28.2.2应用举例（仰角与俯角）第一课时教学设计2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦仰角俯角概念及解直角三角形实际应用，通过小明观察楼顶、飞行员观察跑道的情境导入，承接锐角三角函数和解直角三角形基础，为后续复杂问题建模搭建学习支架。 资料特色在于情境具象化（如神舟九号对接视频、测量楼高例题）培养数学眼光，三步建模法（读题圈画、画图标注、转化问题）发展数学思维与模型意识，分层练习及变式训练强化数学语言应用，助力学生提升建模能力，为教师提供直观素材与分层策略。

28.2.2应用举例 第一课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第28章“锐角三角函数”的第二节。内容包括：仰角、俯角的定义；运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角相关的实际问题（如测量物体高度、距离等）。 （二）教学内容解析 地位与作用：本节课是解直角三角形的实际应用延伸，承接锐角三角函数、解直角三角形的基础知识点，是将几何知识与实际生活场景结合的核心内容，为后续解决航海、工程等更复杂实际问题奠定基础。 核心要点：关键在于让学生理解仰角、俯角的概念（视线与水平线的夹角，仰角向上、俯角向下），并能将实际问题转化为直角三角形模型，通过“找直角—定边角—选函数—列算式”的逻辑解决问题。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】仰角与俯角的概念理解及实际问题的建模 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.理解仰角、俯角的定义；能准确将与仰角、俯角相关的实际问题转化为解直角三角形的数学问题；熟练运用锐角三角函数求解未知边或角。 2.通过观察、画图、建模等过程，培养抽象概括能力和数学建模思想；在解题过程中，提升逻辑推理和运算能力。 3.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的实用性；培养应用数学解决实际问题的意识，增强学习数学的兴趣。 （二）教学目标解析 1. 能准确区分仰角与俯角，在图形中正确标注这两个角； 2.面对实际问题时，能通过画图剥离无关信息，提炼出直角三角形模型，明确已知条件和待求量； 3.能根据直角三角形的边角关系，选择合适的锐角三角函数（正弦、余弦、正切）建立方程，求解并检验结果的合理性； 4.能在小组合作中交流建模思路，初步学会解决含多个直角三角形的复杂问题。 三、学生学情分析 已有基础 知识基础：掌握直角三角形的性质、锐角三角函数（sin、cos、tan）的定义，能运用三角函数解基本的直角三角形问题。 能力基础：具备初步的观察、分析和画图能力，能进行简单的数学建模，但对“实际问题—数学模型”的转化逻辑不够熟练。 2. 存在不足 对仰角、俯角等生活中的几何概念缺乏直观认识，容易混淆两个角的定义； 在复杂实际场景中，难以快速剥离无关信息，准确构造直角三角形模型； 运算过程中，对计算器的使用（如角度与三角函数值的转换）可能存在不熟练的情况。 3. 学习需求 需要通过具体、直观的情境理解概念，通过分层练习巩固建模方法，通过小组交流突破复杂问题的解题难点。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】复杂场景中（如需要构造辅助线）直角三角形的构建与边角关系的选择。 四、教学策略分析 1. 概念教学策略 • 采用“情境具象化”方式：通过展示飞机飞行、测量旗杆高度、观察悬崖等实际场景图片和动画，让学生直观感知仰角与俯角的形成，再抽象出数学定义，避免概念的抽象化理解。 • 对比辨析：通过画图对比仰角（视线向上与水平线的夹角）和俯角（视线向下与水平线的夹角）的位置特征，标注关键要素（水平线、视线），强化区分。 2. 建模教学策略 • 构建“三步建模法”：① 读题：圈画关键信息（高度、距离、角度）；② 画图：画出示意图，标注已知条件和待求量，构造直角三角形；③ 转化：将实际问题转化为“已知直角三角形的边角，求未知边角”的数学问题。 • 示范引领：教师先示范简单问题的建模过程，再让学生模仿练习，逐步提升自主建模能力。 3. 练习设计策略 • 分层设计练习：基础题（单一直角三角形，直接运用三角函数）→ 提升题（需要构造辅助线的直角三角形）→ 拓展题（含两个直角三角形的复杂问题），满足不同层次学生的需求。 • 错题反馈：收集学生建模和计算中的典型错误（如角的标注错误、三角函数选择错误），集中点评，强化易错点。 4. 合作学习策略 • 小组分工：在解决复杂问题时，小组内分工完成“读题分析—画图建模—计算求解—检验核对”，培养合作意识和沟通能力。 • 交流展示：选取不同小组的解题过程进行展示，对比不同的建模思路，优化解题方法。 五、教学过程分析 （一）复习引入 展示情境：① 小明站在地面上观察楼顶的太阳能板，视线与水平线形成向上的夹角；② 飞行员驾驶飞机时，观察地面跑道，视线与水平线形成向下的夹角。 提问引导：“这两个场景中，视线与水平线的夹角有什么不同？我们该如何定义这两个角？”设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 观看视频 问题思考：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为，取 ，结果取整数)？ 解：设，是切线，是直角三角形． ∵ ∴ ∴的长为() ∴当组合体在点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离点约. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) 实际场景铺垫 问题：观察物体时，视线与水平线有几种位置关系？引导学生总结：视线在水平线上方时的夹角为仰角，在下方时为俯角，并结合生活实例（如抬头看楼顶、低头看地面）说明。 例1.如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，求两栋教学楼之间距离．（保留根号） 解：过点作，交于点，∴， ∴四边形为矩形， ∵自己的身高为米，∴， ∵博学楼层高5米，弘毅楼层高16米， ∴米，米， ∵他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为， ∴， ∴，， ∴米. 例2.如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度．(结果精确到1米，参考数据) 解：由题意得：，米，设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米，，解得：， （米， 建筑物的高度约为16米. 针对性练习 1、放风筝场景：线长20m，∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5m，求风筝离地面高度。 2、热气球探测器显示：看高楼顶部仰角30°，底部俯角60°，水平距离120m，求高楼高度（取整数，√3≈1.73）。 【变式训练1】热气球与楼水平距离改为240m，其他条件不变，巩固方法。 【变式训练2】已知楼高160√3m，仰角30°、俯角60°，求水平距离，逆向训练思维。 （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 2.如图，建筑物和旗杆的水平距离为6m，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（   ） A．m B．m C．m D．m 3.如图，是操场上直立的一根旗杆，在点处用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得点的仰角为，点的仰角为．已知，则旗杆的高度为( )（结果保留根号）． A．m B．m C．m D．m 4.在一次数学活动中，小明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度．如图，已知小明距假山的水平距离为9m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，小明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高为 _____ m． 5. 如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了________ 6.如图，测量人员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾角为的山坡前进到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高大约是______（结果精确到，参考数据：） 7.某市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌（如图）．小明在离指示牌水平距离3m的点处测得指示牌顶端点和底端点的仰角分别为和，则路况指示牌的高为 m． 88.如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 9．小明想测量一棵树的高度，在点A处测得树顶端的仰角为30°，向树方向前进8m到点B处，又测得树顶端的仰角为45°．求树的高度 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $