专题02 简单的几何体(3考点40题）（高效培优期中专项训练）数学沪教版高二必修第三册

专题02简单的几何体 考点01柱体与锥体 考点02多面体与旋转体 考点03球 考点01柱体与锥体 1．若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（    ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】D 【分析】我们可以分圆柱的底面周长为4，高为2和圆柱的底面周长为2，高为4，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积， 若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积 ∴圆柱的最大体积为cm3. 故选：D． 2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可判断水的体积为三棱柱体积的一半，由此结合棱柱的体积，即可求出答案. 【详解】若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点， 设棱柱的体积为V，则水的体积为； 当侧面水平放置时，三棱柱有水部分的体积为， 则无水部分为水平放置的小三棱柱（一侧面为水面），其体积为， 由于三棱柱和三棱柱的高相同， 故，由于，则∽    ， 故，而，故，故， 故选：D 3．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF（边长为10m），设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板．若其中三根柱子的高度依次为，则该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六边形ABCDEF中心为，几何体的侧面均为直角梯形，且高均为10m，连接AD，BE，CF，，连接AC交OB于点，连接交于点，连接，结合中位线性质求相关线段长，最后应用梯形的面积公式求几何体侧面积. 【详解】依题意，该几何体的侧面均为直角梯形，且梯形的高均为10m，设正六边形ABCDEF中心为， 如图，连接AD，BE，CF，作平面ABCDEF且平面，连接， 依题意，知相交于点， 连接AC交OB于点，连接交于点，连接，则平面ABC， 根据正六边形的性质可知四边形ABCO是菱形， 所以AC，OB相互平分，则相互平分， 所以，即，解得， 在梯形中，是BE的中点，则是的中点， 所以， 同理得， 故该几何体的侧面积为： ． 故选：A 4．已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得， 圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为. 故选：B 5．已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的圆锥和圆柱的表面积的比值可得答案. 【详解】设圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，由圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为， 则圆锥的母线，圆柱的母线为， 则，. 由，得， 化简得，即， 所以或（舍去），所以，即. 故选：C. 6．已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积. 【详解】如图所示，正四棱锥，，为底面正方形的中心，为的中点. 由已知可得，所以，又， 所以， 所以正四棱锥的体积. 故选：D. 7．如图，有一正三棱锥，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），保持在平面上，且三棱锥绕转动.若存在某个时刻，三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分两类情况讨论，①当由点在平面内的射影与构成等腰直角三角形时，②当由点在平面内的射影与构成等腰直角三角形时；找到临界值，从而求出的取值范围. 【详解】要使得正三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，包含以下两种情况： ①设点为正的中心，当顶点的投影落在右侧，正的投影为等腰时， 当点在平面上的投影恰在的中点时（如图1）， 由，则，故， 由，则，此时． 顶点可以从正的中心往上升，直至点在平面上的投影恰在的中点，所以.      ②当平面从垂直平面按逆时针方向旋转到在平面内时， 如图2，当平面垂直平面时，在平面上的投影为等腰， 此时最大，且， 如图3，当在平面内，且点在平面上的投影恰好是，此时，，有，此时最小，故.         如图4，由于此时点在平面上的投影恰好是，故可保持平面不动，让点沿运动，故有. 综上，可得. 故选：C. 8．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（   ） A． B．15 C． D． 【答案】D 【分析】在由圆锥的母线长，高和底面半径构成直角三角形中，由勾股定理先求出，再利用圆锥的侧面积公式计算即可. 【详解】圆锥的母线长，高和底面半径构成直角三角形， 由勾股定理可知， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 9．已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的体积，求出圆柱的底面半径，进而求得圆锥的底面半径，最后由圆锥的体积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，则圆柱的底面半径为. 因圆柱的母线长为6，故圆柱的高为6. 而圆柱的体积为，因此，解得. 故圆锥的高，可知其体积． 故答案为：. 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，则该棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等面积法求出，进而得出结果. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 该四棱锥的体积为. 故答案为： 11．如图，三棱柱中，平面，，，则三棱柱的体积为 ．    【答案】/0.5 【分析】由题易得，根据勾股定理可得，继而可得，再利用求解即可. 【详解】平面，， 又，所以， 又，所以，即， 则， 又， 所以. 故答案为： 12．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则四面体的体积为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，利用线面垂直证明为四面体的高，进而利用等体积法求得答案. 【详解】    如图，连接交于点， 因为平面，平面，平面， 所以，， 又因为， 所以四边形为矩形， 而在平面内， 又因为，，， 所以面， 所以为四面体的高， 因为正方体棱长为2，所以， 所以， 故答案为：. 13．有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 . 【答案】 【分析】连接，由题设条件结合余弦定理依次求出和，再由弧长公式结合圆的周长公式即可计算求解. 【详解】由题可得，所以为正三角形， 连接，则由题， 所以O为的外心也是内心， 所以， 所以， 所以， 所以由. 故答案为： 14．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，确定为四棱锥的高，再利用四棱锥体积公式计算即可. （2）利用等体积法，结合的面积即可求解. 【详解】（1）由已知，四边形为正方形，且平面， 所以即四棱锥的高， 所以， 即四棱锥的体积为. （2）根据已知，连接，作图如下. 由（1）知，又为正方形的对角线， 所以， 又，即是等边三角形，所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 即点到平面的距离为. 15．如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，， ，    (1)求证:直线与直线是异面直线； (2)若二面角的余弦值为 求k的值； (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)3种； 【分析】（1）根据异面直线判定定理（过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）进行证明； （2）过点B作于点H，证明平面从而确定二面角的平面角为，利用列方程求k. （3）根据题意，共有三种拼接方法：底面与底面拼接、以平面进行拼接、以平面进行拼接，分别求出三种拼接方法得到的新四棱柱的表面积，比较大小，求出的表达式. 【详解】（1）因为直线平面，平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线. （2）过点B作于点H，连接,    在中，， ，解得， 因为底面，故底面ABCD，则， 因为，平面， 所以平面，则, 所以是二面角的平面角，所以， 因为， 所以，解得，则. （3）两个四棱柱的表面积为： ， 根据题意，要拼接得新四棱柱，共三种拼接方法： ①底面与底面拼接，新四棱柱的表面积为：； ②以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； ③以平面进行拼接，新四棱柱的表面积为：； 因为，所以不可能为最小值， 令，解得， . 考点02多面体与旋转体 16．已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据体积公式，可求得正四棱台的高，作图可得，是与平面所成的角，分别求得各个边长，即可求得答案. 【详解】设棱台的高为，则，解得， 连接，交于点O，过作，垂足为，连接，，    由正四棱台性质可得，且平面，即， 所以是与平面所成的角. 因为在正四棱台中，，，则，， 所以，则， 所以在中，， 所以在中，. 故选：A. 17．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（    ）（单位：立方厘米） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台体积公式直接求解即可. 【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，，由题意，． 则该圆台的体积为立方厘米． 故选：D． 18．下列几何体中，为棱台的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用棱台的结构特征对选项中的几何体进行逐一分析判断. 【详解】用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台． 因此棱台一定是两个面互相平行，且所有侧棱延长后交于同一点， A选项，侧棱延长后没有交于一点，不是棱台，故A不符合题意； B选项，截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不符合题意； C选项，几何体不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故C不符合题意； D选项，符合棱台的定义，故D符合题意. 故选：D 19．一封闭圆锥容器的轴截面是边长为3的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解 【详解】在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：      因为小球的半径， 所以, 又都是等边三角形，所以，， 于是，圆台的上、下底面圆的半径分别，， 母线长， 所以圆台的侧面积为. 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆， 其半径为，其面积为. 综上，圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为. 故选：A 20．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则下列结论中，错误的是（    ）    A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．直线与的夹角为 D．直线与的夹角为 【答案】D 【分析】将二十四等边体补全成一个棱长为的一个正方体，进而逐项判断即可：选项A，结合图形可知二十四等边体是由6个边长为2的正方形和8个边长为2的等边三角形围成，表面积为这些图形面积的总和；选项B，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，用正方体体积减去8个小三棱锥体积即可；选项C，结合正方体的性质和已知二十四等边体的性质推出，从而得出直线与的夹角即为与所成角；选项D，根据选项C结论直接判断. 【详解】由图可知，二十四等边体是由6个边长为2的正方形和8个边长为2的等边三角形围成， ∴表面积为：，故A正确； 补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，则该正方体的体积为： ， 其中每个小三棱锥的体积为：， ∴该二十四面体的体积为：，故B正确；    如图，因为四边形为正方形，所以， 又因为分别为正方体的棱长的中点， 所以， 所以， 因为与所成角为， 所以直线与的夹角为，故C正确； 由选项C可知直线与的夹角为，故D错误； 故选：D． 21．如图，某羊皮鼓模型可视为由两个相同的圆台组成，两圆台较小的底面完全重合．已知一个圆台的两底面半径分别为，高为，则该羊皮鼓模型的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台的侧面积计算公式与圆的面积公式计算即可求解. 【详解】由题可知圆台的母线长为， 则圆台的侧面积为 ，又鼓面的面积， 故该羊皮鼓模型的表面积为． 故选：C. 22．如图，为大圆台型碗的内部放置着一个小圆台型的碗，且小圆台型碗的大口面恰好为大圆台型碗的小口面，两圆台的轴截面分别为ABCD和ABEF，若，则大圆台型碗与小圆台型碗侧面积之比为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由圆台侧面积公式得，，结合即可求解. 【详解】不妨设，则，， 如图，延长AF，BE相交于点O，易知轴截面ABCD与ABEF均为等腰梯形， 由，得点O必然落在线段DC上且点O为DC的中点， 所以，， 易知四边形ABCO是平行四边形，则，所以.    故选：C. 23．如图，在平行六面体中，是的中点，过三点的截面把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被截面分割成的左边的几何体是个三棱台,要求其体积,由于为中点,可补成锥体,就能迅速求解 【详解】解析  解法1：如图，作的延长线，交的延长线于点，由为的中点知为的中点，连结，则与的交点必为点．作且，且，且，即补上一个全等的平行六面体． 因为平面平面， 且截面 平面=，截面 平面=， 所以 ，又因为 ，所以 ， 又是的中点，所以是的中点，则截面为梯形，      所以， 又，      所以，即， 又， 所以 所以， 从而． 故选D． 解法2：设平行六面体的底面面积为，高为， 由棱台体积公式， 得， 于是，所以． 故选D． 24．在四棱台中，，设四棱台的体积为，三棱锥的体积为，则 . 【答案】 【分析】设上底面面积为，下底面面积为S，高为h，利用棱台和棱锥的体积公式求解即可. 【详解】设四棱台的上底面面积为，下底面面积为S，高为h， 由于，四边形和四边形相似，故， 则； 又， 又， ， 所以， 所以， 故答案为： 25．某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为 ． 【答案】 【分析】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，根据条件求出，再利用圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，其母线长， 所以，，故， 故答案为：. 26．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 . 【答案】 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 27．如图所示的图形是由六个直角边均为1和的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的几何体的体积为 . 【答案】 【分析】根据图形，外面的六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个同底的圆台，再根据圆台的体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求. 【详解】根据题意，直角三角形斜边为，又直角短边长度为， 所以直线与上下两个直角三角形斜边的交点均为中点，即直线左右平分此图形， 由题意可知此图外面的六边形边长为， 如图： 作，， ，可得， 所以， 由圆台定义可得：该图形绕直线l旋转一周得到的几何体是两个同底的圆台， 上底半径为，下底半径为，高为 ， 所以旋转得到的几何体的体积为， 又内部的六边形边长为1， 作，， 所以， 所以旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥， 圆锥的底面半径为，高为，圆柱的底面半径为，高为1， 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为， 所以几何体的体积为. 故答案为： 28．2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功通过联合国教科文组织评审，成为全球共享的非物质文化遗产．春节灯笼象征着喜庆与团圆，图①为明代风格的八角灯笼，由18个正方形和8个正三角形构成，如图②，若正方形的边长为1，则该灯笼的体积为 ． 【答案】 【分析】由几何体的特征可分为八棱柱，三棱锥，三棱柱和长方体，八棱柱的底面面积为一个正方形的面积减去4个以为直角边的等腰直角三角形的面积，结合相关体积公式求体积. 【详解】将多面体分割为1个八棱柱，8个三棱锥，8个三棱柱和2个长方体， 根据几何体特征，八棱柱的底面可补形为一个边长为的正方形， 故底面积为正方形的面积减去4个以为直角边的等腰直角三角形的面积， 则八棱柱体积，三棱锥体积， 三棱柱体积 ，长方体体积， 故该灯笼的体积为 . 故答案为： 29．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径. （2）根据三棱柱的体积公式求其体积. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意： . 即圆柱的底面半径为3. （2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 所以， 又三棱柱的高为6，所以. 30．如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm．    (1)求四棱台的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正四棱台的性质，求出侧面等腰梯形的高，再分别计算每个面的面积，相加即可得棱台的表面积； （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高，再根据圆台的体积公式计算即可. 【详解】（1）正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接，作交于， 如图所示，因为，，且，则四边形为矩形， 则，，，， 所以， 所以四棱台的表面积为．    （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高， 则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高， 则圆台的体积为． 考点03球 31．如图是棱长为2的正方体，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，再利用截面图，根据等面积法即可求解． 【详解】连接它们的交线后如下图所示， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 作的中点M，N，设内切球的半径为r， 所以，， 所以 ，，，又， 所以，即表面积为． 故选：C． 32．《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求外接球的半径，再利用等体积法可求内切球的半径. 【详解】由平面，，得, 因为且平面，所以平面, 又平面，得. 由，得. 于是将三棱锥放入正方体中，如下图： 三棱锥 的外接球即为正方体的外接球，其设外接球的半径为， 则，解得. 设内切球的球心为，半径为， 因为内切球的球心到各个面的距离等于半径， 所以，， ， ， ，得. 所以. 故选：B 33．将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高，所以根据几何体特征，求得底面内切圆的半径为，直径为，小于，故球的最大半径为. 【详解】已知直三棱柱底面为直角三角形，且直角边分别为和， 根据勾股定理，底面三角形的斜边为， 设底面三角形的内切圆半径为，根据三角形面积公式（其中为三角形直角边）， 又三角形面积公式（其中为三角形三边，为内切圆半径）， 所以，即，解得， 所以直径为，小于直三棱柱的高. 因为球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高， 所以球的最大半径为. 故选：A 34．已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为，圆锥外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆柱与圆锥的底面半径为1，可得圆柱与圆锥的高均为，再设圆柱外接球的半径为，圆锥外接球的半径为，结合图象建立、的方程，解得，代入球的表面积公式计算即得. 【详解】不妨设圆柱与圆锥的底面半径为1，则由圆锥的轴截面为正三角形，可得圆柱与圆锥的高均为. 设圆柱外接球的半径为，圆锥外接球的半径为， 由图可得，， 解得，故， 则. 故选：A. 35．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据鳖臑的体积为2先求，进而得阳马外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解. 【详解】设阳马外接球的半径为， 由题意有：， 又平面，四边形为正方形，所以， 所以， 所以阳马外接球的表面积为：， 故选：B. 36．已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据三棱锥的棱长以及面面垂直、线面垂直性质，找出三棱锥的外接球球心位置，结合勾股定理求出外接球半径即可得出球的表面积. 【详解】取的中点为，连接，    设的重心为点，则点是上靠近的三等分点， 在中，取中点，过作垂直于的直线与的垂直平分线交于点. 由是边长为6的正三角形知，，且， 由得，且， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以平面，则到三个顶点的距离相等， 又在的垂直平分线上，所以到四点距离相等. 在中，由余弦定理得， 在中，， 所以，所以， 点与点重合，球半径， 所以球的表面积为. 故答案为： 37．如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质，结合球的截面性质确定球心位置，求出球半径即可求得球的表面积. 【详解】取中点，连接，由为正三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得是外接圆圆心，其半径， 三棱锥的外接球球心在直线上，而，设球半径为， 则，由，得，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 38．一个底面直径与高相等的封闭圆柱型容器（容器壁厚度忽略不计）内有半径相等的铁球，若同在圆柱的轴截面内且圆柱底面半径为，则小球的体积最大值为 ． 【答案】 【分析】根据小球体积最大可得三球的分布，再根据三球球心构成的等腰三角形结合圆柱底面半径可求小球半径，从而可得小球体积的最大值. 【详解】根据题意，如图三球与圆柱的轴截面，当球分别与圆柱上下底面及侧面相切， 且球、、C相互相切，此时球的体积最大，作出圆柱的轴截面图，连接， 过A作，垂足为，且与轴截面底面直径平行，设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，    根据题意可得：， 在三角形中，由， 即， 故球的体积最大为． 故答案为：． 39．如图，三棱锥中，，，，，，． (1)若，证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求三棱锥的外接球表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面即可证明平面平面． （2）通过在平面内，过点A作得到二面角的平面角，进一步再推导出三棱锥可放置于以长方体内，得到外接球的直径，再通过公式即可求得外接球表面积． 【详解】（1）， 解得，在中，由余弦定理， ， 代入数据得，所以， 所以，由勾股定理逆定理得，， 因为且， 所以， 又因为， 所以， 所以即，结合前述， 又因为且平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． （2）在中，由余弦定理， ， 因为， 所以， 所以，解得， 在平面内，过点A作，取，则在平面内，， 且，所以，四边形为矩形， 由知， 因为平面平面，又， 所以二面角的平面角为，连接PE， 则，也即，在中，，解得， 又因为，，所以，即为直角三角形，， 又因为，，所以平面，所以，得到， 所以平面， 由此以矩形为底，为高构建长方体，如图所示， 所以可将三棱锥放入长方体内，该长方体的长宽高分别为，长方体的体对角线等于外接球的直径，，所以． 40．如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 【答案】 【分析】记球与平面、切于点、，球与平面切于点，利用和即可得解. 【详解】如图所示，设球半径为，球的半径为，为中点， 球与平面、切于点、，球与平面切于点． 由题设得，，， 所以． 因为在中，， 所以，，得． 同理可证，，得． ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02简单的几何体 考点01柱体与锥体 考点02多面体与旋转体 考点03球 考点01柱体与锥体 1．若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（    ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF（边长为10m），设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板．若其中三根柱子的高度依次为，则该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，有一正三棱锥，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），保持在平面上，且三棱锥绕转动.若存在某个时刻，三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 8．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（   ） A． B．15 C． D． 9．已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为 . 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，则该棱锥的体积为 . 11．如图，三棱柱中，平面，，，则三棱柱的体积为 ．    12．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则四面体的体积为 ． 13．有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 . 14．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 15．如图，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，，，，， ，    (1)求证:直线与直线是异面直线； (2)若二面角的余弦值为 求k的值； (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案.试问共有几种不同的拼接方案?请简要说明.在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，求的表达式. 考点02多面体与旋转体 16．已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 17．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（    ）（单位：立方厘米） A． B． C． D． 18．下列几何体中，为棱台的是（   ） A． B． C． D． 19．一封闭圆锥容器的轴截面是边长为3的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（   ） A． B． C． D． 20．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则下列结论中，错误的是（    ）    A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．直线与的夹角为 D．直线与的夹角为 21．如图，某羊皮鼓模型可视为由两个相同的圆台组成，两圆台较小的底面完全重合．已知一个圆台的两底面半径分别为，高为，则该羊皮鼓模型的表面积为（　　） A． B． C． D． 22．如图，为大圆台型碗的内部放置着一个小圆台型的碗，且小圆台型碗的大口面恰好为大圆台型碗的小口面，两圆台的轴截面分别为ABCD和ABEF，若，则大圆台型碗与小圆台型碗侧面积之比为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 23．如图，在平行六面体中，是的中点，过三点的截面把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（    ）. A． B． C． D． 24．在四棱台中，，设四棱台的体积为，三棱锥的体积为，则 . 25．某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为 ． 26．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 . 27．如图所示的图形是由六个直角边均为1和的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的几何体的体积为 . 28．2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功通过联合国教科文组织评审，成为全球共享的非物质文化遗产．春节灯笼象征着喜庆与团圆，图①为明代风格的八角灯笼，由18个正方形和8个正三角形构成，如图②，若正方形的边长为1，则该灯笼的体积为 ． 29．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 30．如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm．    (1)求四棱台的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 考点03球 31．如图是棱长为2的正方体，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 32．《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 33．将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（    ） A． B． C． D． 34．已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为，圆锥外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 35．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 36．已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为 . 37．如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为 ． 38．一个底面直径与高相等的封闭圆柱型容器（容器壁厚度忽略不计）内有半径相等的铁球，若同在圆柱的轴截面内且圆柱底面半径为，则小球的体积最大值为 ． 39．如图，三棱锥中，，，，，，． (1)若，证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求三棱锥的外接球表面积． 40．如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $