4.5相似三角形判断定理的证明同步练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.5相似三角形判定定理的证明2025-2026学年北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，点是边上一点，下面四种情况中，一定成立的情况是（　　） A． B． C． D． 2．如图，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，下列条件不能判定的是（　　） A．， B．， C． D．， 6．下列条件中，能使 成立的是（　　） A．∠C＝98°，∠E＝98°， ； B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6 C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26； D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5 7．如图， 点 E 是线段 的中点， ， 下列结论中， 说法错误的是（　　） A． 与 相似 B． 与 相似 C． D． 8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E，则图中与△ADE相似的三角形的个数为（　　）.​ A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D、E在边上，连接并延长交延长线于点G．过D作于F．若，，，，，则的长度为（　　） A． B． C．9 D． 二、填空题 11．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是　 　．（写出一个即可） 12．如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件：　 　. 13．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是　 　．（写出一个即可） 14． 的边长分别为 的边长分别 ，则 与 　 　（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 15．如图，点O在内，，，，，则　 　． 16．如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 　 　个． 17．如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则的最小值为　 　． 三、解答题 18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE. 证明：△BCD∽△BDE. 19．如图，已知 ，则 相似吗？说明理由。 20．如图所示，的三边长分别为，的三边长分別为.与是否相似?为什么? 21．如图，△ABC为等边三角形，E，F分别在边AB、AC上，沿EF折叠，点A落在BC边上的点D处，连结AD，已知 BD：CD=2：3， （1）求tan∠BAD的值； （2）求DE：DF的值. 22． 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E 在边AC 上，且AD2=AE·AB，连结 DE. （1）求证：△ABD∽△ADE； （2）若AB=5，AD=4，DE=2，求 EC的长. 23．已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且．求证： （1）ΔDEF∽ΔBCD； （2）． 24．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF=90°． 25．如图，在正方形 ABCD中，E，F 分别为边 BC，CD 上的点，AE，AF 分别与 BD 交于点M，N，∠EAF=45°. （1）求证： （2）求 的值. 26．已知中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． （1）如图（1），当时，连接，求的度数； （2）如图（2），连接，问的值是否为定值？若是，请说明理由并求出此值； （3）在旋转过程中，当以B，C，A，E为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、由可得，再由，可证明，∴A不符合题意； B、由可得，再由，可证明，∴B不符合题意； C、由，可证明，∴C不符合题意； D、由可得，再由，不可证明，∴D符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】A、若△ABC~△DEF，则 ，故本选项不符合题意； B、若△ABC~△DEE，则 而 ≠ ，故本选项不符合题意； C、若△ABC~△DEF，∠A＝90°，则∠D＝90°，故本选项不符合题意； D、 且∠AGC＝∠BHF＝90°，因此△AGC∽△BHF，所以∠C＝∠F，而∠B＝∠E＝35°，因此可判断相似，故本选项符合题意； 故答案为：D 【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：， 又 故A选项不符合题意 为的中点 又 故B、C选项不符合题意 若 则 根据现有条件无法判断，故 故D选项符合题意 故答案为：D． 【分析】由，=∠C，求出∠BAE=∠DEC， 可证，可得，由E为的中点可得，即得，结合，可证，据此判断A、B、C；由可得，若，即得，根据等角对等边可得AE=DE，根据现有条件无法判断，据此判断D即可. 8．【答案】D 【解析】【分析】根据直角三角形的性质和相似三角形的判定定理两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似)作出正确的选择． 【解答】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠BAC=∠ADB=∠ADC=∠DEA=∠DEB=90°． ①在△ADE与△ABD中，∠AED=∠ADB=90°，∠A=∠A，则△AED∽△ADB； ②在△ADE与△DBE中，∠AED=∠DEB=90°，∠EAD=∠EDB（同角的余角相等)，则△ADE∽△DBE； ③在△ADE与△CAD中，∠AED=∠CDA=90°，∠ADE=∠CAD（同角的余角相等)，则△ADE∽△CAD； ④在△ADE与△CAB中，∠AED=∠CAB=90°，∠EAD=∠BCA（同角的余角相等)，则△ADE∽△CAB． 综上所述，图中与△ADE相似的三角形的个数为4． 故选D． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：， ， 由作法可知，平分， ，， ， ，A选项结论正确； ， ， ， ，B选项结论正确； 是顶角为的等腰三角形， 是黄金三角形， ， ，C选项结论错误； ，， ， ， ，D选项结论正确， 故选：C． 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质可得，，则，根据角之间的关系可判断A，根据等角对等边可得，则，可判断B，根据黄金三角形定义可得，再根据边之间的关系可判断C，根据相似三角形判定定理可得，则，即可判定D. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 由勾股定理得，， 设，， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 如图，过B作交于Q， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【分析】设，则，根据三角形内角和定理可得，根据等腰三角形判定定理可得为等腰三角形，再根据勾股定理可得DF，设，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，过B作交于Q，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据直线平行性质即可求出答案. 11．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案. 12．【答案】∠ABD＝∠C 【解析】【解答】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等. 故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）. 【分析】由于啷个三角形中已经具有∠DAB=∠BAC，根据三角形相似的判定定理SAS可以添加AD∶AB=AB∶AC，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可以添加∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC. 13．【答案】AF= AC 【解析】【解答】解：如图， 分两种情况： ①∵△AEF∽△ABC， ∴AE：AB=AF：AC， 即1：2=AF：AC， ∴AF= AC； ②∵△AFE∽△ACB， ∴∠AFE=∠ABC． ∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF= AC或∠AFE=∠ABC． 故答案为：AF= AC或∠AFE=∠ABC． 【分析】利用相似三角形的判定定理，结合已知，可得出答案。 14．【答案】不一定 【解析】【解答】解：∵ 的边长分别为 的边长分别 ， ∴两个三角形对应边的比分别为： ， 当a=b=c时， ，这两个三角形相似， 当a≠b≠c时， ，这两个三角形不相似， ∴ 与 不一定相似， 故答案为：不一定． 【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可． 15．【答案】 【解析】【解答】解：如图，作BM⊥CO交CO的延长线于M，作AN⊥CO交CO的延长线于N， 则∠CMB=∠ANC=90°， ∠OCB=30°，CB=5， ∴BM=BC=， CM= ∴OM=CM-OC=-3=， ∴OB=， ∵∠BOA=90°，∠ABO=30°， ∴AB=2OA， ∵， ∴， ∴OA=， ∵∠AON+∠MOB=∠AOB=90°，∠AON+∠OAN=90°， ∴∠OAN=∠BOM， ∴∠CMB=∠ANC=90°， ∴△AON∽△OBM， ∴， ∴， ∴ON=，AN=， ∴CN=OC+ON=3+=， ∴AC=. 故答案为：. 【分析】作BM⊥CO交CO的延长线于M，作AN⊥CO交CO的延长线于N，则∠CMB=∠ANC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得BM=BC=，CM=，从而得到OM=CM-OC=，OB=，再由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得OA=，证明ΔAON∽△OBM，可得，从而得到ON=，AN=，计算出CN=OC+ON=，最后再由勾股定理进行计算即可. 16．【答案】7 17．【答案】 【解析】【解答】解：∵正方形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接， 则：，， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将绕点旋转90度，得到，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 作点关于的对称点，连接，则：， ， 过点作，交的延长线于点，则：， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∴的最小值为． 故答案为：． 【分析】由正方形性质得AB=BC=1，∠ABC=∠BCE=90°，将BE绕点E旋转90度得到EG，连接AG、BG，由旋转的性质得，，， 根据等腰直角三角形性质得到，从而可用“SAS”证，由全等三角形的对应边相等BF=AG，得到；将BC绕点C旋转90度，得到CH，连接BH、CH，由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应角相等得到， 则点G在直线HG上运动，作点关于HG的对称点M，连接AM、GM，则 ，故，过点作，交的延长线于点，勾股定理求出的长即可． 18．【答案】证明：∵BD平分∠ABC， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴△BCD∽△BDE. 【解析】【分析】根据角平分线的定义可得 ，由 可得 ，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得△BCD∽△BDE. 19．【答案】解：相似.理由如下： ∵ ， ，且∠1=∠3， ∴ ， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC， ∴∠BAC=∠DAE， ∴△ABC∽△ADE. 【解析】【分析】根据∠1=∠2证明∠BAC=∠DAE，根据∠1=∠3证明∠B=∠ADE，从而证明相似. 20．【答案】解：.，理由如下： ∴. 【解析】【分析】由于两个三角形都给出了三条边长，故可以根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断得出结论. 21．【答案】（1）解：设AB=BC=AC=a，则，， 如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥AB于点N， 则， ∴，， ∴， 又∵， 解得：， ∴， ∴ tan∠BAD； （2）设AB=BC=AC=a，BE=x，CF=y则AE=DE=a-x，AF=FD=a-y，，， ∵ △ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=∠BAC=∠EDF=60°， ∴∠B+∠DEB=∠EDC=∠EDF+∠FDC， ∴∠DEB=∠FDC， ∴△EBD∽△DCF， ∴，即， 解得：x=y=， ∴DE=a-x=，FD=a-y=， ∴ DE：DF =：=7：8. 【解析】【分析】（1）设AB=BC=AC=a，则，，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥AB于点N，先求出AM长，然后求出AD长，再根据三角形的面积求出DN长，然后利用勾股定理得到AN长即可求正切值； （2）设BE=x，CF=y则AE=DE=a-x，AF=FD=a-y，得到△EBD∽△DCF，即可得到，然后求出x，y的值即可解题. 22．【答案】（1）证明： ∵AD 是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAE， ∴△ABD∽△ADE. （2）解：∵AD2=AE·AB，AB=5，AD=4，DE=2， ∴， 设EC=x，则， ∵∠EDC=∠DAC，∠C=∠C， ∴△EDC∽△DAC， ∴ ∴， ∴， 解得，(不符合题意，舍去) ∴EC的长是. 【解析】【分析】(1)由AD是∠BAC的角平分线可得出∠BAD=∠EAD，由AD2=AE·AB可得出，进而即可证出△ABD∽△ADE； (2)由AD2=AE·AB，AB=5，AD=4，求得，设EC=x，则，再证明△EDC∽△DAC，得，则，，于是得，解方程求出符合题意的x值即可. 23．【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠B， ∴，∴∠CDE=∠BCD， ∵，∴∠CDE=∠DEF，∴∠BCD=∠DEF， 又∵∠ADE=∠B， ∴△DEF∽△BCD （2）证明：∵∠ADE=∠B，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据两角对应相等即可证明 △DEF∽△BCD ； （2）根据DE∥BC，可得出，再根据EF∥CD，可得，故而可得，即 ． 24．【答案】（1）解：在Rt△ABE中，BE=． ∵△ABE∽△DEF， ∴， 即， ∴EF=. （2）证明：∵△ABE∽△DEF， ∴∠AEB=∠DFE． ∵∠D=90°， ∴∠DEF+∠DFE=90°， ∴∠DEF+∠AEB=90°． ∴∠BEF=90°． 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BE的长，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出EF的长即可； （2）先利用相似三角形的性质可得∠AEB=∠DFE，再利用角的运算求出∠BEF=90°即可． 25．【答案】（1）证明：连接AC. ∵正方形ABCD， ∴∠ACE=∠ADN=∠CAD=45°， ∵∠EAF=45°， ∴∠EAF=∠CAD， ∴∠EAC=∠NAD， ∴△CAE∽△DAN， ∴ （2）解：由(1)得 同理可证 又∵∠MAN=∠FAE， ∴△FAE∽△MAN， ∴ 【解析】【分析】(1)连接AC，由正方形的性质知∠ACE=∠ADB=∠BAC=45°，得∠EAC=∠DAN，得△CAE~△DAN，可得AE与AN的比值； (2)由(1)知同理得由此得△FAE∽△MAN，即可求得的值. 26．【答案】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的值是定值，定值为 （3）解：①旋转到图1位置，使，∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）可知：， ∴； ②旋转到图2位置，使，连结， ∵， ∴四边形菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， 综上所述，当B，C，A，E四点构成平行四边形时的长是或 【解析】【分析】（1）先证明，即可得到解题； （2）先证明，即可得到解题； （3）根据题意可得，然后分为旋转至上方和下方两种情况，并根据（2）的结论解题即可． 学科网（北京）股份有限公司 $