29.3切线的性质与判定 课件 2025-2026学年冀教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦切线的性质与判定，从定义出发，通过“一起探究”活动引导学生观察测量切线与半径的关系，自主猜想性质定理，衔接数量关系与位置关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光（几何直观），通过分层例题（如“有交点连半径证垂直”等辅助线归纳）提升推理能力（数学思维），口诀化小结强化模型意识（数学语言），助力学生构建知识体系，教师使用可高效落实核心素养，提升教学效果。

29.3切线的性质和判定 1 直线与圆有唯一公共点，这条直线叫做圆的切线. A l O 切线的定义 回忆巩固 d r 数量关系 d=r即到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. 一起探究 一 如图直线l是⊙O的一条切线，切点为T，OT为半径。 （１）在直线l上任取一点P，连接OP。 观察、测量ＯＴ和ＯＰ的数量关系， （2）猜想ＯＴ与切线l具有怎样的位置关系。 T l O P 事实上OT⊥l T l O ∵直线l是⊙O 的切线， T是切点， ∴ OT⊥l. 切线的性质定理 一 切线性质3 圆的切线垂直于经过切点的半径． 几何符号语言 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2，∠APO=30°求⊙O的半径. 1 连接OA，则OA为⊙O的半径，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP， ∵∠APO＝30°，OP＝2，∴OA＝ OP＝1， 即⊙O的半径为1. 解: 巩固练习 一 如图，CD为⊙O的直径，点A在DC的延长线上，直线AE与⊙O相切于点B，∠A=28°.求∠DBE的度数. 2 巩固练习 一 连接OB，则OB＝OD， 因为AE与⊙O相切于点B， 所以OB⊥AE，即∠ABO＝90°， 又因为∠A＝28°， 所以∠AOB＝180°－28°－90°＝62°. 所以∠OBD＝∠ODB＝1/2∠AOB＝31°. 所以∠DBE＝90°－∠OBD＝90°－31°＝59°. 解: 判定Ⅰ定义法：直线与圆有唯一公共点 判定Ⅱ数量关系法d=r：直线到圆心的距离等于该圆的半径 切线的判定 一 l r d T 判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外，还有其它方法吗? 思 考 一 切线的判定定理 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ A B C O 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线． 符号语言： ∵ OA是⊙O半径，OA⊥BC于点A ∴ 直线BC是⊙O的切线。 O 切线的画法 如图，点A是⊙O上一点，请用三角尺过点A作⊙O的切线l l A 1、连结OA 2、过点A画l⊥OA 直线l为所求 做一做 一 练一练 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ l l A A B O l A 注意：利用判定定理时，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. （1）“经过半径的外端”（2）“垂直于这条半径”， 不是，因为没有垂直 不是，因为没有经过半径的外端点A. 不是，因为没有经过半径的外端点A 10 当堂练习 1. 判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） ⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × × √ √ √ 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC， 只要证明AB⊥OC即可。 证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。　 ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。 3 巩固练习 一 证明： 过点O做OC⊥AB(如图)。 ∵ OA＝OB,OC⊥AB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的高线。　 ∴ AC=BC=½AB=4。 ∵ ⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为r=3=OC. ∴ AB是⊙O的切线。 巩固练习 一 已知：如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6.。 求证：直线AB是⊙O的切线。 O B A C 分析：由于不知道AB与⊙O是否有交点，所以过点O做OC⊥AB，求得OC的长=半径即可。 4 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. 对比思考 ？ 方法归纳 如果已知直线经过圆上一点, 则连结这点和圆心,得到辅助半径, 再证所作半径与这直线垂直。 简记为：有交点,连半径,证垂直。 如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线, 再证垂线段长等于半径长。 简记为：无交点,作垂直,证半径。 例4. 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 课堂小结 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 16 谢谢观看 17 $