面积， 设点， 点， 可知， 当时，有最大值，且， 。 上述例题分别对函数值、线段最值和面积最值做出分析和总结，三类与二次函数有关的不同问题分别有对应的解题思路，只有结合具体类型仔细分析和解答，才能得到正确的答案。 专项练习 一、选择题 1．关于二次函数的最值，说法正确的是（　　） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 2．已知一个二次函数图象经过，四点，若，则的最值情况是（　　） A．最小，最大 B．最小，最大 C．最小，最大 D．无法确定 【答案】B 【解析】【解答】解：， 抛物线的开口向上，且对称轴与轴的交点在与之间， 点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， 最小，最大． 故答案为：B 【分析】根据二次函数性质即可求出答案. 3．（2024·龙川模拟）关于二次函数的最值，说法正确的是（　　） A．最小值为-1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3 【答案】D 【解析】【解答】解：二次函数中， ， 函数图象开口向下， 函数有最大值， 函数图象的顶点坐标为， 二次函数的最大值为3． 故答案为：D． 【分析】根据题意先求出函数图象开口向下，再求出函数有最大值，最后求解即可。 二、解答题 4．如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数如图2刻画，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）： … 0 … … 3 2.92 … （1）①________； ②求函数的解析式； （2）①排球的落点是，求点的坐标． ②若排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（提示：到轴的距离大于9米） 【答案】（1）①2.92；②； （2）①；②该运动员发球时没有踩线犯规． 5．（2025九上·肇庆期中）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 飞行高度 【建立模型】 任务：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【答案】解：任务： 二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：； 任务2：， ， ， 整理得：， 当水火箭落地（高度为）时，， 解得：（不合题意，舍去），， 答：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：设的长度为， 水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 【解析】【分析】任务1：设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点(0，0)代入解析式即可求出答案. 任务2：将y=0代入解析式，解方程即可求出答案. 任务3：设的长度为，则水火箭的抛物线解析式为，当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，即可求出答案. 6．如果将运动员的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数图1的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 0 1 竖直高度 10 10 根据上述数据，求出关于的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点时距水面的高度为，从到达到最高点开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要s的时间才能完成极具难度的动作． 请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ 【答案】（1）解：设，代入得： 解得：， ∴； （2）解：令，得 解得，（舍去） ∴ 即运动员甲从起点A到入水点的水平距离为2m． （3）解：由（1）得， ∴， ∴， 当时，， 解得（负舍去）， ∵， ∴运动员甲能完成此动作． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，求出，再解方程求解即可； （3）根据函数解析式求出，再求出，最后解方程求解即可。 7．（2025九上·光明期中）综合与实践 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间x 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间x（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间x的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当汽车刹车后，4s共行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1）解：∵ y是t的二次函数， ∴设y关于t的函数解析式为y=at 2+bt+c， 由表格得(0，0)，(1，27)，(2，48)在函数图象上， 代入得 解得： ∴y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t. （2）解：由(1)得y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t， 把t=4代入解析式得， y=-3×42+30×4=72， ∴汽车刹车4s后，行驶了72米. （3）解： 由(1)得y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t， y=-3t2+30t=-3(t-5)2+75， ∴当t=5时，汽车行驶的距离最远为75米， ∵当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止， ∴当t=5时，汽车停下，行驶了75米， ∵75＜80， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法根据表格中的数据即可求出y关于t的函数解析式. (2)将t=4代入(1)中求出的解析式，即可求解. (3)求出(1)中函数的最大值，与80m比较，即可求解. 8．（2025·深圳模拟）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）解：如图所将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为 ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为 将代入得，，解得 ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴ 将代入得，，解得， ∴ 将代入得，，解得 ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案. （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，解不等式即可求出答案. （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可求出答案. 9．（2025九上·广东期末）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】解：（1）v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系， 设v与x的函数关系为，y与x的函数关系为， 将代入，得 ， 解得， v与x的函数关系为， 将代入，得 ， y与x的函数关系为； （2）当时，则， 解得， 将代入，得 ， 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为； （3）假定经过t秒小球追上电动小车， ， ， 由题意得， ， 若小球不能撞上小车， n的取值范围为． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法可分别得出v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系；（1）利用待定系数法解答即可； （2）令，首先根据一次函数关系求得小球停下来的时间，再将代入y与x的二次函数关系解答即可； （3）假定经过t秒小球追上电动小车，得到关于t的一元二次方程，令，得到关于n的不等式，解不等式即可得出结论． 10．（2024·深圳模拟）综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y （m）与水平距离x （m）满足二次函数的关系. （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h （m）与时间t （s）之间满足h=-5t2+k . 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C 动作. 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x （m）的关系为y =ax2-ax+10（a<0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C 动作，则a的取值范围是 ▲ . 【答案】（1）解：设 ，代入 得 解得： 关于 的关系式为 （2）解：当 时， 解得： 动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米 （3）解：① 当 时， (舍负) 运动员甲不能成功完成此动作. ② 【解析】【解答】解：（2） y =ax2-ax+10=a（x-） 2+10-a， ∴顶点坐标为（，10-a）， ∴， ∴， 当h=0时，， ∴ ∵由运动员甲在到达最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作， ∴t≥1.6， ∴ 解之：. 故答案为：. 【分析】（1）将表中的三组x，y的对应值分别代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到y与x的函数解析式. （2）将y=0代入函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的x的值. （3）①将函数解析式转化为顶点式，可得到k的值，将k的值和h=0代入，可求出对应的t的值，再与1.6比较大小，可作出判断；②求出函数的顶点坐标，可得到，可得到，同时可推出，由运动员甲在到达最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，可知t≥1.6，由此可得到，解不等式求出a的取值范围. 11．（2025·香洲模拟）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究． 【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值； 【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下： 0 4 5 y取最小值时x的值 或0 【探究发现】 发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证． （2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值． 【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围． 【答案】（1）0； （2）m或n； （3）点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值．点M离对称轴较远，当时，y取最小值； （4）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴①当时，则当时，即， 解得， ∴； ②当时，则当时，即， 解得， ∴； ③当时，则当时，即， 解得， ∴； ④当时，则当时，即， 解得， ∴； 综上可得，． 【解析】【解答】 解：（1）∵抛物线，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，y取得最小值， 故答案为0； （2）∵以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． ∴关于x的二次函数，其中，当m或n时，y取最小值． （3）设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值； 当时，即，点M离对称轴较远，当时，y取最小值； 综上所述：猜想（2）得证． 【分析】 （1）根据函数解析式，求出对称轴，确定取值范围内当时，y取得最小值； （2）根据发现即可得到猜想； （3）结合二次函数的性质可求解； （4）求出二次函数的解析式，分四种情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可求解． 12．已知抛物线与x轴相交于不同的两点． （1）求的取值范围； （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标； （3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）且；（2）（3，4）；（3）m=8时，有最大值，最大值为． 13．【阅读材料】 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题． 例如：求代数式的最值． 解：因为 （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． （1）【材料理解】 　　时，代数式的最 　　 “大”或“小” 值为 　　． （2）【类比应用】 试判断关于的一元二次方程实数根的情况，并说明理由． （3）【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 【答案】（1），大，；（2）两个不相等的实数根，（3）①；②当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米． 14．（2025九上·龙岗期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应地任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于x的二次三项式（a，b，c为常数，a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值.比如：求的最小值，令得，则解得，所以的最小值为4.这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法. 问题解决 ⑴任务1 感受新知：用判别式法求的最小值； ⑵任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； ⑶任务3 应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃.若要围成面积为400平方米的花圃， ①设需要用的篱笆是l米，AD=x米，用含l和x的代数式表示AB的长为 ▲ 米； ②需要用的篱笆最少是多少米? 【答案】⑴：令y＝4x2＋4x－2， 得4x2＋4x＋（－2－y）＝0， 则△＝16－4×4×（－2－y）≥0， 解得y≥－3， 所以4x2＋4x－2的最小值为－3． ⑵：令y＝x2＋ax+2， 得x2＋ax＋（2－y）＝0， 则△＝a2－4×1×（2－y）≥0， 解得， 因为x2＋ax+2的最小值为－2， 所以=－2， 解得a=±4. ⑶①(l－4x)； ②依题意得x(l－4x)=400， 整理得4x2－lx+400=0， ∵△=l2－4×4×400≥0，而l＞0 ∴l≥80， ∴需要用的篱笆最少是80米 【解析】【解答】解：(3) ①因为长方形的面积为400平方米，AD=x米，AB=米 故填： 【分析】（1）利用判别式法，通过构造关于x的一元二次方程，根据判别式来求解二次多项式的最小值，令y = 4x2+4x - 2，则4x2+4x+(-2 - y)=0. 对于一元二次方程ax2+bx + c = 0（a≠0），判别式△=b2-4ac。 在方程4x2+4x+(-2 - y)=0中，a = 4，b = 4，c=-2 - y，所以△= 42-4×4×(-2 - y)0， 16 - 16× (-2 - y)0，即16 + 32 + 16y0，解得y - 3. 所以4x2+4x - 2的最小值为-3. （2）运用判别式法，构造方程后根据判别式与已知最小值的关系求解a的值。令y = x2+ax + 2，则x2+ax+(2 - y)=0。此方程中a = 1，b = a，c = 2 - y，判别式△= a2-4×1×(2 - y）0，、解得y，已知二次三项式的最小值为-2，所以 =-2，解得a=4. (3) ①分析：根据长方形面积公式S = 长× 宽，已知面积和宽，长=. ②分析：先根据图形确定篱笆长度的表达式，再利用判别式法求其最小值. 15．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图象上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形． 试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题． 【初步感知】 如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图象经过点． （1）点旋转后，得到的点的坐标为________； （2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式． 【深入感悟】 （3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积． 【灵活运用】 （4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值， 1 学科网（北京）股份有限公司 $