精品解析：江西省赣州市章贡区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年第一学期期中考试 八年级数学试题卷 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 数学是一门重要的自然学科，同时也是一门精美的学科，数学之美有多种形式比如数学图案，下列图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 笛卡尔心形线 D. 费马螺线曲线 2. 下列各项中，给出的三条线段不能组成三角形的是（ ） A. a=2m、b=3m、c=5m-1（m＞1） B. 三边之比为5：6：10 C. 30cm、8cm、10cm D. a+1、a+3、a+2（a＞0） 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 4. 如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 6. 如图，在中，按如下步骤操作：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在三角形内部交于点D；③画射线，已知的重心E恰好在射线上，连接，．下列结论不一定成立的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是_________． 8. 如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 9. 如图，在中，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，则=___________． 10. 如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为________ ． 11. 如图，，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是，，则点B的坐标是_______． 12. 中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）如图，和关于直线l对称．若，，求的度数． （2）如图，在中，，是角平分线，，，求点D到的距离． 14. 如图，中，，分别为的垂直平分线，E，G分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的长为30，求的周长． 15. 如图，在中，，点D是的中点，是边上的高，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图1中，作一个与全等的三角形； （2）在图2中，作边上的高． 16. 如图，，，垂足分别为，，，相交于点，．求证：． 17. 一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的3倍，求这个等腰三角形各边的长； （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O， （1）当∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数． （2）当时，求∠AOB，请写出证明过程． 19. 如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． （1）________，________；（用含t的代数式表示） （2）若以E，B，P为顶点三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 20. 如图，已知，平分．、分别在射线、上． （1）在图（）中，当时，求证：． （2）若把（）中的条件“”改为，其他条件不变（）所示．则（）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，且，连接． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）当点D在直线上（不与点B、C重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 22. “一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： （1）如图1，为等边三角形，，，求证：； （2）如图2，正方形顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； （3）如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中考试 八年级数学试题卷 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 数学是一门重要的自然学科，同时也是一门精美的学科，数学之美有多种形式比如数学图案，下列图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 笛卡尔心形线 D. 费马螺线曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图像的定义逐项判断即可． 【详解】A．赵爽弦图不是轴对称图形，故该选项错误； B．斐波那契螺旋线不是轴对称图形，故该选项错误； C．笛卡尔心形线是轴对称图形，故该选项正确； D．费马螺线曲线不是轴对称图形，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念：被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合，这样的图形为轴对称图形；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 2. 下列各项中，给出的三条线段不能组成三角形的是（ ） A. a=2m、b=3m、c=5m-1（m＞1） B. 三边之比为5：6：10 C. 30cm、8cm、10cm D. a+1、a+3、a+2（a＞0） 【答案】C 【解析】 【详解】此题考查能够构成三角形三边应该满足的条件，即任意两边之和要大于第三边，或任意两边之差小于第三边；对于A：，满足条件，所以能够构成三角形；对于B：设三边分别为，，满足条件，所以能够构成三角形；对于C：不大于第三边30，所以不能够构成三角形；对D：，满足条件，所以能够构成三角形；所以选C 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：A． 4. 如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用折叠的性质求出，从而可利用三角形内角和定理求出，再利用折叠的性质求得． 【详解】解：∵，将沿翻折后，点A落在边上的点F处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 6. 如图，在中，按如下步骤操作：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在三角形内部交于点D；③画射线，已知的重心E恰好在射线上，连接，．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、三角形重心的性质及等腰三角形的三线合一；解题的关键是由重心在上推导出是中线，结合角平分线得出 【详解】解：由尺规作图知平分，故，A选项成立； ∵E是的重心且在上， ∴是边上的中线，即； 又平分， ∴，故（），C选项成立， 又（等腰三角形三线合一）,在上，故，D选项成立； 而需，题中仅，故B选项不一定成立． 故选：B． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标关于轴对称规律，掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是点， 故答案：． 8. 如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 9. 如图，在中，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，则=___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积及三角形中线性质，根据题意连接、，再根据三角形中线的性质由是的中点，是的中点，是的中点推出，，，从而结合图形利用各三角形面积之间的关系进行计算即可，解题的关键是根据三角形中线的性质推出，，． 【详解】解：如图，连接、， 是的中点，是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 10. 如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为________ ． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 先根据等边三角形的性质证明可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是，，则点B的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，坐标与图形，先求解，，，，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：∵点A，D坐标分别是，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 12. 中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键． 根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】解：如图2所示：， ， 如图3所示：， ， ， 如图4所示，， ， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）如图，和关于直线l对称．若，，求的度数． （2）如图，在中，，是角平分线，，，求点D到的距离． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质定理，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用轴对称的性质得出，再根据全等三角形的性质得出，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：和关于直线l对称，，， ． ， ． （2）解：如图，过点D作，垂足为E， 是角平分线，，， ， ， ． 即点D到的距离． 14. 如图，中，，分别为的垂直平分线，E，G分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的长为30，求的周长． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据三角形的周长公式计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：的周长． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，以及线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15. 如图，在中，，点D是的中点，是边上的高，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图1中，作一个与全等的三角形； （2）在图2中，作边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的轴对称性与求解； （2）根据三角形的三条高线相交于同一点求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形， 理由：∵在中，，点D是的中点， ∴为对称轴，点E与F为对应点，点B与C为对应点， ∴，， 又， ∴， ∴即为所求作的三角形， 【小问2详解】 如图，连结并延长交的延长线于点G，连结交的延长线于点F，即为所求作， 理由：∵在中，，点D是的中点， ∴， ∴为的高的交点， ∴为边上的高． 【点睛】本题考查了画三角形的高，三线合一，用（）证明三角形全等（或者），全等三角形综合问题,无刻度直尺作图，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 16. 如图，，，垂足分别为，，，相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，证明得到，据此可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 17. 一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的3倍，求这个等腰三角形各边的长； （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】（1）这个等腰三角形各边长分别是，， （2）其余两边的长分别为与 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，由题意列出关于的方程求解，再求出腰长，结合三边关系求解即可； （2）分腰为、底为两种情况，结合三边关系，分别求出其余两边的长即可． 【小问1详解】 解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得：，则，此时能构成三角形． 这个等腰三角形各边长分别是，，； 【小问2详解】 当腰为时，底边长为：， ，不能构成三角形，故舍去； 当底为时，腰长为：，此时能构成三角形； 综上所述，其余两边的长分别为与． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O， （1）当∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数． （2）当时，求∠AOB，请写出证明过程． 【答案】（1）5°；（2）∠AOB=90°＋，过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求出∠CAE，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠CAD，从而求出结论； （2）根据三角形的内角和定理求出∠CAB＋∠CBA，然后根据角平分线的定义可得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，从而求出∠OAB＋∠OBA，最后根据三角形内角和定理即可求出结论． 【详解】解：（1）∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC ∴∠CAE=∠BAC=25° ∵∠C=70°，AD高， ∴∠ADC=90° ∴∠CAD=180°－∠ADC－∠C=20° ∴∠EAD=∠CAE－∠CAD=5° （2）∵ ∴∠CAB＋∠CBA=180°－∠A=180°－ ∵△ABC中， AE、BF是角平分线， ∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA ∴∠OAB＋∠OBA=∠CAB＋∠CBA=（∠CAB＋∠CBA）=（180°－）=90°－ ∴∠AOB=180°－（∠OAB＋∠OBA）=180°－（90°－）=90°＋ 【点睛】此题考查的是三角形中的角度的计算，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义是解决此题的关键． 19. 如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． （1）________，________；（用含t的代数式表示） （2）若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】（1）， （2）a的值为2或 【解析】 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【小问1详解】 解：点P在线段上以速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； 【小问2详解】 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20. 如图，已知，平分．、分别在射线、上． （1）在图（）中，当时，求证：． （2）若把（）中的条件“”改为，其他条件不变（）所示．则（）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）成立 【解析】 【分析】（1）由题中条件可得，，在直角三角形中可得，，所以． （2）在上截取，连接，可得为等边三角形，进而可得，即，，进而结论得证． 【小问1详解】 证明：∵，平分， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：结论成立． 理由如下：在上截取，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，且，连接． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）当点D在直线上（不与点B、C重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）与的数量关系是；理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握相关定理，并能正确识图是解题关键． （1）根据三角形内角和定理求出从而求得，然后根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质即可求得； （2）根据三角形外角的性质求出，再根据等边对等角求得，从而求得，再根据三角形外角的性质即可求得； （3）分当点D在点B的左侧时，当点D在线段上时和当点D在点C右侧时利用三角形外角的性质和内角和定理，借助方程思想即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 设，，， ①如图1，当点D在点B的左侧时， ∴，（1）-（2）得，， ∴； ②如图2，当点D在线段BC上时， ∴，∴， ∴； ③如图3，当点D在点C右侧时， ∴，（2）-（1）得，， ∴． 综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是． 22. “一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： （1）如图1，为等边三角形，，，求证：； （2）如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； （3）如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 ； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：； 【小问3详解】 ， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据正方形的性质求线段长，三角形内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】（）画图见解析，；（）画图见解析，，；（） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】（）解：画图如下： 设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）如图，在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $