专题1.2 抽样方法（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

本讲义聚焦抽样方法核心知识点，从总体与样本概念切入，系统梳理简单随机抽样（抽签法、随机数法）的定义、特征及适用范围，进而延伸至分层抽样的概念、步骤与应用条件，通过对比表格构建两种抽样方法的联系与差异，形成完整知识支架。 资料以真实情境案例（如高校体测抽样、果园产量预估）引导学生用数学眼光观察现实问题，通过典例分析（如政府机关人员分层抽样）培养数学思维，提升数据分析与数学抽象素养。题型覆盖选择、填空、解答，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固抽样比计算等技能，有效查漏补缺。

专题1.2 抽样方法 教学目标 通过实例分析，体会简单随机抽样与分层抽样的差异，通过实例，感受调查研究的意义，了解简单随机抽样的含义及过程，提升数据分析素养。 教学重难点 1.掌握两种简单随机抽样的方法，感受随机数的“随机性”，能根据实际问题的特点，选用恰当的抽样方法解决问题。（重点） 2.了解分层随机抽样的特点和适用范围，掌握各层样本量比例分配的方法，感悟从特殊到一般的思想方法，提升数学抽象素养。（重点） 知识点01 总体与样本 1.简单随机抽样 概念：在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本，且总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，这种抽样方法叫做简单随机抽样。 2.两种常见的简单随机抽样： (1)抽签法：抽签法又称抓阄法，是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（或卡片、小球等）上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，保证每个个体被抽到的可能性相同，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量。 (2)随机数法：将总体中的N个个体编号，用随机数工具生成1～N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，直到抽足所需要的数量。如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量。 简单随机抽样的特征 (1)有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析。 (2)逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作。 (3)不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算。 (4)等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性（机会）都相等（与第几次抽取无关），从而保证了抽样的两种简单随机抽样方法的优缺点 抽签法 优点:简单易行 缺点:当总体容量较大时，操作起来比较麻烦 适用范围:总体中个体数不多的情形 随机数法 优点:简单易行，它很好地解决了总体容量较大时抽签法制签困难的问题 缺点:总体容量很大，样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便 适用范围:总体容量较大，样本容量较小的情形公平性。 知识点02 分层随机抽样 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样。1.分层随机抽样的概念： 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为分层随机抽样，简称分层抽样。所分成的各个部分称为“层”，一般可按照总体中个体的分类属性（例如，对于人口总体，可按性别、年龄段、受教育情况等）进行分层，分在同一层的个体应具有相近的特征。 分层随机抽样的特点 (1)适用范围：总体由差异明显的几部分组成。 (2)层与层的关系：分成的各层之间互不交叉。 (3)各层比例：各层抽取的比例都等于样本量与总体容量的比。 (4)可能性：是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等。 (5)样本：分层随机抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性。 抽样方法 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 (1)抽样过程中每个个体被抽到的机会均等；(2)都是不放回抽样 从总体中逐个抽取 分层随机抽样在各层抽样时可采用简单随机抽样 样本容量较小 分层随机抽样 将总体分成互不相交的层，分层进行抽取 总体由差异明显的几部分组成 (1)分层随机抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大。 (2)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整。 (3)两种抽样方法经常交叉使用。例如，在分层随机抽样中，若每层的个体数较多，则可用简单随机抽样中的随机数法。 题型01简单随机抽样 【典例1】1．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 【变式1】2．为了了解某小区2000户居民缴纳社保情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（   ） A． B． C． D． 【变式2】某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为 kg. 总体与个体的关系 1. 总体是统计研究的“目标集合”，可有限/无限，也可特指“调查指标的全体”（如“学生身高”而非“学生”）。 2. 个体是构成总体的“基本单元”，是单独的研究对象。 3. 二者关联但概念不同：总体指向“整体目标”，个体指向“局部单元”。 题型02分层抽样的特征及适用条件 【典例1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 分层随机抽样的步骤： （1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层。 （2）根据总体中的个体数 和样本量 计算抽样比 。 （3）确定第 层应该抽取的个体数目 （ 为第 层所包含的个体数），使得各 之和为 （4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为 的样本。 【变式1】为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【变式2】某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是 ． 【变式3】某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则可在老年人中剔除 人，然后进行 抽样. 题型03抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【典例3】某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（   ） A．25 B．15 C．30 D．20 【变式1】某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 【变式2】某中学高一年级有男生640人，女生480人.为了解该年级男､女学生的身高差异，应采用 （从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为 . 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，且，说明乙的跳远成绩比甲稳定 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 2．某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若要从中抽取300人进行调查，则应该从中年居民中抽取的人数是（    ） A．100 B．125 C．160 D．200 3．从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 二、填空题 5．一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为 6．某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，..，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第6个数的编号是 . 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 7．某林区有针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域，面积占比为，每个区域树种种植密度均相同．现采用分层随机抽样调查各类树种生长情况，若从针叶林区域抽取了120株样树，则在该林区总共抽取的树种数量为 ． 8．采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生 人. 9．某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为 . 10．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为 . 11．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 12．某新闻机构想了解全国人民对2024年巴黎奥运会开幕式的评价，决定从某市2个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若2个区人口数之比为2∶7，且人口较少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为 ． 三、解答题 13．当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注．为了了解某中学高三年级400名学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检测． (1)在这个问题中，总体、样本各是什么？ (2)为深入了解这50名学生的视力情况，从中随机抽取6人，分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程． 14．有以下三个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况； 案例三：从某校1000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动. (1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？ 15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用按比例分配的分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况，应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ 16．下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1200公顷，平地2400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 17．根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知，我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养目标以符合企业岗位需要的中、高级技术工人．2024年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核后取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表： 岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 人数 20 60 60 40 20 (1)现从这200人中采用分层抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，求交流团中取得技师类（包含技师和高级技师）岗位证书的人数． (2)为了鼓励企业员工参加培训，该企业在2025年出台了如下培训奖励措施． 取得岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 奖励金额（元/人） 0 500 600 800 1000 以2024年度培训取得各岗位证书的频率来估计2025年的培训考核结果，若该企业在2025年度培训共400人，请估计该企业2025年度共需支付多少奖金？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 抽样方法 教学目标 通过实例分析，体会简单随机抽样与分层抽样的差异，通过实例，感受调查研究的意义，了解简单随机抽样的含义及过程，提升数据分析素养。 教学重难点 1.掌握两种简单随机抽样的方法，感受随机数的“随机性”，能根据实际问题的特点，选用恰当的抽样方法解决问题。（重点） 2.了解分层随机抽样的特点和适用范围，掌握各层样本量比例分配的方法，感悟从特殊到一般的思想方法，提升数学抽象素养。（重点） 知识点01 总体与样本 1.简单随机抽样 概念：在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本，且总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，这种抽样方法叫做简单随机抽样。 2.两种常见的简单随机抽样： (1)抽签法：抽签法又称抓阄法，是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（或卡片、小球等）上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，保证每个个体被抽到的可能性相同，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量。 (2)随机数法：将总体中的N个个体编号，用随机数工具生成1～N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，直到抽足所需要的数量。如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量。 简单随机抽样的特征 (1)有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析。 (2)逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作。 (3)不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算。 (4)等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性（机会）都相等（与第几次抽取无关），从而保证了抽样的两种简单随机抽样方法的优缺点 抽签法 优点:简单易行 缺点:当总体容量较大时，操作起来比较麻烦 适用范围:总体中个体数不多的情形 随机数法 优点:简单易行，它很好地解决了总体容量较大时抽签法制签困难的问题 缺点:总体容量很大，样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便 适用范围:总体容量较大，样本容量较小的情形公平性。 知识点02 分层随机抽样 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样。1.分层随机抽样的概念： 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，先把总体分成若干个部分，然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本，这种抽样的方法称为分层随机抽样，简称分层抽样。所分成的各个部分称为“层”，一般可按照总体中个体的分类属性（例如，对于人口总体，可按性别、年龄段、受教育情况等）进行分层，分在同一层的个体应具有相近的特征。 分层随机抽样的特点 (1)适用范围：总体由差异明显的几部分组成。 (2)层与层的关系：分成的各层之间互不交叉。 (3)各层比例：各层抽取的比例都等于样本量与总体容量的比。 (4)可能性：是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等。 (5)样本：分层随机抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性。 抽样方法 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 (1)抽样过程中每个个体被抽到的机会均等；(2)都是不放回抽样 从总体中逐个抽取 分层随机抽样在各层抽样时可采用简单随机抽样 样本容量较小 分层随机抽样 将总体分成互不相交的层，分层进行抽取 总体由差异明显的几部分组成 (1)分层随机抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大。 (2)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整。 (3)两种抽样方法经常交叉使用。例如，在分层随机抽样中，若每层的个体数较多，则可用简单随机抽样中的随机数法。 题型01简单随机抽样 【典例1】1．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 【答案】C 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，不在范围的及与前面重复的都舍去，进而得到结论. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第3个样本编号为007. 故选：C. 【变式1】2．为了了解某小区2000户居民缴纳社保情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由样本容量除以总体容量即可. 【详解】由题意可知为了了解某小区2000户居民缴纳社保情况， 从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的， 故可能为. 故选：C 【变式2】某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为 kg. 【答案】6720 【分析】将样本均值视为总体均值，即可估计果园的苹果产量. 【详解】将样本均值视为总体均值，故预估该果园的苹果产量为kg. 故答案为： 总体与个体的关系 1. 总体是统计研究的“目标集合”，可有限/无限，也可特指“调查指标的全体”（如“学生身高”而非“学生”）。 2. 个体是构成总体的“基本单元”，是单独的研究对象。 3. 二者关联但概念不同：总体指向“整体目标”，个体指向“局部单元”。 题型02分层抽样的特征及适用条件 【典例1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【答案】C 【分析】由分层抽样的适用条件即可判断； 【详解】由题意可知，总体由差异明显的三部分构成，所以选用分层随机抽样法． 故选：C 分层随机抽样的步骤： （1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层。 （2）根据总体中的个体数 和样本量 计算抽样比 。 （3）确定第 层应该抽取的个体数目 （ 为第 层所包含的个体数），使得各 之和为 （4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为 的样本。 【变式1】为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【答案】B 【分析】由分层抽样的概念即可判断； 【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样． 故选：B． 【变式2】某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是 ． 【答案】分层随机抽样，简单随机抽样 【分析】通过随机抽样的定义进行判断． 【详解】解：对于调查①，某公司在四个地区的销售点存在明显的差距，故采用的是：分层随机抽样； 对于调查②，明显是采用的是：简单随机抽样， 故答案为：分层随机抽样，简单随机抽样 【变式3】某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则可在老年人中剔除 人，然后进行 抽样. 【答案】 1 分层 【分析】根据题意，中年人和青年人都是9的倍数，所以从老年人中剔除1人，采用分层抽样的分法进行抽样. 【详解】因为中年人54人，青年人81人都是9的倍数， 所以老年人28人中需要剔除1人，剩余27人也是9的倍数， 由于总体中由老年人、中年人和青年人三层组成，所以采用分层抽样的分法进行抽样. 故答案为：；分层. 题型03抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【典例3】某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（   ） A．25 B．15 C．30 D．20 【答案】D 【分析】先求出全校女生人数，再根据分层抽样的比例计算即可. 【详解】2500人中女生人数为, 则容量为50的样本中女生的人数为. 故选：D 【变式1】某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 【答案】 【分析】根据样本各层之比等于总体各层之比即可. 【详解】三个年级中抽取的人数比和三个年级学生的人数比一样， 所以高三的学生人数为. 故答案为： 【变式2】某中学高一年级有男生640人，女生480人.为了解该年级男､女学生的身高差异，应采用 （从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为 . 【答案】 分层随机 48 【分析】利用分层抽样结合分层抽样的样本容量的计算公式求解即可. 【详解】因为男､女学生的身高存在明显差异，所以应采取分层随机抽样的方法抽取样本.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为. 故答案为：分层随机，48. 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，且，说明乙的跳远成绩比甲稳定 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 【答案】A 【分析】求出数据2，2，3，4的众数、中位数，即可判断A；由抽样调查的特征可判断B；由方差的意义判断C；由概率的意义判断D. 【详解】对于A，由题意可知数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，故A正确； 对于B，了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故B错误； 对于C，由题意可得，则，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故C错误； 对于D，可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生，故D错误. 故选：A 2．某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若要从中抽取300人进行调查，则应该从中年居民中抽取的人数是（    ） A．100 B．125 C．160 D．200 【答案】A 【分析】应用分层抽样等比例性质求中年居民中抽取的人数. 【详解】由题意知，中年居民所占的比例为，故应该从中年居民中抽取的人数为人. 故选：A 3．从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层抽样得到抽取6人中偏理科和偏文科的人数，利用列举法求古典概型的概率. 【详解】60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为， 所以分层抽样抽取6人，偏理科的人数为，设为， 偏文科的人数为，设为， 故随机抽取3人，一共有以下情况， ， ， ，共20种情况， 其中至少有2人偏理科的情况为 ， ， 共16种情况，所以随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是. 故选：D 4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】B 【分析】先求出高二学生的占样本的抽样比，再乘以即可. 【详解】由题意：从高二年级抽取的学生人数为：. 故选：B 二、填空题 5．一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为 【答案】12 【分析】确定男女运动员的比例，根据分层抽样中的比例，即可求得答案. 【详解】由题意可知田径队中男运动员有60人，女运动员48人， 即男女运动员比例为， 故用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本， 则抽取女运动员的人数为， 故答案为：12 6．某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，..，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第6个数的编号是 . 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 【答案】315 【分析】利用随机数表的性质并结合题意求解即可. 【详解】由题意最先读到的1个的编号是685， 向右读下一个数是992，992它大于899，故舍去， 再下一个数是696，再下一个数是827，再下一个数是310， 再下一个数是991，舍去，再下一个数是696，舍去，再下一个数是729， 再下一个数是315，则读出的第6个数是315. 故答案为：315 7．某林区有针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域，面积占比为，每个区域树种种植密度均相同．现采用分层随机抽样调查各类树种生长情况，若从针叶林区域抽取了120株样树，则在该林区总共抽取的树种数量为 ． 【答案】 【分析】设该林区总共抽取的树种数量为，根据分层随机抽样求出针叶林占比即可. 【详解】由题意，设该林区总共抽取的树种数量为， 因为针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域的面积占比为， 所以针叶林区域占比为， 又因为从针叶林区域抽取了株样树， 所以，解得， 故该林区总共抽取的树种数量为. 故答案为：. 8．采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生 人. 【答案】 【分析】首先求出高三年级抽取的人数，再根据抽样比即可求出总人数. 【详解】依题意高三年级共抽取人. 又高三年级共有600人，所以抽样比为，所以学校共有高中生人. 故答案为：. 9．某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为 . 【答案】 【分析】首先求出抽样比，即可求出岁及以上的职工应抽取的人数. 【详解】因为抽样比例为， 所以岁及以上的职工应抽取(人). 故答案为：. 10．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为 . 【答案】 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样方差公式计算方差，从而得出标准差. 【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差， 所以样本中所有员工的体重的方差为120，标准差为. 故答案为： 11．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 36 72 64 172 【答案】 【分析】由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数． 【详解】解：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的比例为， 该样本的老年教师人数为，则有，， 故答案为：． 12．某新闻机构想了解全国人民对2024年巴黎奥运会开幕式的评价，决定从某市2个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若2个区人口数之比为2∶7，且人口较少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为 ． 【答案】450 【分析】根据分层抽样的抽取比例相同求解即可． 【详解】设样本容量为，则，解得， 所以样本容量为450， 故答案为：450． 三、解答题 13．当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注．为了了解某中学高三年级400名学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检测． (1)在这个问题中，总体、样本各是什么？ (2)为深入了解这50名学生的视力情况，从中随机抽取6人，分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据总体、样本的定义及题干信息确定问题中总体和样本； （2）根据抽签法、随机数法的抽样过程，设计抽样步骤即可. 【详解】（1）总体是该中学高三年级400名学生的视力，样本是所抽取的50名学生的视力； （2）利用抽签法步骤如下： 第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50． 第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签． 第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀． 第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码． 对应上面6个号码的学生就是抽取的学生; 利用随机数法步骤如下： 第一步：将这50名学生编号，编号为． 第二步：用计算机产生范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号． 第三步：重复第二步的过程，若出现重复的号码，则舍去，直到抽足6个号码． 对应上面6个号码的学生就是抽取的学生. 14．有以下三个案例： 案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况； 案例三：从某校1000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动. (1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的使用范围合理进行选择； （2）分层抽样步骤：分层、确定抽样比、按抽样比确定各层样本数、在各层按简单随机抽样方式抽取样本、汇总. 【详解】（1）案例一数量少，用简单随机抽样，案例二员工收入差距明显，用分层抽样，案例三数量多，用系统抽样. （2）分层抽样的抽样过程如下： ①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层； ②确定抽样比例； ③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本. 15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用按比例分配的分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况，应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ 【答案】6人，9人，10人 【分析】首先利用分层抽样的知识求出抽样比，即可求出老、中、青员工的人数. 【详解】根据题意，抽样比为，因此，应从老、中、青员工中分别抽取 （人）； （人）； （人）. 16．下面的抽样中适合用简单随机抽样的有哪些？ (1)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈； (2)从10台冰箱中抽出3台进行质量检查； (3)某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本； (4)某乡农田有：山地800公顷，丘陵1200公顷，平地2400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量． 【答案】(1)不适合 (2)适合 (3)不适合 (4)不适合 【分析】（1）总体容量较大，不适合； （2）总体容量较少，适合； （3）个体差异明显，不适合； （4）总体容量大，差异还较大，不适合. 【详解】（1）总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦； （2）总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便； （3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法； （4）总体容量大，且各类田地的差别很大，不宜采用简单随机抽样法． 17．根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知，我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养目标以符合企业岗位需要的中、高级技术工人．2024年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核后取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表： 岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 人数 20 60 60 40 20 (1)现从这200人中采用分层抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，求交流团中取得技师类（包含技师和高级技师）岗位证书的人数． (2)为了鼓励企业员工参加培训，该企业在2025年出台了如下培训奖励措施． 取得岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 奖励金额（元/人） 0 500 600 800 1000 以2024年度培训取得各岗位证书的频率来估计2025年的培训考核结果，若该企业在2025年度培训共400人，请估计该企业2025年度共需支付多少奖金？ 【答案】(1)3 (2)236000元 【分析】（1）依题意可以求出分层抽样的抽样比例，进而可求得技师类岗位证书的人数. （2）分类讨论，将取得各岗位证书的奖金分别算出来，相加即可求解. 【详解】（1）技师和高级技师占比为， 所以交流团中取得技师类（包含技师和高级技师）岗位证书的人数为（人）. （2）初级工频率，支付：（元）， 中级工频率，支付：（元） 高级工频率，支付：（元）， 技师频率，支付：（元）， 高级技师频率：，支付：（元）， 加起来需支付费用（元）， 所以估计该企业需支付236000元. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $