精品解析：江苏省苏州市胥江中学、叶圣陶学校联考2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年第一学期初二年级其中考试 数学试卷 2024.11 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中的轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的意义．解答本题掌握好轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质对A选项、C选项、D选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．与不能合并，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项符合题意； D．所以D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 3. 满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理进行计算可得答案．此题主要考查了勾股定理逆的定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 【详解】解：A．，，，， ， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，不符合题意． B．，，，， ， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，不符合题意． C．， 设，，， ， ， 满足勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意． D．， 设，，， ， ， ， 不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 4. 等腰三角形的周长是11，其中一边长为3，则该三角形的底为（　　） A. 3或4 B. 5 C. 3或5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】分边长为3的边为底、边长为3的边为腰两种情况，求出三条边的长度，判断是否符合三角形三边关系，即可求解． 【详解】解：当边长为3的边为底时，腰长为， 三条边长分别为4，4，3，符合三角形三边关系， 此时三角形的底为3； 当边长为3的边为腰时，底边长度为， 三条边长分别为3，3，5，符合三角形三边关系，满足题意； 此时三角形的底为5； 综上可知，该三角形的底为3或5． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，解题的关键是注意分情况讨论． 5. 下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的数，因此是最简二次根式，因此选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查最简二次根式的判断，掌握定义是解题的关键．满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，在中，，，，如果点、分别为，上的动点，那么的最小值是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．如图所示，作点A关于的对称点，作交于点D，连接，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作，交于点D，连接，如图： 则， ， 即最小值即为的长， ， ， ， 即最小值为， 故选：B． 8. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题． 根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 根据题意可知： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积之和为： ． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）． 9. 小亮用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．对千分位数字四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法将精确到的近似值为， 故答案为：． 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 11. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 12. 如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用．根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据求，根据求，根据计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中， ∴米， 已知米，， 则米， 在直角中，为直角边, ∴米， 米． 故答案为：． 13. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点，处，E交AF于点G．若∠CEF=70°，则∠GF=______°． 【答案】40 【解析】 【详解】解：根据折叠的性质，得∠DFE=∠FE． ∵ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠GFE=∠CEF=70°， ∠DFE=－∠CEF=110°． ∴∠GF=∠FE－∠GFE=110°－70°=40°． 故答案为：40． 【点睛】本题考查折叠问题矩形的性质，平行的性质． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为48，，．则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质求出，设，根据的面积为48得出，再把代入求出a即可． 【详解】解：过点D作于点F， 是角平分线，，， ， 设， 的面积为48， ， ， ， ， 解得：， 即， 故答案为：4． 15. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】利用“一锐角为30°的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，通过等量代换可得. 【详解】 解： AC与DE相交于G，如图， ∵为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°， ∵DE⊥AE， ∴∠AGE=30°， ∴∠CGD=30°， ∵∠ACB=∠CGD+∠D， ∴∠D=30°， ∴CG=CD， 设AE=x，则CD=3x，CG=3x， 在中，AG=2AE=2x， ∴AB=BC=AC=5x， ∴BE=4x，BF=5x﹣6， 在中，BE=2BF， 即4x=2（5x﹣6），解得x=2， ∴AC=5x=10． 故答案为10． 【点睛】直角三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半为本题的关键. 16. 如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=2，则DF=______. 【答案】3 【解析】 【详解】解：连接CF，作AG⊥FE于G，过C作CH⊥AF于H．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵BE⊥EC，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠EBC+∠ACE=45°．∵∠ABE+∠CBE=45°，∴∠ABF=∠ACE．∵∠BAC=∠FAE=90°，∴∠BAF=∠CAE．在△ABF和△ACE中，∵∠BAF=∠CAE，AB=AC，∠ABF=∠ACE，∴△ABF≌△ACE，∴BF=CE，AF=AE，∴△AFE是等腰直角三角形．∵AG⊥FE，∴FG=GE，AG=FG．∵AF=，∴AG=FG=GE=2．设CH与FE交于M点．∵CH⊥AF，C是线段AF的垂直平分线上的点，∴AH=FH=．∵∠AFE=45°，FM=FH=2．∵FG=2，∴M与G重合，即CH过点G．∵CH⊥FA，EA⊥FA，∴CH∥EA．∵AG⊥FE，CE⊥BE，∴AG∥EC，∴四边形AGCE是平行四边形，∴GD=DE=1，∴FD=FG+DG=2+1=3．故答案为3． 点睛：本题是三角形综合题．考查了全等三角形的判断与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度大．证明AGCE是平行四边形是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，零指数幂，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方与开方，再计算加减即可； （2）先运算二次根式乘法与除法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 求下列各式中的x值： （1） （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）移项后两边开方，即可求出x； （2）方程两边都除以3，再开方，即可求出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 开方得：， 即，； 【小问2详解】 解：， ， 开方得：， 解得：． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，能熟记平方根和立方根的定义是解此题的关键． 19. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）的平方根为． 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． （）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的，，的值即可； （）把，，的值先代入求解，然后根据平方根的概念即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵的立方根是，算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴整数部分， ∴，，； 【小问2详解】 解：由（）得，，，， ∴， ∴的平方根为． 20. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形边长为1，求的面积； （3）在直线上找一点，使得的值最大，并画出点的位置． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）连接交直线MN于点P，此时的值最大． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 的面积为 【小问3详解】 点P即为所求 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． 21. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案． 【详解】解：在中，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 22. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F （1）求证：PE=PF； （2）若∠BAC=60°，连接AP，求∠EAP的度数. 【答案】（1）见解析；（2）30°. 【解析】 【分析】（1）作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质知PD=PE，PD=PF，从而证明PE=PF即可； （2）∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则AP平分∠BAC，即可求出∠EAP的度数. 【详解】（1）作PD⊥BC于点D， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PD=PE，PD=PF， ∴PE=PF； （2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P， ∴AP平分∠BAC， ∵∠BAC=60°， ∴∠EAP=30° 【点睛】本题是对角平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键. 23. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠A=60°，BC=10，CD=8． （1）求∠ADC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）∠ADC=150°；（2）． 【解析】 【分析】(1)连接BD,由题意可知△ABD是等边三角形求出∠ADB的度数,根据勾股定理的逆定理求出∠BDC的度数,即可求出∠ADC． (2)将△ABD和△BDC的面积相加即可． 【详解】（1）连接BD． ∵AB=AD=6,∠A=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∴BD=6,∠ADB=60°． ∵BC=10,CD=8, 则BD2+CD2=82+62=100,BC2=102=100, ∴BD2+CD2=BC2, ∴∠BDC=90°, ∴∠ADC=150°； （2）S=S△ABD+S△BDC =AD•AD+BD•DC =×6××6+×8×6 =9+24． 【点睛】本题考查解不规则四边形,关键在于利用三角形的思想来解四边形． 24. 先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数，，使，，那么，，则有． 例如：化简． ． （1）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：________；________． （2）在中，，，其中边的垂直平分线分别交，于点，，当时，求的长（结果要化为最简形式）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握二次根式的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而利用三角形的外角的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，从而求出的长，最后由勾股定理进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； ； 小问2详解】 解：是边的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， 在中，， ， ， ， 在中， ． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）8cm；（2）4或；（3）5或8或． 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度； （2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可； （3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2−AC2＝102−62＝64， ∴BC＝8（cm）； （2）由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t−8）2， 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即：102＋[62＋（2t−8）2]＝（2t）2， 解得：t＝， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2， 所以（2t）2＝62＋（2t−8）2， 解得：t＝， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 26. 阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． （1）【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； （2）【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； （3）【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． （4）【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． （5）【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 【答案】（1）5：9 （2）28 （3）24 （4） （5），见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可； （3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【小问1详解】 ∵，b＝2a， ∴c＝a， ∴小正方形面积：大正方形面积＝(a)2：(3a)2＝5：9， 故答案为：5：9； 【小问2详解】 根据题意可求， ∵空白部分面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为=52-2××4×6＝28． 故答案为：28； 【小问3详解】 根据题意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3． 设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6-x． 在中，，即， 解得x＝1， ∴OA=4， ∴该风车状图案的面积=； 【小问4详解】 将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y＝， ∴S2＝x+4y＝． 故答案为：； 【小问5详解】 结论：． 由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键． 27. 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）①请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，．求证：． ②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，此时的长为________． 【拓展应用】 （3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈．（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析（2）①见解析；②5（3）40 【解析】 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）①延长交于E点，证明，，，再由得到，故可求解； ②延长，交的延长线于点M，得到的长为定值，根据底边上的高，得到当时，面积最大，再由勾股定理求出答案； （3）延长交于点H，延长交于点G，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）①如图②，延长交于E点， ∵平分，， 由（1）可得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：延长，交的延长线于点M， 由①可知， ∵， ∴， ∴， ∴的长为定值， ∵的长度为定值， ∴底边上的高， ∴当时，面积最大， 此时的面积最大， ∴， ∴； （3）解：延长交于点H，延长交于点G， 由（1）可知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长 ． 即围挡的长度为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期初二年级其中考试 数学试卷 2024.11 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中的轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C D. 4. 等腰三角形的周长是11，其中一边长为3，则该三角形的底为（　　） A. 3或4 B. 5 C. 3或5 D. 3 5. 下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，如果点、分别为，上的动点，那么的最小值是（ ） A. 12 B. C. D. 8. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）． 9. 小亮用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为_________． 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 11. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为______． 12. 如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了________m． 13. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点，处，E交AF于点G．若∠CEF=70°，则∠GF=______°． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为48，，．则的长为________． 15. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为_____． 16. 如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=2，则DF=______. 三、解答题（本大题共11小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的x值： （1） （2）． 19. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 20. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形边长为1，求的面积； （3）在直线上找一点，使得的值最大，并画出点的位置． 21. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 22. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F （1）求证：PE=PF； （2）若∠BAC=60°，连接AP，求∠EAP的度数. 23. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠A=60°，BC=10，CD=8． （1）求∠ADC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 24. 先阅读材料，然后回答问题： 形如的化简，只要找到两个正数，，使，，那么，，则有． 例如：化简． ． （1）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：________；________． （2）在中，，，其中边的垂直平分线分别交，于点，，当时，求的长（结果要化为最简形式）． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 26. 阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． （1）【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； （2）【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； （3）【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． （4）【初步运用】如图4，将八个全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． （5）【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 27. 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）①请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，．求证：． ②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，此时的长为________． 【拓展应用】 （3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈．（步道宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $