学易金卷：九年级数学上学期第三次月考（北京版，范围九上第18～22章）

2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级上册第十八章~第二十二章（第18章10%，第19章20%，第20章30%，第21章20%，第22章20%）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质．由已知比例式，利用比例的基本性质，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项符合题意； B、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； C、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； D、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、正弦，熟练掌握正弦的定义是解题关键．先根据网格和勾股定理可得，，再根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，， ∴，∴， 故选：D． 3．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线的平移．抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，直接利用规律解题即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是， 故选：C． 4．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（    ）    A．24 B．32 C．36 D．48 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可． 【详解】解：如图，过作交格线于，则于，    由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，点A，B，C在上，若，连接，再分别以点B，点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点D，然后连接和，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，正方形的判定和性质．根据作图可知，，再根据圆周角定理可得，可证四边形是正方形，进而得解． 【详解】解：连接，如图， 由题意可知，， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形， ， 故选：． 6．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】解：点为的中点， ， ， ， ∵直线与相切， ， ， 故选：． 7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴且， ∴， ∴旋钮的旋转角度x在和之间，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：B． 8．已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的解析式即可判定；求得、的长进行比较即可判定，过点作，交抛物线于，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得为直角三角形即可进行判定； 【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连，连，， 二次函数的顶点为，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故正确，符合题意； ，解得， 抛物线的解析式为， 当时，，解得：或， ，； ， ， ， ， ， 点在上，故②正确，符合题意； ， ，解得：或， ， ， 四边形不是平行四边形，故错误，不符合题意； 由抛物线可知， ， ，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算 ． 【答案】2 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算． 先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ， 故答案为：2． 10．如图,是的直径,是的弦,，垂足为点，则 ． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 结合题意，由垂径定理可得垂直平分，然后在中运用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意可知,垂直平分，， ∴， 在中,， ∴． 故答案为：． 11．（墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故答案为： 12．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当且时，的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数图象和性质是解题的关键．先代入点求出的值，得到反比例函数解析式．由于，函数在第一象限内随的增大而减小，根据或，结合增减性求的取值范围． 【详解】∵函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， ∵，在第一或第三象限内，随的增大而减小， 即：当且时，；当时，． 故答案为：或． 13．如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线长定理和切线的性质，证明的周长等于是关键． 证明四边形是正方形，然后根据切线长定理证明的周长等于即可求解． 【详解】解：连接、． 和是的切线， ，，， 则四边形是正方形． ， 又是切线， ，， 的周长 ． 故答案是：4． 14．某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，则云梯消防车最高点距离地面的高度为 ．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（含三角函数的运用），解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将起重臂长度、张角等已知条件转化为直角三角形的斜边和锐角，利用正弦函数求出直角边长度，进而计算最高点距离地面的高度。 过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】过点作，垂足为， 由题意得：， ， ， 在中，， ， ， 云梯消防车最高点距离地面的高度为， 故答案为：． 15．当时，二次函数的最大值为8，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 16．如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为 ； （2）当弦CD的长最小时，的值为 ． 【答案】 /0.25 【分析】本题考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，当点P与点A重合时，，根据三角函数的定义即可求出的值； （2）连接，根据切线的性质可得，根据三角函数的定义和勾股定理分析可得当弦CD的长最小时，最小；由垂线段最短性质得，当时，有最小值，求出此时的长，即可求出的值． 【详解】解：（1）连接， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当点P与点A重合时，， ． 故答案为：． （2）连接， ，，， ， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当弦CD的长最小时，圆心角也最小， ， 当最小时，最小，即最小， 又在中，， 当最小时，最小， 当弦CD的长最小时，最小， 由垂线段最短性质得，当时，有最小值， 此时， ， 当弦CD的长最小时，的值为． 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例设，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解：设， ∴ ． 18．（5分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 19．（6分）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 20．（6分）为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，，，，，即得，，再根据可得，即得，进而即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 21．（6分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式； (2)画出它在第一象限的图象； (3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)y从6减小到3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，涉及到待定系数法求反比例函数的解析式，画反比例函数的图像，反比例函数的增减性等知识． （1）设反比例函数的解析式为，利用待定系数法求解即可． （2）先求出两个反比例函数在第一象限内的点，根据这两个点画出反比例函数在第一象限的图像即可． （3）根据反比例函数的图像和性质求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数的图像经过点，∴， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：当时，则， 当时，则， 故反比例函数在第一象限的图象如下图所示： （3）解：反比例函数中， 则反比例函数在第一象限内随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， 则当自变量x从2增大到4时，y从6减小到3． 22．（8分）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，即可作答． （2）先描点，再连线，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： （3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； （4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 23．（8分）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理推理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）连接，由C是的中点求得根据等边三角形的性质得到，求得，求得得到结论； （2）根据圆周角定理得到根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到于是得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 24．（8分）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 (1)求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】(1) (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的最大值， 对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先将关系式配方，再根据最大值判断． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得． ； （2）解：不能达到，理由如下： ， ， 当时，有最大值，最大值为2.7， ， 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m． 25．（10分）如图，已知为的直径，C为上一点，连接，D为中点，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，过点O作于点F，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，弧，弦，角的关系，三线合一，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据弧，弦，角的关系，得到，三线合一得到，平行线的性质，得到，即可得证； （2）证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的长，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）如图， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴ ∴， ∴． 26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线，过点． (1)用含的式子表示； (2)求出此抛物线的对称轴； (3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． ()分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得点的坐标为，点的坐标为，再分当时和 当时，两种情况根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， 解得：； （2）解：由（）可知， 将其代入对称轴公式可得：， ∴此抛物线的对称轴为直线； （3）解：①当，，抛物线的解析式为，直线为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且： ∴把代入抛物线中， 可得， ∴， 把代入直线中， 可得， ∴， ∴的长为； ②由()知抛物线解析式为 ，直线， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ∴， 第一种情况：当时，即点在轴右侧，如图 ①当时，，, ∴二次函数，图象开口向下，对称轴为， ∵的长随的长增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 第二种情况：当时，即点在轴左侧，如图 当，， 此时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 如图可知：点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大， ∴时，满足的长随的长增大而增大； 综上，当或时，满足的长随的长增大而增大． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 2[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 10 11 12 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) C A D B 20.(6分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(8分) 4 543-2-1012345x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 0 B E 24.(8分) y/m 发球点 x/m 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) E C D B 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[BJIC][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4A][B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 10. 11 12 13 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) C 日 A D B 20.(6分) 个 M FD B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(8分) 4321 -5-4-3-2-10 2345 23 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) B 24.(8分) /m 发球点 x/m 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B 0 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级上册第十八章~第二十二章（第18章10%，第19章20%，第20章30%，第21章20%，第22章20%）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 3．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 4．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（    ） A．24 B．32 C．36 D．48 5．如图，点A，B，C在上，若，连接，再分别以点B，点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点D，然后连接和，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 8．已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算 ． 10．如图,是的直径,是的弦,，垂足为点，则 ． 11．（墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是 ． 12．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当且时，的取值范围是 ． 13．如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 14．某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，则云梯消防车最高点距离地面的高度为 ．（参考数据：，，，） 15．当时，二次函数的最大值为8，则 ． 16．如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为 ； （2）当弦CD的长最小时，的值为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）已知，求的值． 18．（5分）计算： (1)； (2) 19．（6分）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 20．（6分）为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 21．（6分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式； (2)画出它在第一象限的图象； (3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 22．（8分）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 23．（8分）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 24．（8分）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 (1)求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 25．（10分）如图，已知为的直径，C为上一点，连接，D为中点，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，过点O作于点F，交于点G，若，，求的长． 26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线，过点． (1)用含的式子表示； (2)求出此抛物线的对称轴； (3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级上册第十八章~第二十二章（第18章10%，第19章20%，第20章30%，第21章20%，第22章20%）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知，那么下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 3．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 4．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（    ） A．24 B．32 C．36 D．48 5．如图，点A，B，C在上，若，连接，再分别以点B，点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点D，然后连接和，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 8．已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算 ． 10．如图,是的直径,是的弦,，垂足为点，则 ． 11．（墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是 ． 12．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当且时，的取值范围是 ． 13．如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 14．某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，则云梯消防车最高点距离地面的高度为 ．（参考数据：，，，） 15．当时，二次函数的最大值为8，则 ． 16．如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为 ； （2）当弦CD的长最小时，的值为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）已知，求的值． 18．（5分）计算： (1)； (2) 19．（6分）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 20．（6分）为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于M，交于N．求旗杆的高度． 21．（6分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式； (2)画出它在第一象限的图象； (3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 22．（8分）已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 23．（8分）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 24．（8分）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 (1)求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 25．（10分）如图，已知为的直径，C为上一点，连接，D为中点，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，过点O作于点F，交于点G，若，，求的长． 26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线，过点． (1)用含的式子表示； (2)求出此抛物线的对称轴； (3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C A D A B B 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．2 10．/2厘米 11． 12．或 13．4 14． 15．或 16．/0.25 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】解：设，···································1分 ∴ ··································3分 ．··································5分 18．（5分） 【详解】（1）原式 ；··································2分 （2）原式 ··································5分 19．（6分） 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ；··································3分 （2）解：， ， ， ， ， ．··································6分 20．（6分） 【详解】解：由题意得，，，，， ∴，， ∵， ∴，··································2分 ∴， 即， ∴，··································4分 ∴， 答：旗杆的高度为．··································6分 21．（6分） 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为：．··································2分 （2）解：当时，则， 当时，则， 故反比例函数在第一象限的图象如下图所示： ··································4分 （3）解：反比例函数中， 则反比例函数在第一象限内随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， 则当自变量x从2增大到4时，y从6减小到3．··································6分 22．（8分） 【详解】（1）解： ；··································2分 （2）解：由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： ··································4分 （3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或；··································6分 （4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为．···················8分 23．（8分） 【详解】（1）证明：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；··································3分 （2）解：∵是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，··································5分 在中，， ∴， ∴．··································8分 24．（8分） 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得． ；··································3分 （2）解：不能达到，理由如下：··································4分 ， ， 当时，有最大值，最大值为2.7，··································6分 ， 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m．··································8分 25．（10分） 【详解】（1）解：∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线；··································4分 （2）如图， ∵， ∴，··································5分 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴，， ∴，··································7分 由（1）知：， ∴， ∴ ∴，··································8分 ∴．··································10分 26．（10分） 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， 解得：；··································2分 （2）解：由（）可知， 将其代入对称轴公式可得：， ∴此抛物线的对称轴为直线；··································4分 （3）解：①当，，抛物线的解析式为，直线为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且： ∴把代入抛物线中， 可得，∴， 把代入直线中，可得，∴， ∴的长为；··································6分 ②由()知抛物线解析式为 ，直线， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ∴， 第一种情况：当时，即点在轴右侧，如图 ①当时，，, ∴二次函数，图象开口向下，对称轴为， ∵的长随的长增大而增大，∴，解得：， 又∵， ∴，··································8分 第二种情况：当时，即点在轴左侧，如图 当，， 此时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 如图可知：点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大， ∴时，满足的长随的长增大而增大； 综上，当或时，满足的长随的长增大而增大．·························10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $