3.8角平分线（基础篇）练习2025-2026学年北京版 数学七年级上册

3.8角平分线 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 定义 性质 新课探索 判定 尺规作图 讲义内容 题型练习 新 课 探 索 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 尺规作图： ①以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点： ②分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角的内部交于一 点； ③过角的顶点和这个交点作射线，即为角的平分线。 题 型 练 一、单选题 1,如图，直线AB,CD交于点O,射线0M平分∠AOC,若∠A0C=76°，则∠B0M等于 () D A.38° B.104° C.142° D.144° 2.下列关于角平分线的说法正确的是() A,角的平分线是一条线段 B.角的平分线是平分这个角的直线 C.在角的内部，以角的顶点为端点的一条直线 D.在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线 3.以下说法正确的个数为() ①半圆是弧；②三角形的角平分线是射线；③在一个三角形中至少有一个角不大于60°； ④过圆内一点可以画无数条弦；⑤所有角的度数都相等的多边形是正多边形. A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，两个直角∠AOB,∠COD共顶点O,下列结论：①∠A0C=∠B0D;② LA0C+∠B0D=90°；③若0C平分∠AOB,则OB平分∠COD;④∠AOD的平分线与 ∠C0B的平分线是同一条射线.其中不正确的个数有(). A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠BOD,∠A0C=68°，则∠AOE的度数是 () D A E B A.34° B.146° C.112° D.68° 二、填空题 6.如图，已知LA0B=120°，0D平分∠A0C,OE平分∠B0C,则LD0E=一 D B 7.如图，BD是ABC的角平分线，若∠ABD=20°，则∠CBD的度数是 8.如图，0C平分∠A0B,若∠B0C=28°，则∠A0B= 9.如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，0D平分∠AOB,OE在∠BOC内， 2LB0E=LE0C,LD0E=70°，∠E0C= A 10.如图，∠A0C=∠C0D=∠B0D,则0D平分」 0C平分 2∠A0B= 三、解答题 11.如图，0是直线CE上一点，以0为顶点作∠A0B=90°，且OA,OB位于直线CE两侧， OB平分∠COD. A C D (1)当LA0C=60°时，求∠D0E的度数； (2)请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由. 12.已知∠A0B=84°，0M,ON分别是∠B0C和∠A0C的平分线. B O (1)当射线0C在∠AOB内部时，求∠MON的度数；∠MON的值随着OC在∠AOB内转动 是否变化，为什么？ (2)当0C在∠AOB外部时，∠MON的值是否会随着0C的转变而变化？简单说明理由， 13.如图，OB是LAOD的平分线，OC是∠BOD的平分线，∠AOD与∠BOC有怎样的数 量关系？ B 14.如图，在∠A0C中，射线OE平分∠AOC,连接OB,射线0F平分∠BOC. E B (1)若∠A0B是直角，∠B0C=70°，求∠E0F的度数： (2)若LA0C+∠E0F=170°，∠B0C=80°，则∠C0E是多少度？ 15.如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内， ∠D0E=∠AOD,∠COE=72°，求LE0B的度数. E D B 3.8角平分线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 尺规作图： ①以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点； ②分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角的内部交于一点； ③过角的顶点和这个交点作射线，即为角的平分线。 型 习 练 题 一、单选题 1．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 2．下列关于角平分线的说法正确的是（　　） A．角的平分线是一条线段 B．角的平分线是平分这个角的直线 C．在角的内部，以角的顶点为端点的一条直线 D．在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的平分线‌是从一个角的顶点引出一条射线，将这个角分成两个完全相同的角，这条射线称为该角的角平分线，根据角平分线的定义逐项分析即可得解，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角的平分线是一条射线，故原说法错误，不符合题意； B、角的平分线是平分这个角的射线，故原说法错误，不符合题意； C、在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线，故原说法错误，不符合题意； D、在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．以下说法正确的个数为（   ） ①半圆是弧；②三角形的角平分线是射线；③在一个三角形中至少有一个角不大于； ④过圆内一点可以画无数条弦；⑤所有角的度数都相等的多边形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的基本认识，角平分线，三角形的内角和定理，正多边形的概念，命题等知识；根据以上知识及定义逐一判断即可． 【详解】解：圆的任意一条直径的端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆，故①正确； 根据三角形角平分线的定义可知，三角形的角平分线是一条线段，故②错误； 假设三角形三个内角都大于，则其内角和将大于，与三角形内角和定理矛盾，故在一个三角形中至少有一个角不大于，③正确； 过圆内一点可以作无数条直线，这些直线与圆的两个交点连接成的线段即为弦，故可以画无数条弦，故④正确； 长方形的四个角都相等，都等于90°，而长方形不是正四边形，故⑤错误． 正确的个数为3个， 故选：C． 4．如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设平分，则，再根据得，则平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ， ， ∴， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③∵平分，， ， 又， ， ， ∴平分， 故结论③正确； ④设平分，如图所示： ， ， ， ， ∴平分， 即的平分线与的平分线是同一条射线， 故结论④正确， 故选：A． 5．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，结合平分，求得，根据，解答即可． 本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．如图，已知，平分，平分，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的性质以及有关角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的性质． 根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 7．如图，是的角平分线，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，准确分析计算是解题的关键． 根据是角平分线得到即可得解． 【详解】是的角平分线， ， ， ； 故答案为：． 8．如图，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，由平分，，即可得出． 【详解】解：∵平分，， ∴， 故答案为： 9．如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了角平分线的定义，利用方程是解答本题的关键，难度适中． 先设为，为，根据角平分线的定义、与的关系建立方程解答即可． 【详解】解：设为，则为， 平分， ， 则可得， ， ， 则可得：， 解得， ， ． 10．如图，，则平分 ，平分 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据并结合角平分线的定义可得平分，平分，即可得解，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴平分，平分，， 故答案为：，，，． 三、解答题 11．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同（1）计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【答案】(1)；的值随着在内转动不会发生变化，理由见解析； (2)的值不会随着的转变而变化，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变； （2）据可得：不变，的大小不变． 【详解】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值随着在内转动不会发生变化； （2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下： 如图： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值不会随着的转变而变化． 13．如图，OB是的平分线，OC是的平分线，与有怎样的数量关系？ 【答案】 【分析】设，由题意可得，，则与的数量关系可一目了然． 【详解】解：设， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，用含有一个字母的代数式表示出两个角度，观察两个代数式之间的数量关系即可得出两个角度之间的数量关系． 14．如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 15．如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由角平分线的定义得，即可得，求出进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $