精品解析：江西省抚州市第二实验学校、湖南中学联考2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期八年级数学质量检测卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. 25的平方根是 B. 的平方根是 C. 9是的算术平方根 D. 4. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 6，8，9 B. 5，12，13 C. 8，15，16 D. 10，20，26 5. 点P在第二象限，且到x轴、y轴距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：=___． 8. 若一正数的平方根是与，则___________． 9. 点与点关于轴对称，则的值为______． 10. 如图，在中，，D是上的一点，且知，，则_____． 11. 如图，在矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为__________． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上作一点C，使得是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）求的值． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 16. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 17. 如图，在中，，垂足为． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 19. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． （1）用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； （2）化简：． 20. 如图所示的是某学校的平面示意图，已知大门的坐标是，实验室的坐标是． 解答下列问题： （1）根据所给条件建立平面直角坐标系； （2）食堂的坐标是_______，图书馆的坐标_______； （3）已知教学楼的坐标是，请在图中标出教学楼的位置． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 22. 阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． （1）计算的值； （2）下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ （3）计算：______． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长． （3）如图4，在中，，，，，设，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期八年级数学质量检测卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、的被开方数不含能开的尽方的因数，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、的被开方数，含能开的尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、被开方数，含能开的尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义,最简二次根式须满足两个要素：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 25的平方根是 B. 的平方根是 C. 9是的算术平方根 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根．解题的关键是掌握相关定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根，立方根，算术平方根的定义即可进行解答． 【详解】解：A、25的平方根是．故A正确，符合题意； B、∵， ∴的平方根是不是3．故B不正确，不符合题意； C、∵， ∴的算术平方根为．故C不正确，不符合题意； D、．故D不正确，不符合题意． 故选：A． 4. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 6，8，9 B. 5，12，13 C. 8，15，16 D. 10，20，26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可求解． 【详解】解：A、，6，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，5，12，13是勾股数，故本选项符合题意； C、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，10，20，26不是勾股数，故本选项不符合题意， 故选：B． 5. 点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握各个知识点的具体意义． 由点在第二象限，可得横纵坐标的符号，再由点到轴、轴的距离是 3 和 5 ，可得纵坐标的绝对值为 3 ，横坐标的绝对值为 5 ，可求出点的坐标，再求出点关于轴的对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ P点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵P点到轴、轴距离是 3 和 5 ， ∴P点的坐标为， ∴P点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 8. 若一正数的平方根是与，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查平方根，正数的两个平方根互为相反数，和为0，由此列式求出a的值，进而可得m的值． 【详解】解：正数的平方根是与， ， 解得， ， 故答案为：9． 9. 点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，这是解题关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ 故答案． 10. 如图，在中，，D是上的一点，且知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握定理内容并熟练运用是关键；由勾股定理求得，进而求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 11. 如图，在矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据图形可以求得图中两个正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形ABCD的边长为，小正方形EFHG的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上作一点C，使得是以为腰的等腰三角形，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况：；，利用勾股定理及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：； 当时，如图， 则点A、点C关于y轴对称， ∴， ∴； 当时，如图， 若点C在点A的右边，则， 此时； 若点C在点A的左边，则， 此时点C在x轴负半轴上，则； 综上，点C的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）求的值． 【答案】（1） 15 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用立方根求未知数，二次根式的运算法则及立方根的概念是解题的关键； （1）先计算二次根式的除法与乘法，再计算加法； （2）方程变形为，再利用立方根的概念即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）整理得：， 开立方得：， 解得：． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算平方差公式和单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘以多项式、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析，点P的坐标为 【解析】 【分析】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接对应点，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1：即为所求； 【小问2详解】 解：的面积为： ； 【小问3详解】 解：如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为． 16. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； 【小问2详解】 解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 17. 如图，在中，，垂足为． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）20 （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【小问1详解】 解：， 是直角三角形，． ． 【小问2详解】 是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 【答案】（1）9米 （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 故的长9米； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 19. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． （1）用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； （2）化简：． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【小问1详解】 解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：∵，， ． 20. 如图所示的是某学校的平面示意图，已知大门的坐标是，实验室的坐标是． 解答下列问题： （1）根据所给条件建立平面直角坐标系； （2）食堂的坐标是_______，图书馆的坐标_______； （3）已知教学楼的坐标是，请在图中标出教学楼的位置． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，建立平面直角坐标系，平面直角坐标系中描点、写出点的坐标等知识，根据大门与实验室的位置建立平面直角坐标系是解题的关键； （1）根据大门与实验室的位置建立平面直角坐标系即可； （2）直接写出坐标即可； （3）根据教学楼的位置在坐标系中描出点即可． 【小问1详解】 解：建立的平面直角坐标系如图： 【小问2详解】 解：食堂的坐标为；图书馆的坐标为． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：教学楼的位置如（1）图所示； 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】（1）4 （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据“长距”的定义解答即可； 对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案； 对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 【小问1详解】 解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， 所以点的“长距”为4； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 解：点的长距为5，且点C在第三象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 22 阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． （1）计算的值； （2）下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ （3）计算：______． 【答案】（1） （2）②，③ （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． 【小问3详解】 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长． （3）如图4，在中，，，，，设，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，等积法求线段的长，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，作答即可； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （3）利用勾股定理结合为公用直角边，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1），， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，设， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $