精品解析：江苏省镇江市扬中市2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷

2025——2026学年第一学期初中阶段性学习评价Ⅰ 九年级数学试卷 本试卷共4页，共24题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、选择题：(本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．) 1. 有一组数据：，，，，则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数的意义，一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由数据可知，这组数据的众数是．   故选： C． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，其中分别为：二次项系数、一次项系数、常数项，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以取（       ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，根据方程有2个实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， 解得， 故且； ∴k的值可以取2； 故选B． 4. 用配方法解方程x2-2x-8=0，下列配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后，两边都配上一次项系数一半的平方，即可得到答案． 【详解】 即， 故选C. 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键． 5. 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 6. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：， ， 是直径， ， ． 故选：A． 7. 若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 8. 如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键． 根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是外接圆，是直径， ∴， ∴在中，， ∵是内切圆， ∴是的角平分线， ∴， ∴在中，， 故选：B． 9. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由切线的性质，三角形内角和定理求出，再利用圆周角定理和圆的性质求得是等边三角形，结合直径所对的圆周角，利用勾股定理求得， 然后利用直角三角形的面积减去扇形的面积求解． 【详解】解：连接，如下图 ∵是的切线， ∴，即， ∴， ， ． ， ， ． ∴，， 是等边三角形， ． 在中，是直径， ， ， 即， ， ， ∴阴影部分的面积 ． 故选：D． 【点晴】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质，作出辅助线是解题关键． 10. 如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线的性质、三角形三边关系及勾股定理，由点的位置确定最大值和最小值是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线的性质求出，，可得当、F、三点共线时，取到最大值和最小值，然后结合三角形三边关系得出答案． 【详解】解：取的中点F，连接， ∵旋转， ∴， 根据勾股定理得：， 、分别是、的中点， ，， 当、F、三点共线时，取到最大值和最小值， 的最小值为，的最大值为， 再根据三角形的三边关系，可得取值范围是. 故选：D． 二、填空题：(本大题共有6小题，每小题 3分，共计18分．) 11. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将的值准确代入方程进行计算． 根据一元二次方程的解即可求出的值． 【详解】解：因为是一元二次方程的一个解， 所以， 解得：． 故答案为：2． 12. 2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间只进行一场比赛，共进行15场比赛，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为； 故答案为：． 13. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 14. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 15. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可，掌握弧长的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心、6为半径作圆．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为．当____s时， 直线与相切． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质以及勾股定理的应用等；根据切线的性质得出，进而根据等面积法得出的长，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； 【详解】解：当与相切时，如图， 设切于点，连接， ， ，即， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题：(本大题共8题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. 解下列方程 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开方法解方程即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得； 【小问2详解】 ， ， ， ， 解得． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 19. 2025年5月24日至31日是第二十五个全国科技活动周，5月30日是第九个全国科技工作者日．各地围绕公众关注的人工智能、航空航天、深海深地探测等领域，广泛开展各类科普宣传活动．为提高学生对科创的热情，某校举行了“缤纷科技节”活动，参加活动的每一位学生至少要提交1件科创作品，现从七、八年级参加活动的学生中各随机抽取50名学生，调查其提交作品的件数．得到如下统计图表： 【数据的整理】 七年级50名学生提交作品的件数分布表 提交作品件数(件) 1 2 3 4 5 人数(人) 7 10 15 12 6 【数据的分析】根据整理出的数据得到如下有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 n x 1.48 八年级 m 4 y 1.01 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中_____ ，___，__，____； 【数据的应用与评价】 （2）若八年级共有400人参加活动，请估计八年级提交作品的总件数； （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级参加活动的学生提交作品件数情况进行比较，并做出评价． 【答案】（1） ①. ②. ③. ④. （2） （3） 选平均数：八年级平均数七年级平均数，说明八年级平均每人提交作品更多； 或选中位数：两年级中位数都是，说明一般水平相当； 或选方差：八年级方差七年级方差，说明八年级学生提交作品件数分布更集中，差异更小； 或选众数：八年级众数七年级众数，说明八年级学生提交作品数的“主流情况”是4件，而七年级是3件，因此，八年级学生的作品提交量主流比七年级多． 【解析】 【分析】本题考查了数据的收集与整理，统计量的计算与分析，关键点是从图表准确提取数据，正确计算平均数、中位数、众数；易错点在于找中位数位置、众数是否唯一、计算粗心； （1）先读取数据，根据平均数、中位数、众数的定义分别进行计算，平均数总件数总人数；找中位数，数据排序后，第个数据的平均数；众数：出现次数最多的数据； （2）估计总体：用样本平均数估计八年级人的总作品数，即总体件数样本平均数总人数； （3）评价时：要结合统计量的实际意义，比如中位数比较一般水平，方差比较稳定性． 【小问1详解】 【答题空1-1详解】 从八年级图表中可见，抽取名学生， 中位数应是数据排序后第个数据的平均数， 即 故． 【答题空1-2详解】 从七年级图表中可见，抽取名学生，有人提交件作品，人数最多， 故众数． 【答题空1-3详解】 平均数总件数总人数 七年级平均数 故七年级平均数． 【答题空1-4详解】 八年级平均数 故八年级平均数． 【小问2详解】 总件数八年级人数样本平均数 （件） 答：估计八年级提交作品的总件数是件． 【小问3详解】 略 20. 如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题： （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积． 【答案】 （1)连接OD， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠A， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB， ∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA， ∴∠EOC=∠DOC， 又∵OE=OD，OC=OC， ∴△EOC≌△DOC（SAS）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD⊥DC， ∴CD是⊙O的切线； （2）平行四边形OABC的面积S=12 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可． 试题解析：（1）略 （2）∵△EOC≌△DOC， ∴CE=CD=4， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC=3， ∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12． 考点：1、全等三角形的性质和判定；2、切线的判定与性质；3、平行四边形的性质． 21. 已知如图，在中，，，． （1）请用尺规作图的方法，在上找一点O，以O为圆心作圆，使得该圆与、两边都相切．（保留作图痕迹，不写作法） （2）填空：的半径 ． 【答案】（1） 如图， 即为所做； （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点D，再以点D作为圆心，为半径画圆，问题即可作答； （2）先求出，设半径为r，根据切线长定理可得，则有，，在中，，即有，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：过O点作于点D，如图， 根据作图可知：平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴点D在上， ∵，， ∴与、相切； 【小问2详解】 ∵在中，，，， ∴， 设半径为r， ∴， ∵与、相切， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，角平分线的尺规作图，角平分线定理，勾股定理，切线长定理等知识，灵活利用角平分线的性质定理作图，是解答本题的关键． 22. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 ①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 23. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的生成点． （1）方程的生成点的坐标为 ； （2）已知关于的方程． ①求该方程生成点的坐标(用含有的代数式表示)； ②若该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点，求的值． 【答案】（1） （2）① ②0 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一次函数与反比例函数的交点，理解生成点的定义并熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解一元二次方程，再由定义得出生成点的坐标； （2）①用因式分解法解一元二次方程，将生成点的坐标表示出来即可； ②将生成点的坐标分别代入到一次函数与反比例函数中，解方程组即可． 【小问1详解】 解：， ，． ． 方程的生成点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 ①， ． ，． ． 方程的生成点的坐标为． ②该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点， 由②得，，③ 将③代入①得，， 整理得，，解得，． 当时，的坐标为，不符合题意，舍去， ∴的值为0． 24. 如图1， AB是⊙O的直径， C在⊙O上， ∠BAC=45°， 弧CE=弧BD， 连接AD， CD． （1）求证∶ CD⊥AE； （2）若AB=4， ∠BAD=30°， 求AE的长； （3）若D在如图2所示位置时，连接BD，则 的值是否为常数？若是常数，请求此值：若不是常数，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，交于点，连接． ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明和，然后推出即可证明结论．（2）根据圆周角定理推出，然后在中分别求出和的长度，再根据勾股定理在中求出的长度． （3）先根据圆周角定理证明四边形为平行四边形，然后得出为等腰直角三角形，再由得出为常数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，为垂足． ∵， ∴， 在中，． ∴， 在中，． 【小问3详解】 解：结论：． 如图，连接延长与的延长线交于点，连接，，． ∵， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的性质（直径、弧与圆周角）、等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，解题中用到的思想是转化思想（将线段转化为全等三角形的对应边）、常数思想（通过几何关系推导固定比值）；方法技巧是利用弧相等转化圆周角与弦长，结合等腰直角三角形的边长比例简化计算．解题关键是熟练应用圆的基本性质和全等三角形判定，避免弧与角的对应关系混淆．易错点是忽略直径对应的直角，或在全等三角形证明中对应边 / 角匹配错误． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第一学期初中阶段性学习评价Ⅰ 九年级数学试卷 本试卷共4页，共24题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、选择题：(本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．) 1. 有一组数据：，，，，则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以取（       ） A. B. 2 C. D. 0 4. 用配方法解方程x2-2x-8=0，下列配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：(本大题共有6小题，每小题 3分，共计18分．) 11. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是___． 12. 2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 13. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为______． 14. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 15. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心、6为半径作圆．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为．当____s时， 直线与相切． 三、解答题：(本大题共8题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. 解下列方程 （1）； （2） 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 19. 2025年5月24日至31日是第二十五个全国科技活动周，5月30日是第九个全国科技工作者日．各地围绕公众关注的人工智能、航空航天、深海深地探测等领域，广泛开展各类科普宣传活动．为提高学生对科创的热情，某校举行了“缤纷科技节”活动，参加活动的每一位学生至少要提交1件科创作品，现从七、八年级参加活动的学生中各随机抽取50名学生，调查其提交作品的件数．得到如下统计图表： 【数据的整理】 七年级50名学生提交作品的件数分布表 提交作品件数(件) 1 2 3 4 5 人数(人) 7 10 15 12 6 【数据的分析】根据整理出的数据得到如下有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 n x 1.48 八年级 m 4 y 1.01 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中_____ ，___，__，____； 【数据的应用与评价】 （2）若八年级共有400人参加活动，请估计八年级提交作品的总件数； （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级参加活动的学生提交作品件数情况进行比较，并做出评价． 20. 如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题： （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积． 21. 已知如图，在中，，，． （1）请用尺规作图的方法，在上找一点O，以O为圆心作圆，使得该圆与、两边都相切．（保留作图痕迹，不写作法） （2）填空：的半径 ． 22. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 23. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的生成点． （1）方程的生成点的坐标为 ； （2）已知关于的方程． ①求该方程生成点的坐标(用含有的代数式表示)； ②若该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点，求的值． 24. 如图1， AB是⊙O的直径， C在⊙O上， ∠BAC=45°， 弧CE=弧BD， 连接AD， CD． （1）求证∶ CD⊥AE； （2）若AB=4， ∠BAD=30°， 求AE的长； （3）若D在如图2所示位置时，连接BD，则 的值是否为常数？若是常数，请求此值：若不是常数，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $