精品解析：福建省泉州市泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

等泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟 2025 - 2026 学年第一学期期中考 高一数学试题 命题人：黄博 黄蔚江 李生发 张河水 考试时间： 120 分钟 总分： 150 分 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 集合，，则＝（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交集和补集运算即可求解. 【详解】由题意可知， ∴， 故选：D 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （    ） A. 或1 B. 或2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及图象特征列式求解. 【详解】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得． 故选：C. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【详解】对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 5. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，即， 解得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 7. 函数图象的渐近线是指曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，M到某一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为该曲线的渐近线，如函数的两条渐近线分别是x轴与y轴.则直线y=3x是以下哪个函数图象的一条渐近线（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线的概念，逐项判断即可. 【详解】的渐近线也是x轴与y轴.故A错误. 对于选项B：当x很大时，趋向于0． 故函数的图象与直线无限接近，故B正确. 类似的，C选项中的的渐近线为直线与y轴． D选项当x很大时，趋向于3，故它的渐近线为直线与． 故选：B． 8. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 当时，幂函数在上单调递增 B. 函数的值域为 C. 函数的最小值是1 D. 在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 【答案】CD 【解析】 【分析】因为幂函数定义域判断A，根据分式计算求解值域判断B，应用指数函数的值域计算判断C，根据指数函数的图象及对称性判断D. 【详解】对于A，当时，函数定义域为，选项A错误； 对于B，，函数值域为，选项B错误； 对于C，函数的最小值是1，故命题C正确； 对于D，在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称，命题D正确． 故选:CD 10. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，根据已知由判断A；由判断B；由判断C；由判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故B正确 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BCD 11. 分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定定义求出函数，再结合各选项条件逐项分析判断. 【详解】依题意，，当时，；当时，， 则，， 对于A，，A正确； 对于B，，由，解得，B错误； 对于C，，令，， 函数是偶函数，C正确； 对于D，由，得或， 而，则，即，该方程有且仅有一个正根， 或， ，该方程有且仅有一个负根，且， ，该方程要么无解，要么一解，要么两个正根， 且，所以关于的方程的所有解的乘积为，D正确. 【点睛】关键点点睛：利用给定的定义求出最小值函数和最大值函数的解析式是求解问题的关键. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】代入解析式，根据两式相加可得答案. 【详解】因为，， 所以， ， 两式相加可得，所以. 故答案为： 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，原题转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，分离参数可解. 【详解】设， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， ． 故答案为： 14. 已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】法一：结合函数图象，换元法结合有个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于有两根，其中一根，另一根，进而列式计算求解. 【详解】法一：当时，（时等号成立）， 当时，在单调递减且，的图象如图所示， 令，，即， 由有个不等解等价于有两根， 其中一根，另一根， 根据韦达定理，，，则，， ，由，所以． 法二：可知由有个不等解等价于有两根，其中一根，另一根， 所以， 由①得，则， 将④代入②得：⑤ 又由③得⑥， 由⑤⑥可知，所以. 故答案为：． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得，则或，然后求交集即可； 由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 因为，所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 16. 已知函数定义域为． （1）判断并证明在上的单调性； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） 函数在上为减函数.证明如下： 任意且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上为减函数． （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明； （2）根据定义证明是奇函数，然后将不等式变形为，结合单调性以及定义域解不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对任意的，且，所以为奇函数， 由题意，不等式可化为， 所以，解得， 所以该不等式的解集为. 17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个半径为2的半圆，直径在x轴上，中点为坐标原点O，等腰梯形的上底的端点在圆周上． （1）当时，记梯形位于直线）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． （2）记线段的长度为x，线段与的长度之和为y，求y的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆内接等腰梯形的性质，可确定梯形的边长，再结合图形分类讨论，计算面积即可； （2）利用圆内接等腰梯形的性质，通过假设长，来表示线段与的长度之和，即可得根式函数，再利用换元法求最值. 【小问1详解】 过点作于点，连接，由， 得是等边三角形，即， 再由等腰梯形，可得， 从而可得也是等边三角形，即， 所以解等边，可得等腰梯形的高， 则当时，； 当时，； 当时，； 所以． 【小问2详解】 连接OC，因为半圆的半径为2，线段的长度为x， 则OC=2，，，所以， 因此， 所以，其中， 令，因为，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时，取得最大值， 因此y的最大值为． 18. 已知为偶函数，为奇函数，且满足．（） （1）求，的解析式； （2）令函数，求函数的值域； （3）存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）拿换，然后利用奇偶性可以得到关于的方程，解方程可得答案； （2）化简的解析式，利用指数函数的值域可得答案； （3）化简，换元，转化成一个一元二次不等式恒成立问题，分离参数可得答案. 【小问1详解】 由，可得，     因为为偶函数，为奇函数，所以， 联立方程组， 解得，． 【小问2详解】 由（1） 　，∴为奇函数 　当时，，， 　因为为奇函数，所以，当时， 　所以，函数的值域为 【小问3详解】 由（1）知，， 　因为，所以，　 可得， 　所以，即，     　设，     则，即， 当时，则，不合题意； 当时，则，设，则只需， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 综上可得，实数的取值范围为． 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求实数的值. 【答案】（1）指数函数在上不具有性质，理由见解析； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据指数函数值域可得对于，不存在满足，可得结论； （2）利用一次函数性质以及性质，由集合间的包含关系解不等式即可得实数的取值范围； （3）对的取值分类讨论，得出函数在上的值域，再根据性质的定义得出集合间的包含关系，得出不等式的解集，再由存在唯一的实数得出等量关系即可求得实数的值. 【小问1详解】 指数函数在上不具有性质. 理由如下：指数函数的定义域为， 对于，易知不存在满足题意， 因此对于，不存在满足， 即函数在上不具有性质. 【小问2详解】 因为函数在区间上具有性质， 所以对任意，都存在使得，即， 可得， 因为，所以，又，所以, 即，解得， 因此实数的取值范围为. 【小问3详解】 若函数在上具有性质， 则对任意，都存在使得，即； 因为，所以； 若，易知函数关于对称， 当时，即，此时在上单调递减，此时； 因此可得，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得，符合题意； 当时，可得，此时在的最小值为， 最大值为，即； 所以，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得（舍）或（舍）； 当时，可得，此时在的最小值为， 最大值为，即； 所以，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得或（舍），即符合题意； 综上可知，实数的值为或. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次函数单调性对的取值分类讨论得出其在上的值域，再由性质定义得出集合间的包含关系解不等式可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 等泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟 2025 - 2026 学年第一学期期中考 高一数学试题 命题人：黄博 黄蔚江 李生发 张河水 考试时间： 120 分钟 总分： 150 分 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则＝（    ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （    ） A. 或1 B. 或2 C. 1 D. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 5. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 函数图象的渐近线是指曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，M到某一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为该曲线的渐近线，如函数的两条渐近线分别是x轴与y轴.则直线y=3x是以下哪个函数图象的一条渐近线（    ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 当时，幂函数在上单调递增 B. 函数的值域为 C. 函数的最小值是1 D. 在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 10. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 11. 分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知，，则______. 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____． 14. 已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 16. 已知函数定义域为． （1）判断并证明在上的单调性； （2）求不等式的解集． 17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个半径为2的半圆，直径在x轴上，中点为坐标原点O，等腰梯形的上底的端点在圆周上． （1）当时，记梯形位于直线）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． （2）记线段的长度为x，线段与的长度之和为y，求y的最大值． 18. 已知为偶函数，为奇函数，且满足．（） （1）求，的解析式； （2）令函数，求函数的值域； （3）存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $