精品解析：浙江省“9+1”高中联盟2026届高三上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试 数学 命题：富阳中学 何其多 丁伟民 桐乡高级中学 方蕾 审题：义乌中学 楼萍萍 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则其共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 记表示不超过最大整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于统计的知识，说法正确的是（ ） A. 若数据的方差为0，则所有的都相等 B. 已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C. 数据的第70百分位数是8.5 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1 10. 已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 当时，直线截圆所得的弦长为 C. 点到直线距离恒为 D. 若，则当取到最小值时， 11. 已知四棱锥满足底面为平行四边形，取中点，过直线作平面分别交棱于点.设，则（ ） A. 三棱锥的体积是四棱锥的体积的 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含的项的系数是__________. 13. 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是__________. 14. 已知正边形内接于单位圆，任取两个不同顶点，满足的概率为，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，判断并证明与的大小关系. 16. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）若的最长边长度为4，求最短边的长度. 17. 如图，在三棱锥中，平面在以为直径的圆周上运动，作于于，连接. （1）求证：； （2）求证：平面与平面所成夹角的大小与相等； （3）若，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为. （1）求双曲线的方程； （2）若，求的面积； （3）记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 若整数数列满足对任意的值恰好为中数字出现的次数（数字不拆分统计，如10不计入0，1的出现次数），则我们称该数列是“自洽”的.例如，当时，有如下数列是“自洽”的：这表示，在中，0和2出现了2次，1出现了1次，3和4出现了0次.现已知一个项数列是“自洽”的. （1）求证：； （2）当时，直接写出所有满足条件的数列（无需证明）； （3）当时，求该数列通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网丽组卷网 2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试 数学 命题：富阳中学何其多丁伟民桐乡高级中学方蕾审题：义乌中学楼萍萍 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合4={x-2≤x≤2，B=0<金≤3}，则AnB=（) A.{x-2Ex≤2 B.{x0<0≤2} C.{x0<R≤3} D.{x-2Ex≤3 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义来求解 【详解】由交集的定义可知：A∩B={x0<≤2}： 故选：B 2.已知复数z= (i为虚数单位)，则其共轭复数为() 3-i A.3-i B.3+i 2 2 C.3-i D.3+i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出z,再求共轭复数. 【详解】u2= 2 25+_5+i,则其共复数为5-i √3-i3-i2 2 2 第1页/共19页 耐学科网 可组卷网 故选：A. 3.椭圆3x2+y2=1的离心率是() A.② B.3 C. D. √6 3 3 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程求出a2和c2即可求解. x2 【详解】椭圆32+y2=1,即+y=1】 3 所以a2=1,b2=则c2=2 故e=S=6 a 3 故选：D. 4格函数f八=如2x-星引的图象向右平移君个单位，符到质数8纠的图象.则《) A.g(x)=sin 2x- B.g(x)=sin 2x+ 2 C.g(x)=sin 2x- 5π D.g(x)=sin （2-7 【答案】D 【解析】 【分析】由平移规则即可求解 【1由题意：8时=君引=2}引n2x 故选：D 5.记[x表示不超过x的最大整数，则“1<x<2”是“0<[x]<2“的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第2页/共19页 可学科网 可组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】先明确充分条件和必要条件的定义，然后判断“1<x<2”能否推出“0<x<2”,以及判断 “0<[x]<2”能否推出“1<x<2”即可. 【详解】充分性：当1<x<2时，[x=1∈(0,2)，成立 必要性：当0<[<2时，[x=1,则x∈[1,2)，不能得到1<x<2. 综上所述，“1<x<2”是“0<x<2”的充分不必要条件 故选：A 6.已知等差数列{an}满足a=2,a+a=10,数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2bn-3n∈N),则数 列{b}的前10项和为() A.2046 B.3069 C.6138 D.6144 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与题目条件得到数列b,}为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解 【详解】由题意：4，=2，a,=+a:=5,则公差d=a,4=1,得a,=m+1, 2 3 又Sn=2b,-3,Sn1=2b-1-3(n≥2)，两式相减得bn=2b-1（n≥2)， 易知6=3，所以6.=3×2，所以6，-b=3×2,成前10项和为61-29-6×1023=6138 1-2 7已asm0+引m0-）-则s+eo0=y A. 23 27 C29 31 B. D 50 50 50 50 【答案】C 【解析】 【分折】由两角和效的正弦公式得到s如0+写》小n(0-写】sn日-3cos0),再结合平方关系可 第3页/共19页 耐学科网 可组卷网 求解 【详解】由两角和差公式： 则可得方程组 (sin20-3cos'0）= 20.解得sin0 0 sin20+cos20 =1 10c0s0=,3 sin+cos0=(sin+cos)-2sin 50 故选：C 8.已知a∈R,对任意z∈(0，+o),方程组 x+y=az xy Inz 存在实数解x,y),则a的最小值为() B.2 C.1 D.2 【答案】B 【解析】 分析】方程联立消去y得x2-azx+lnz=0,结合判别式得到(az)2-4lnz≥0恒成立，通过分参求最值 即可求解 【详解】由方程组可知y=az-x,代入化简得：x2-azx+lnz=0 由题意，该方程有解，故△=(az)2-4lnz≥0 该不等式对任意的z∈(0，+∞)恒成立，即a2≥ 4lnz 22 nax 设f=,则了-41-回 当z∈(0，v时，f'(z)>0,当z∈NE,+∞时，f'(z)<0 所以f(z)在(0，√上单调递增，在(Ve,+∞)上单调递减， 则a2≥f)=2,即a的最小值为2. 故选：B 第4页/共19页 可学科网可组卷网 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于统计的知识，说法正确的是() A.若数据x,x2,x3,…,xn的方差为0，则所有的x,i=1,2,3,…,n)都相等 B.已知样本数据x,x2,x3,…,xn（n≥5)，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本 的中位数 C.数据-2，-1,3,7,8,9,10,11的第70百分位数是8.5 D.若一组样本数据x,y)(i=1,2,3,…,n)的对应样本点都在直线y=-0.5x+1上，则这组样本数据的相 关系数为-1 【答案】AD 【解析】 【分析】由方差、中位数、百分位数和相关系数的概念逐项判断即可 【详解】A项：由方差知识得x,=x,A项正确； B项：去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，B项错误； C项：8×70%=5.6，则70百分位数为第6个数9，C项错误； D项：样本点都在直线y=-0.5x+1,则x,y完全负相关，所以相关系数为-1，D项正确 故选：AD 10.己知点A为直线1：4x+3y+t=0(t∈R)上的动点，向量AB=2,1),过点B向圆C:x2+y2=1作两 条切线，切点分别为点D,E,则() A.若直线1与圆C相切，则t=±5 B.当1=1时，直线I截圆C所得的弦长为4V6 C.点B到直线的距离恒为√5 D.若t<0,则当BCDE取到最小值时，I⊥BC 【答案】ABD 【解析】 【分所】根据直线与圆的性质，点到直线的距离公式d=,+B+C,这一分所判断选项即可 √A2+B2 第5页/共19页 可学科网丽组卷网 【详解】A项：当1与圆C相切时，圆心C到直线的距离为具-1，所以1=士5，A项正确： B项：t=1时，圆心C到直线的距离为二，所以弦长为 4V6 B项正确： 5 5 C项：易知，直线的一个法向量为i=(4,3),AB=(2,1,可知dg1= AB.11 ,C项错误； 5 D项：由C知：8点的轨迹为一条与平行的直线，不妨设为1，当1<0时，由于d,- 5,易知1与圆 C无交点 由切线可知BC⊥DE,S,BDc=SBEc= 5E·则CDE=-2Sca=4e 因为5am-xci=BD-BCFi,所以当sC取最小值，时BCDE有最小值此时 '⊥BC,即I⊥BC,D项正确 故选：ABD 11.己知四棱锥P-ABCD满足底面ABCD为平行四边形，取PC中点M,过直线AM作平面O分别交 PS PT 棱PB,PD于点S,T设x= ,y= PB PD ,则() A三校锥P-AMB的体职是四棱锥P-A8CD的体积的子 B.x的取值范围为(0， 2 2 C当x=号时，y=有 D四棱锥P-ASMT的体积与四棱锥P-ABCD的体积之比的最小值为 3 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等体积法可判断A,通过x∈ 延长SM交BC延长线于N,判断P,D两点在平面 ASM的同侧，可判断B,通过A,S,M,T四面共面结合空间向量基本定理可判断C,由 Vp-4SM虹=} 4十4，结合基本不等式可判断D Vp-ABCD VP-ABCD 【详解】A项：Vp-ABM=VA-PBM 第6页/共19页 可学科网可组卷网 1 由于M是PC中点，故S。PBM=SPaC,则 2 VN三BC三pBCD,A项正确 2 4 1 B项：当x∈ 时，延长SM交BC延长线于N,连接AN,P,D两点在平面ASM的同侧， 故线段PD与平面ASM无交点，即T不在棱PD上，矛盾B项错误 C项：由x=PS 知：AS=xAB+(1-x)AP, PB 同理AT=yAD+(1-y)AP 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以M=(p+4C)小=aD+AB+AD） 由A,S,M,T四点共面，可知存在实数元，4，满足AM=2AS+4AT 代入得：{+B+D)=[xA店+1-刘]+川)AD+1-川] 1 入x= 2 故四y -+I--号 则x+1-y-1 2+2号-2化简得：y=3 故x=时，代入解得：y= 2 ,C项正确 3 M D D项：因S,PsM=)SPBC, 2 所以nw= 2 XVP-ABCD P-ABC 4 同理有：Vp-ATM _YV, 2 4 第7页/共19页 可学科网可组卷网 ,哑_'p-4w+'p-L=+y 故 P-ABCD VP-ABCD 4 X 由于y= 3x-1 可知x+y=3y,由基本不等式：x+y=3y≤3(x+少 4 4 2 即x+y之，当且仅当x=y=行时政等 3 1 故四棱锥P-ASMT的体积与四棱锥P-ABCD的体积之比的最小值为三，D项正确， 3 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.在 (x+y)3的展开式中，含x3y2的项的系数是 【答案】10 【解析】 【分析】分别计算(x+y)的展开式x3y2和x2y3的系数，即可求解 【详解】 2-+申y2- 中的常数2与(x+y)中的x3y2项相乘， 2-x y 中的 项与(x+y)中的x2y3项相乘得到， 又(x+y)中x3y2项系数为C,x2y3系数为C, 所以在 士红+的展开式中，含y严的项的系数为2C-C号=0 故答案为：10 x+2x-k.x 13.己知函数f(x)= 2 的最小值为0，则实数k的取值范围是 ln,x> 2 【答案】k≤-1 【解析】 【分析】分别确定x≤和x>】时f(x的最小值，再通过大小构造不等式求解即可 2 第8页/共19页 命学科网可组卷网 1 【详解】当x>时，由f(x)=nx= -hx<x<1 lnx,x≥1 可在[ 上单调递减，在1，+0)上单调递增，则f(x)≥f(1=0, 当x≤时，f(=r+2x-k在(0，-l上单调递减， 上单调递增， 则fx)≥f-1=-1-k, 由题意，f(x)min=0,则-1-k≥0，解得k≤-1 故答案为：k≤-1. 14.已知正边形A4,…A,(n≤15)内接于单位圆0，任取两个不同顶点A,A,满足OA+OA≥V5的 概率为弓，则n的值为 【答案】8或15 【解析】 【分析】先根据向量模长公式得出向量夹角的范围，再结合正n边形的性质，方法一：通过设n=6m+t求 解n的值，方法二：通过分类讨论求解n的值，方法三：根据概率公式和整除性质求解n的值，进而根据 概率公式求出n的值 【详解】不妨设取出的顶点为A,A,其中k=2,3,…,n,设OA与OA的夹角为O, 0A+0A≥V5,平方可得04+04+20A0Ac0s0≥3， 法一：先考虑k≤”+的情况，易知此时0=(k-).2亚，根据的范围，解得：k≤”+1， n 6 设n=6m+tm,t∈N,t≤S),由于k是整数，则k≤m+1, 因此满足条件的k的值为2，·，m+1,共m个；结合对称性，在整个单位圆上，满足条件的k有2m个 因此满足6A+OA23的旺率P有：P=名三6m%=,化荷待：m=1-1, 则n=7m+1,显然n≥3，又要求n≤15，解得：m=1或2， 故n的值为8或15. 第9页/共19页 可学科网列组卷网 法二：要存在00,3】 的情况，2≤，即n≥6，以下分类讨论： 当只有4,4，两个顶点能满足条件时，2.2匹>，即n<12, 此时P=,二=气，解得n=8, 当只有4,4,4，A,四个顶点能满足条件时，2.2五≤且3.2江>，即12≤n<18 此时P=4=2 n-17 解得n=15, 当有超过四个顶点能满足条件时，3·m≤3，即之18，不合题意， 综上：n的值为8或15 法三：共有n-1个顶点可取，假设满足条件的有m个，则P=m=名，即1-1=m,即 n-17 2(n-1=7m, 则必有n-1被7整除，结合n≤15，只需考虑n=8和15的情况， n=8时，只有A2,An两个顶点能满足条件，P= 7’成立， 42 n=15时，只有A2,A,An,An-1四个顶点能满足条件，P= 4另成立， 故n的值为8或15. 故答案为：8或15. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15己期数：g到=1 (1)求f(x的单调区间； (2)当x>1时，判断并证明f(x)与gx)的大小关系 【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(-∞，2)，单调递减区间为2，+0) (2)fx<gx),证明见解析 【解析】 【分析】(1)求导分析∫(x)单调递区间即可； (2)利用函数的导函数判断函数单调性，再通过做差法即可判断∫(x)与g(x)的大小关系 第10页/共19页